五軸機床后處理非線性誤差精確插補算法

摘要：針對五軸AC雙轉臺數控機床后處理存在的非線性誤差問題，提出一種精確插補算法。采用齊次變換矩陣實現機床逆解，采用旋轉量最小法篩選多解。對于常規非線性誤差采用矢量插補，對于奇異非線性誤差采用線性插補，將插補產生的新非線性誤差精確控制在目標值的95%～100%之間，仿真表明該方法可以有效控制誤差精度。曲面零件加工實驗結果表明：該方法相對于傳統中點迭代插補方法能夠減少18%的NC數據量和13.7%的加工時間，同時改善切削力與表面粗糙度。

關鍵詞：五軸后置處理；非線性誤差；奇異問題；線性插補；矢量插補

中圖分類號：TH161；TG502.12文獻標志碼：A文章編號：1671-5276（2024）06-0047-06

Abstract：A compensation algorithm with accurate interpolation is proposed for the nonlinear error problem in the post-processing of existing five-axis AC double rotary table CNC machines. The inverse solution of machine motion is realized by using the homogeneous transformation matrix， and the multi-solution screening is performed by using the rotation amount minimization method. Exact vector interpolation is used for non-singular nonlinear errors， and exact linear interpolation is applied for singular nonlinear errors to precisely control the new nonlinear errors generated by each interpolation between 95% and 100% of the target value. Simulations show that the method can effectively control the error accuracy. And the experimental results of surface part machining show that the proposed method， in comparison with the traditional midpoint iterative interpolation one， can reduce the amount of NC data by 18% and the machining time by 13.7% and improve the cutting force and surface roughness as well.

Keywords：five-axis machine tool post-processing; nonlinear error; singularity problem; linear interpolation; vector interpolation

0引言

五軸數控機床廣泛應用于航空、汽車與工業模具等具有高精度加工要求的領域，自動化的應用對于自動編程和后置處理也提出了新要求。五軸后置處理是將CAM軟件生成的記錄刀具相對加工坐標系的位姿運動信息（automatically programmed tools，APT）文件轉換成適應特定型號數控機床加工環境的NC文件的過程［1］。由于五軸機床的結構特點，后置處理過程中旋轉軸取值容易產生突變，進而產生明顯的非線性誤差。

目前針對五軸非線性誤差的補償方法一般分為切觸點偏置法、線性加密法和自適應插補法等［2］。姬俊峰等［3］采用通過將刀具沿著切觸點法向偏置來控制非線性誤差。李旗號等［4］通過調整步長來加密以減小非線性誤差。劉明明［5］采用中點迭代插補算法，插值一定數量的點來控制非線性誤差范圍。

關于非線性誤差補償，切觸點偏置法操作復雜，而線性加密法也只適用于小型零件加工，大型零件加工會造成數據量過大，影響數控系統加工效率。中點迭代插補雖然可以控制誤差精度，但是插補點的數量也較多，具有可優化空間。

目前對于五軸奇異非線性誤差處理主要是針對奇異區域APT刀軸矢量調整、線性插補和優化裝夾等幾個方向開展［6］。吳磊［7］采用五次B樣條曲線對APT的刀軸位姿進行擬合還原曲面，通過篩選最小非奇異域刀位點來規避奇異誤差。SRBY［8］提出了一種在奇異點附近線性插值的算法，修改C軸轉角來減小奇異誤差。CRIPPS等［9］分析奇異點的產生本質，通過傾斜裝夾工件來避開奇異點，但該方法只適用于特定工件的特定刀路。

關于奇異補償，APT刀軸矢量優化雖可實現奇異刀軸的規避，但是該方法多是基于刀軸角度偏差反饋展開的，即對于加工的刀尖位置偏離誤差不具備有效的精度控制；工件裝夾優化方法雖然可以很好地解決部分加工奇異問題，但是對目標零件與工序有明確的要求，且一般需要定制夾具，故難以推廣。

