感悟中華民族獨特的數學智慧

名師簡介

趙勁松 安徽省蚌埠市教育科學研究所小學數學教研員，華應龍名師工作室核心成員，特級教師，安徽省“五一勞動獎章”獲得者。曾獲全國第九屆深化小學數學教學改革觀摩交流會一等獎、安徽省小學數學課堂教學觀摩交流一等獎第一名、安徽省首屆青年教師教育教學技能大賽一等獎第一名，發表論文數十篇，著有《用問題重塑教學：小學數學“真問題”教學研究》《走向自主：小學數學自主學習能力提升理論探索與實踐》。

【摘 要】學生在學習多邊形面積計算之后，經歷把梯形面積公式推廣到等差數列求和及其他平面圖形面積計算的運用過程，體驗“比類”這一中國古代獨具風格的研究方法，了解南宋數學家楊輝的杰出貢獻，了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感。

【關鍵詞】中華優秀傳統文化 比類 梯形面積

一、課前慎思

愛國主義是中華文明源遠流長的血脈基因。2024年1月1日起，《中華人民共和國愛國主義教育法》正式實施，明確將中華優秀傳統文化、歷史文化遺產等作為愛國主義教育的重要內容，強調愛國主義教育應當堅持“思想引領、文化涵育”，以“凝聚全面建設社會主義現代化國家、全面推進中華民族偉大復興的磅礴力量”。關于中華優秀傳統文化，《義務教育數學課程標準（2022年版）》中九次提及，并進一步聚焦數學家這一群體，指出要了解中國古代數學家的杰出貢獻，傳播數學中的中華優秀傳統文化，注重情境素材的育人功能，如體現中國數學家貢獻的素材，幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感。

在這樣的背景下，華應龍老師率先開展了“世界著名的中國數學家進小學課堂的實踐研究”，并在這一研究的基礎上，進一步拓寬、深挖、升華，提煉出了“國數課”這一課程概念。“國數課，是‘加強愛國主義教育數學課’的簡稱，是我為祖國教數學使命感的新表達，是努力為數學課涂上愛國主義底色的新探索。將祖國和數學相連接，以愛國為數學添溫暖，用數學為愛國增理性。”華老師對“國數課”的提煉和表達，給了我們一條新的可追尋、可模仿的實踐路徑。

“楊輝教我們學數學”一課便是對“國數課”的開發與嘗試。楊輝教我們學什么？為什么要學這個內容？這是真正意義上的從0到1的創造。

提起楊輝，多數人和筆者是一樣的，腦海中浮現的是“楊輝三角”“宋元數學四大家”，除此之外便是空白。在華老師的點撥下，筆者粗讀了《中國數學史大系（第五卷）》《楊輝算法導讀》《增補lt;詳解九章算法gt;釋注》《楊輝算書及其經濟數學思想研究》《從楊輝三角說起》五本著作。從這些著作中可知，楊輝是杰出的數學教育家。一方面，他提出了一系列重要的數學教育思想和數學教學方法；另一方面，他一部分著作是作為教材來使用的，以使初學者易入其門，備得其旨。

楊輝的一個開創性觀點引起了筆者的關注——“僭比類題，以通俗務”。從其著作來看，比類題就是另設與原題算法相同或稍加變通，轉化為與原題算理相近的例題，從而由一道題擴展為一類題，“習者可以聞一知十”。這是楊輝之前的各種古算書未曾有過的。

那么，從更一般的角度來看，什么是比類？與類比又有何區別？《現代漢語詞典》中并未收錄“比類”一詞，筆者經廣泛查閱資料后得知，“比類”與“類比”相近，但又有區別。類比是一種或然推理，根據兩種事物在某些特征上的相似，得出它們在其他特征上也可能相似的結論。而比類不僅是一種編著習題的形式，更是我國古代獨具風格的一種研究方法，內涵豐富，既有比較、歸類的基本含義，又有比擬、相類、仿效之義，體現了古人的整體觀、辯證觀，廣泛運用于中醫、數學等研究領域。比如，中醫常“援物比類”，以古人都能感知的物象去說明另外一個道理；對于中醫的學習，提倡“觸類引伸，而及于比類，貫通會悟，而通合道理”。在數學研究領域，楊輝的研究對“比類”的運用無疑起到了巨大的推動作用，反映了楊輝的數學研究風格。在《田畝比類乘除捷法》一書中，楊輝在梯田面積的例題之后，比類了十四道題，不僅有各種梯田的變式，還將梯形面積推廣到圭垛、梯垛、方箭、圓箭幾種等差數列求和問題，以及環田、曲尺田的面積問題中，實際上就是在引導讀者用“整體的、聯系的、發展的眼光看問題”，做到“聞一而知十”。

比類，不正是中華民族獨特的數學智慧嗎？若能將其重現于課堂，將是楊輝諸多數學思想的一個傳承，是中華傳統文化的一次綻放。綜合以上思考，筆者以楊輝的“比類”思想為里，以“聞一知十”為表，以梯形面積計算的推廣為素材，用好奇和提問貫穿推進，形成本課的教學主線，并設置了如下教學目標：

（1）了解楊輝的數學成就，體會他的數學思想。

（2）經歷梯形面積公式的推廣運用過程，體驗“比類”這一研究方法。

（3）嘗試用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，突破思維禁錮，發展問題意識、推理意識和空間觀念。

二、課中篤行

教學年級：五年級（“多邊形的面積”學習之后）。

課前準備：讓學生閱讀有關楊輝的材料，完成研究單。

課前真參與，課中好體驗。

1.楊輝給你最深的印象是什么？

2.用“比類”的方法思考，梯形面積公式除了能計算梯形的面積外，還可以解決哪些問題？請試著舉兩個具體的例子，并解答。

（一）問題聚焦

師：今天，老師和同學們一起跟楊輝學習一節數學課。昨天，同學們閱讀了一篇短文，并且進行了一些思考。我們先來交流第一個問題，楊輝給你最深的印象是什么？

生1：楊輝是一個善于思考、善于教學的人，他教導學生在學習中要融會貫通、舉一反三。

生2：他治學嚴謹，敢于質疑、批判和糾正，所以才能創造出前人沒有創造出的學問。

師：真好！敢于質疑才可能有創造。

生3：他很清廉，很儒雅，是宋元數學四大家之一。

生4：他有五本著作，流傳于世界，在乘除快捷算法、垛積術和幻方等方面取得了很大的成就，還創造性地編排了“比類”題。

生5：他特別善于創新，創造出了“楊輝三角”。

師：你的知識面真廣，“楊輝三角”還有一個名字，你知道嗎？

生5：“帕斯卡三角”。

師：其實這個“三角形”是北宋數學家賈憲創造的，所以又叫“賈憲三角”，楊輝在其著作中記錄了這個方法，這個偉大成就才能流傳下來。法國數學家帕斯卡也發現了這個規律，但是要比楊輝晚了大約400年，比賈憲晚了大約600年。聽了這些之后，你們有什么感受？

生：我覺得我們國家古代數學很厲害，我感到很自豪！

師：是的，宋朝是我國古代數學最巔峰的時期，數學成就要遠遠領先于同時期的歐洲，而楊輝是那個時期最杰出的數學家之一。

師：楊輝不僅是數學家，還是一個杰出的數學教育家，他編的很多書都是作為教學材料使用的。楊輝對學生的學習有一個要求：融會貫通，聞一知十。怎樣才能聞一知十？楊輝使用了一種研究的方法，就是剛才同學們所說的“比類”。我們把這個詞拆開來看，“比”是什么？

生：比較，就是比較兩個知識的相同點和不同點。

師：如果兩個知識相同就可以把它們——

生：歸為一類。

師：昨天我們已經嘗試了用比類的方法來思考，什么樣的問題也可以用梯形的面積公式解決呢？

（二）由形到數

1.初識

師：這是李同學的作業（圖1），能看懂嗎？

生1：一堆木頭堆成了梯形，求一共有多少根木頭，可以用梯形的面積公式計算，上面的那排木頭可以看作梯形的上底，下面一排看作下底，有幾層就是高，（2+7）×6÷2=27。