綜上所述，本文在相關研究的基礎上，分析非線性誤差的具體組成，應用精確矢量插值來補償常規非線性誤差，應用精確線性插值來補償奇異非線性誤差，實現滿足精度的最少插值點的補償要求。

1運動學建模

1.1五軸AC機床運動學模型

針對正交雙轉臺AC五軸機床結構特性，構建機床、旋轉軸、刀具等坐標系，如圖1所示。其中OM為機床坐標系，OA為旋轉軸A的坐標系，OC為旋轉軸C的坐標系，OW為加工坐標系，OT為刀具坐標系。機床默認為正交坐標系，即坐標系之間的初始狀態只涉及平移變換，考慮機床運動的［X，Y，Z，A，C］之后，各個坐標系之間的變換關系如圖所示，其中T表示坐標系原點之間的平移矩陣，R表示坐標系旋轉姿態變化的旋轉矩陣。

為了簡化計算，將OM和OA重合，即Tatm=E（單位矩陣），同時定義刀位點中刀尖坐標相對刀具坐標系的齊次坐標分別為：TP=0，0，0，1T，刀軸矢量在刀具坐標系的齊次坐標為TV=0，0，1，0T。通過兩條運動鏈在OT和OW上閉合求解。

可得機床運動量NC數據［XYZAC］與刀位位姿APT數據xyzijk的關系表達式為：

式中：［Xwtc，Ywtc，Zwtc］T=［0，0，120］T，表示坐標系原點OW指向OC原點的矢量；同理，機床旋轉軸A到旋轉軸C的結構參數，即坐標系原點OC指向OA的矢量為［Xcta，Ycta，Zcta］T=［0，0，-120］T。

1.2多解篩選

五軸正交AC雙轉臺數控機床在旋轉軸量程滿足的條件下，同一APT刀位點位姿對應的A、C取值一般不唯一。對于多組解需要進行篩選，本文采用旋轉量最小法，即設定目標函數，用來反映某個刀位數據對應旋轉軸的第i組可行解（Ai，Ci）取值帶來的旋轉軸運動總量。理論上該目標函數取值越小，代表旋轉軸的運動總量也越小。

式中：k1代表A軸旋轉變化量的權值；k2代表C軸旋轉變化量的權值。

2非線性誤差分析與補償

2.1非線性誤差原因分析

五軸數控機床非線性誤差指的是五軸數控機床每次在執行微小插補加工過程中，理想表面上的點到實際刀具軌跡包絡體之間存在的最大距離偏差。由圖2所示，根據產生的原因，非線性誤差可分為弦高誤差與刀具擺動誤差，刀具擺動誤差又可根據誤差表現形式分為刀軸偏角誤差與刀尖偏距誤差。

非線性誤差中，弦高誤差產生原因是CAM在輸出APT文件時將理想刀軌離散成直線或者圓弧時產生的誤差，可以通過縮小離散步距進行優化，故該誤差本文不予考慮。刀軸偏角誤差是由于五軸機床數控系統對NC數據的轉角采用線性插值處理方式與APT刀軌矢量插補方式的差異而引發的刀具姿態誤差；刀尖偏距誤差是插補生成的旋轉角數據對刀尖坐標進行變換產生的刀尖位置誤差。

2.2非線性誤差計算

以圖1中的五軸AC雙轉臺機床為例，設一組需要插補的NC代碼為NC0=［X0，Y0，Z0，A0，C0］到NC1= ［X1，Y1，Z1，A1，C1］，其對應的APT數據為APT0=［x0，y0，z0，i0，j0，k0］到APT1=［x1，y1，z1，i1，j1，k1］，將上述數據作為一個處理單元。定義理想軌跡與實際軌跡插補點的總個數均為k，其中ki對應插值系數t，t∈0，1，對應插補點的理想刀軸矢量Vt為