教師根據學生的回答出示圖2：

生2：還可以直接數，2+3+4+5+6+7=27。

師：知道2、3、4、5、6、7這一列數叫什么嗎？

生：等差數列。

師：我們用比類的眼光來看，它們之間有什么相同的地方，才讓我們想到用梯形面積公式來求等差數列的和？

生：這堆木頭堆成的形狀就像梯形。

2.辨析

師：我們和楊輝想到一塊兒去了。像這樣堆成梯形的物體，楊輝稱之為“梯垛”，可以用梯形面積公式來求解。大家還有問題嗎？

（個別學生舉手，多數學生搖頭）

師：之所以沒有問題，是因為我們只看到了它們之間的“同”，而它們之間的“異”，你們看到了嗎？

生1：梯形求的是面積，它求的是個數。

生2：梯形是一整塊，木頭中間有空隙。

生3：梯形是可以無限分割的，而這堆木頭就是這么多，所以不一樣。

師：一個是完整的面，是求面積；一個是零散的一堆，求個數。那怎么能用面積公式來求個數呢？

師：怎么辦？我們能不能把這個“異”化為“同”？

生4：我們可以把梯形進行分割，橫著用1厘米分，豎著也用1厘米分，這樣就分成1小塊1小塊的，分成27根“木頭”。

生5：梯形是由許多面積單位組成的，27平方厘米就相當于27根木頭。這一堆木頭里面的木頭也可以想象成面積單位。

生6：把梯形分割成許多面積單位，這樣，梯形的面積也變成個數了。

師：比如分割成圖3。

師：你們太厲害了！這樣形和數就統一起來了。其實，我們中國古代數學家發明的“面積”這個詞就很有意思，“面”是形，“積”是數，這個詞就是形和數的統一。形和數的問題解決了，還有新的問題嗎？

生7：我覺得還可以把第一行多的移到最下面，讓最下面一層變成7……

師：好，我們不能提示他們太多。大家知道他想做什么嗎？

生8：他想把分割后的梯形變成2+3+4+5+6+7。

師：如果能變成這個樣子，梯形面積和等差數列是不是就真的可以歸為一類了？特別棒！老師把難度降低一點（課件演示梯形變形為直角梯形），這樣變形可以嗎？

生：可以，面積沒變。

師：請大家完成任務一，兩幅圖都可以畫一畫、試一試。（圖4）

任務一：這個梯形的面積可以用“2+3+4+5+6+7”計算嗎？

學生獨立完成后，在小組內交流。教師讓一個學生上臺演示直角梯形的分割過程，先分別描畫出2、3、4、5、6、7格，然后移多補少。課件動畫演示梯形變為等差數列，再逆向演示由等差數列變為梯形。

師：這個“異”有沒有轉化為“同”？你們還有問題嗎？

生：假如不變成直角梯形，可不可以轉化成等差數列呢？

師：這個問題提得好！對啊，直角梯形有點特殊。剛才有沒有同學把原來的梯形轉化成等差數列的？

生1：我認為可以先把它拼成整格的，然后再移動小方塊，變成等差數列。

生2：我覺得可以在兩邊像剛才那樣分別進行割補。

師：這個轉化有些難度，老師用課件演示一下。（圖5）

師：這個梯形可以了，還有問題嗎？

生：我們已經試了兩個，我認為所有的梯形應該都可以。

師：剛才有同學說梯形可以無限分割，是什么意思？

生：是不是說有無數種分割的方法，比如可以分割成更小的單位。

師：你理解得太好了！我們把梯形的面積轉化成了等差數列，于是原本的“異”也變成了“同”，它們就可以歸為一類。楊輝在他的著作中多次引用了一句話——

（出示：引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。）

師：回憶剛才的學習過程，我們有沒有觸類而長？

生：有，我們把梯形面積和等差數列求和歸為一類。

3.推廣

師：比類重在比較、歸類，下面這兩個問題，讓你聯想到了什么知識？（圖6）

生1：第1個問題可以用三角形面積公式計算，8×8÷2=32。

生2：我認為可以用梯形面積公式來算，（1+8）× 8÷2=36。

師：他的方法有問題嗎？

生1：這個圖形看起來是三角形，你為什么用梯形面積公式來算？

生2：雖然這個看上去是三角形，但實際上是梯形，因為最上面雖然很短，但也是有上底的，是1。

師：你能從圖中看到梯形，了不起！如果真的是三角形的話，最上面應該是幾？

生2：應該是0。

生3：我覺得也可以看成三角形，可以在上面再加一層，就是頂點，也就是0，這樣三角形一共有9層，用三角形面積公式是8×9÷2=36。

師：又是一個創造性的轉化！原本用三角形面積公式計算是錯的，稍加變通發現也是可以的！那么，變成三角形后，如果還用梯形面積公式計算，可不可以？

生：也可以，上底就看成是0，（0+8）×9÷2=36。

師：這種問題，楊輝稱之為圭垛，也就是堆成三角形的一堆物體。他特別強調，雖然它長得像三角形，但要用梯形的面積公式計算。我相信，如果楊輝聽了同學們剛才的匯報，一定會為你們感到驕傲的。來看第2個問題。

生1：可以用“1+6+12+18+24+30”來計算。

生2：第2個問題其實就是等差數列，用梯形面積公式計算，（1+30）×6÷2=93。

生3：不對，中心是1，內層是6，差是5，不能算在等差數列里。

生4：想象成梯形的話，外圍的個數相當于下底，內層是上底，5層是高，（6+30）×5÷2=90，再加中心的那個是91。

師：怎么能想象成梯形？

生：可以把它散開，拉直。

（教師用課件動態演示）

師：如圖7，這樣看來，等差數列是不一定長成梯形、三角形……

生：還可能是圓形。

師：所以，不要給自己的思維畫上句號。我們所學的不是唯一的、所有的知識，一定還有我們沒見過的。

（再次出示：引而伸之，觸類而長之，天下之能事畢矣。）

師：再來看這句話，有感覺嗎？

生：有，我們又進一步地引申和歸類了。

（三）由形到形

1.辨析

師：難道梯形的面積公式只能比類出等差數列求和嗎？這還達不到聞一知十。下面，我們來欣賞程同學的作業（圖8），猜猜他想表達什么。

生1：我們剛才研究圭垛的時候，已經發現了，三角形的面積可以用梯形面積公式來算，就是把三角形看成上底是0的梯形。

生2：長方形面積也可以用梯形公式來求，上底、下底都是15，“（15+15）×8÷2”，其實就是“15×8”。正方形、平行四邊形也是一樣的，都能看作上底、下底相等的梯形。

師：瞧，它們的形狀本來是不一樣的，但是，同學們剛才進行了一個非常巧妙的變通，將這幾種圖形都看成了特殊的梯形。

2.推廣

師：那從這個圓箭圖中你還能想到計算什么圖形的面積？

生1：圓形。

生2：環形。

師：楊輝從梯田比類了“環田”，也就是環形的田地，而同學們還想到了圓形，它們又是如何轉化成梯形呢？課后可以試一試。

師：同學們，以前梯形和它們（等差數列），和它們（平行四邊形、三角形、圓形、環形），分別住在不同的小房間里，中間隔著一堵一堵的墻，現在怎么樣？

生：現在墻都被打通了。

（四）回顧升華

師：現在你對梯形的面積有什么不一樣的感覺？

生1：我現在發現，原來知識之間的聯系這么密切。

生2：上這節課之前，我認為梯形的面積公式只能用來解決梯形的面積，而且只能計算整體的面積，現在我知道它還可以分成一個一個的個體，還能計算三角形等圖形的面積。

師：我們做到了聞一知十，“十”又讓我們對這個“一”有了更深的認識。這是什么方法帶給我們的收獲？

生：比類。

師：這就是屬于我們中華民族的獨特的數學智慧。送給大家兩句話——

板書：對比觀異同，觸類長學問。

三、課后明辨

下課了，學生來找筆者“抱怨”：“這節課實在太‘燒’腦了，但我喜歡楊輝的這個方法，它讓我腦洞大開！”讓思維的邊界裂開一道縫隙，看到數學更多的關聯和更多的可能，這是筆者預設的目標之一。比類，有這種力量。

“比”是方法、過程，“類”是目的、結果。我國自古就重視“類”的概念，《墨子·小取篇》中就形成了“以類取，以類予”（按類別歸納，按類別推論）的邏輯思想。能夠將不同的事物看作一類，意味著找到了這些事物共同的本質。但是，在運用“類”的同時，又特別容易陷入“類之繭房”，在“類”與“類”之間豎起隔斷墻，造成“固類自封”。比類的價值就在于，突破“類”的束縛，打通“類”與“類”之間的隔斷，實現觸類旁通，從而在一個更大的“類”中，實現對事物本質的更深層認識。這是屬于我們中華民族的獨特的數學智慧。楊輝將它進一步發揚光大，讓它成為我們寶貴的思想財富。