式中：刀軸矢量V0=［i0，j0，k0］T；V1=［i1，j1，k1］T；θ為V0和V1間的夾角。

對于NC數據，參數t對應插補點的角度與刀軸矢量為V′t為：

刀具偏角誤差就是理論插補刀軸矢量Vt與實際插補刀軸矢量V′t之間的角度誤差。

計算刀尖偏距ε則需要根據式（3），先對NCt的刀尖坐標Pt=［Xt，Yt，Zt］T進行計算。

計算插補系數t對應的刀尖偏距誤差，即點Pt到理論插補線段的距離：

式中：Pa0=［x0，y0，z0］T是APT0中的刀尖坐標數據；Pa1=［x1，y1，z1］T是APT1中的刀尖坐標數據。

如圖3所示，在較大的非線性誤差下，刀尖偏距誤差對于加工產生的過切欠切比刀軸偏角誤差更為明顯。因此，本文針對非線性誤差補償的目標就是減小刀尖偏距誤差。

2.3常規非線性誤差精確矢量插值補償

針對由于離散步距等常規原因引起的常規非線性誤差，本文采取精確矢量插補方法修正。

已知APT0、APT1、NC0、NC1以及插值系數t，則插值數據NCt計算如下。

根據式（4）獲得Vt=［it，jt，kt］T，計算At，Ct：

結合多選篩選式（4）獲得At，Ct；然后根據APT0與APT1計算當前理想刀尖坐標：

將Pt代入式（7）計算最終的刀尖坐標。

已知刀尖偏距誤差閾值εlim，通過二分法確認設定一個插值系數t，t∈［0，1］。t的初始值為0.5，會根據需求不斷迭代：如果ε/εlimlt;0.95，則t=1.5t，再次計算對應的NCt；如果ε/εlimgt;1，則t=0.5t迭代計算。直到使得NC0與NCt之間的刀尖偏距誤差ε滿足ε/εlim∈［0.95，1］，對應NCt作為目標插值數據。

3奇異誤差分析與補償

3.1奇異原因分析

五軸數控機床奇異指當APT刀軸矢量接近加工坐標系的Zw軸，對應NC旋轉軸的相鄰取值發生突變的現象。如圖4所示，刀位Vi和Vi+1的夾角設為Φ，對應A軸和C軸的的旋轉增量為ΔA和ΔC。此處Φ的取值即使很小，對應ΔC的取值卻非常大，這就是因為刀軸矢量進入奇異域引發的旋轉量突變現象［10］。

3.2奇異檢測

一般將距離奇異軸一定角度閾值的區域定義為奇異域，經過奇異域的刀軸矢量就容易產生奇異非線性誤差，但是奇異域的邊界難以定義，無法應用該方法精確檢測奇異刀軸矢量。對此，可以通過矢量插補所需次數來判斷當前刀軸矢量進給是否存在奇異。

圖5所示為單位球在yOz平面的投影，V0與V1對應的ΔC趨于180°，對V0、V1之中的所有可插補矢量進行選取作為插值點，如果只考慮C=arctan（-i/j），則奇異軸兩側的Vi、Vi+1中的ΔC也是趨于180°。考慮到一般多解的選取策略為綜合A軸與C軸的變化量，所以奇異發生的位置為奇異軸偏向終點矢量的某一組相鄰插值點，如圖中的Vk與Vk+1，即奇異點在矢量插補之后進行了“后移”，理論上矢量插補無法解決奇異非線性誤差。

綜上所述，本文檢測方法為：如果常規非線性誤差矢量插補次數超過閾值Nlim且誤差不收斂，則可以認定為屬于奇異單元。

3.3奇異非線性誤差精確線性插值補償

針對由于奇異原因引起的非線性誤差，本文采取精確線性插補方法，流程如下。

已知存在奇異的數據APT0、APT1、NC0、NC1以及插值系數t=0.5，則插值數據NCt計算如下。

對NC的角度數據進行插補，計算At、Ct：

根據APT0與APT1計算當前理想刀尖坐標：

將Pt代入式（7）計算當前的刀尖坐標與NCt數據。同理采用二分法對t進行迭代，計算出符合要求的t，滿足ε/εlim∈［0.95，1］，將對應NCt作為插入值。

4非線性誤差精確插補算法整合

本文非線性誤差精確插補算法整體流程如下（圖6）。

1）輸入目標APT與初始NC數據；定義目標最大非線性誤差εlim以及奇異檢測的矢量插補最大迭代次數Nlim。

2）載入第i、i+1組APT與初始NC數據作為一個處理單元，參照2.2節計算對應的非線性誤差ε。

3）如果當前非線性誤差εlt;εlim，則該組數據合格，令i=i+1，執行步驟2）；否則參照2.3節進行常規非線性誤差矢量插補，并設定num作為記錄該過程中插補的NC數據個數。每次該處理單元新增1組NC數據，則num=num+1，同時計算該單元所有非線性誤差{ε}。

4）如果{ε}均小于εlim，且numlt;Nlim， 則認定插值合格，令i=i+1，執行步驟2）；如果{ε}不完全小于εlim，且numgt;Nlim，則認定插值不合格，需對該數據單元中所有插值數據進行清空，并參照3.3節進行奇異線性補償；

5）奇異補償過程中，每次新增1組插值數據NC，則計算整體非線性誤差{ε}；如果{ε}均小于εlim，則認為該數據單元插值合格。處理完畢，令i=i+1，執行步驟2）；否則繼續執行插值新的NC數據。

6）每次令i=i+1的時候，會進行一次判斷，如果i到達最后一行，則輸出目標NC數據，流程結束；否則執行步驟2）。

5仿真與加工驗證

為驗證本文算法的有效性。對曲面案例模型的刀軌進行插補，零件插補前后刀軌如圖7所示。對該曲面進行加工，材料60mm的方形毛坯，為了獲得良好的加工效果，對刀軌進行密化，將刀軌“往復”數量從30條增加到120條進行半精加工，增加到600條進行精加工。

在半精加工工序中，非線性誤差插補閾值設置為0.005mm，在切削量與進給速度等加工參數相同的條件下，精確插補NC總數據量為31 663個，加工時間1 442s；中點迭代插補NC總數據量為38 747個，加工時間為1 670s。即精確插補算法NC數據量同比減少18.3%，加工時間同比減少13.7%。

在半精加工過程對精確插補與傳統中點迭代插補的切削過程進行切削力測量，其結果對比如圖8所示，精確插補的切削力在加工過程中切削力變化較大的位置實現了切削力幅值的有效降低。

半精加工完成后，對精確插補與傳統中點迭代插補方法加工完成的兩組加工零件測量表面粗糙度，其測點選擇如圖9所示。

如圖10所示，在半精加工表面粗糙度測試中，精確插補加工表面粗糙度更小，整體更為光滑。

精確插補方法的精加工工序完成后，零件切削效果如圖11所示，整體表面光滑，無明顯過切欠切痕跡，達到預期優化目標。

6結語

本文提出五軸機床后處理非線性誤差精確插補算法，包括通過建立機床運動鏈模型，運用齊次變換對機床運動進行建模，采用旋轉量最小法實現多解篩選，對常規的非線性誤差采用精確矢量插補，對奇異非線性誤差進行監測和精確線性插補。仿真和實驗驗證該方法不僅可以有效控制非線性誤差，而且與常規中點迭代插補算法相比，具有插補點更少、加工時間更短、切削力和加工表面質量更好的優點。

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［10］ 畢慶貞，丁漢，王宇晗. 復雜曲面零件五軸數控加工理論與技術［M］. 武漢：武漢理工大學出版社，2016.

收稿日期：20230406

基金項目：南京航空航天大學研究生科研與實踐創新計劃項目（xcxjh20210507）

第一作者簡介：徐世昌（1998—），男，江西南昌人，碩士研究生，研究方向為五軸數控機床后置處理與仿真，1667691056@qq.com。

DOI：10.19344/j.cnki.issn1671-5276.2024.06.009