本節課，便是引領學生經歷一場基于梯形面積公式推廣運用的比類體驗。學生在比較、變通中實現“聞一知十”，最終又“由十知一”升華對“類”的認識。

（一）打破形與數的壁壘

楊輝在梯田面積之后，“比類一十四題，并借用梯田法”，以圭垛、梯垛、方箭、圓箭等問題對等差數列求和給出了幾何的解釋，體現了中國古代數學中“數”與“形”相統一的觀點。把梯形的面積公式推廣到等差數列求和，這應是學生的“舊知”。但學生在這之前只認為它們是正好公式相同，比如都可以拼成平行四邊形。這自然是一種理解的方式。通過今天的課，希望學生能正視它們之間的“異”，讓學生再通過變通達成最終的“同”，而其關鍵在于對連續量與離散量的認識與轉化。

楊輝將“梯田”求面積比類“梯垛”求和，是由連續量到離散量的引申、推廣。此外，他還將立體圖形的體積問題推廣為離散量的堆垛問題。連續量常用于描述連續變化的量，如長度、面積、時間等，而離散量則常用于描述那些可以被精確計數或觀測的數量，如人數、木頭根數等。對連續量的測量實際就是用單位對連續量進行分割，轉化為離散量。當然，連續量的離散化不是唯一的，可以無限細分，有無數種轉化結果。這也是連續量與離散量的區別。

教學中難點有二：一是學生是否有問題意識，是否關注到“為什么梯形面積公式可以求木頭數量”。突破的方法是從“比”入手，引導學生關注兩者之間的“異”，這是比類的具體運用。二是如何將異化為同。當面積要用一個數來表示的時候，就意味著連續的面被面積單位離散化了，而進一步地，若是這些面積單位能轉化為等差數列，那么二者就可以歸為一類。實踐證明，學生有能力在課堂上實現這一轉化。當然，這個轉化是有難度的。筆者從直角梯形入手，再到一般梯形，讓學生在不斷質疑中經歷由特殊到一般的思辨過程。

關于“圭垛”，楊輝對其的注解是：雖與圭田相類，卻用梯田法。相比較而言，學生在課堂上的對話更為生動與深刻。看著是三角形，從數量來說居然是梯形；用三角形面積公式看起來是錯的，稍加變通增加一層，居然也是可行的；而變為三角形后，梯形面積公式竟然還是可用的。圓箭讓學生看到等差數列不一定是梯形、三角形，還可能是其他形狀，而這些不同形狀又可以轉化為梯形。這兩道題不僅是等差數列的運用，還為下面“形”的比類積累了經驗。

（二）拆除形與形的隔斷

類的基礎是“同”，首先看到“同”，才能大膽聯想為一類；其后，去關注“異”，小心求證能否變通轉化為“同”。將梯形面積公式推廣到平行四邊形（包括長方形、正方形）、三角形、環形等問題，因形狀上的“異”往往就直接阻斷了學生的聯想，這里的“同”就格外重要，即都有“不變的距離”，也就是平行的一組邊。所以，在某些國家的教材里，平行四邊形是特殊的梯形。三角形從頂點到底邊只有一個距離，所以也可將其看作不變的距離；環形的兩條曲線盡管不是嚴格意義上的平行，但距離處處相等。抓住這個“同”，就可以將“異”變通，從更大的“類”上去理解：平行四邊形就是上底、下底相等的梯形，三角形是上底為0的梯形，環形是可以拉直的梯形。

如此，原本各守一室的形、數中間的隔斷被打破了。結構化的認知體系，整體的、聯系的、發展的數學眼光在此刻都有了具體的表現。

楊輝在他的著述中多次提及：“好學君子自能觸類而考，何必輕傳？”“好事者得之，自可引而伸之，必發其余，豈小補哉。”教師既已講清例題的來龍去脈，就不要再越俎代庖，把觸類旁通留給學生自己去完成吧，而這也正是比類的價值所在。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]郭熙漢.楊輝算法導讀[M].武漢：湖北教育出版社，1996.

[3]吳文俊.中國數學史大系（第五卷）[M].北京：北京師范大學出版社，2000.