聯結·生成·遷移：整體理解數的概念的一致性

［摘 要］數與代數是義務教育階段學生數學學習的重要內容，數學新課標在“數與運算”中提出“感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識”。這就要求教師站在整體化、系統化的高度，基于學生的認知規律對教學內容進行梳理、整合，通過一系列層次遞進的學習活動，推進結構化教學進程，引導學生以核心概念為統領，建立知識之間的聯系，形成有效的知識與方法的遷移，促進學生數感和符號意識的發展。

［關鍵詞］整體性；一致性；聯結；生成；遷移

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）36-0001-04

［基金項目］本文系江蘇省中小學教學研究第十五期立項課題“指向聯結力提升的小學數學核心知識循證教學研究”（課題編號：2023JY15-L75）的研究成果。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學新課標”）在“學段目標”中指出：“為體現義務教育數學課程的整體性與發展性，根據學生數學學習的心理特征和認知規律，將九年的學習時間劃分為四個學段。”小學階段所認識的數，主要包括整數、分數和小數。數的概念本質上的一致性，主要體現在以下兩個方面：一是整數、分數和小數都是對數量或數量關系的抽象；二是整數、分數和小數都可以從計數單位與計數單位個數的角度加以認識。數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，有助于學生形成數感和符號意識。然而，對數的概念本質上的一致性，學生理解是有困難的。數學教學重在求聯，實現“學一點，見一片；習一題，悟一類”，形成具有整體性、系統性、結構化的“類”知識、“大觀念”，從而有效培養學生的數學核心素養。

近日，有幸觀摩了全國著名數學特級教師——徐斌執教的一節六年級復習課“數的認識”，深感震撼。整節課，徐老師緊扣核心概念，通過前后知識的整體關聯，構建知識網絡，帶領學生在知識復習中深度理解數的概念本質上的一致性。

一、聯結：在以核心概念為錨點的知識網絡建構中感受一致性

徐老師認為，在“數的認識”中，核心概念是計數單位及其累加。無論是整數，還是分數和小數，都可以看作是計數單位的累積；所有的整數都可以看作是計數單位1不斷累加的結果，所有的分數和小數都可以看作是計數單位1不斷細分的結果。因此，教師教學時應牢牢抓住計數單位這個核心概念，引導學生結合計數單位、計數單位的個數來理解數的意義，感悟數的概念本質上的一致性。

1.從數的形成與發展的意義中進行聯結

數學學習是教師帶領學生與數學真實相遇的過程，也是學生探索數學知識，最后自主建構新知的過程。六年級復習課“數的認識”是基于學生已有的知識經驗基礎上對數的再認識，教師要引導學生正確理解數的科學本質和科學屬性，以構建“知識網”“意義網”，明確數產生的意義。

課堂上，徐老師先出示關于蘇州園林的自編教材（見圖1），引導學生閱讀。

師：閱讀這段材料后，你有什么感覺？

生1：看到了很多的數。

師：這些數學過嗎？你能把它們分分類嗎？

生2：可以把這些數分為整數、分數、小數三類。（徐老師引導學生從整數開始分類梳理，展開自主探究）

師：（出示9、517、8337、6602000000這4個數）任選一個數，先自己讀一讀，再想一想這個數的組成，最后表示出這個數。（反饋交流時，徐老師引導學生的思維聚焦到計數單位上，使他們發現這些數都可以用“計數單位×個數”來表示，從而找到整數的相通之處）

師：剛才資料中的6602000000，為什么選擇研究的人不多呢？（學生思考）

師：用計數單位個、十、百、千無法表示出這個整數，計數單位不夠了，怎么辦？

生3：要繼續增加新的計數單位。（徐老師逐步出示數位順序表，通過數位擴展，讓學生感受數的形成和發展）

通過以上梳理整數的環節，學生明白：數系的擴充源自記數的需要，從計數單位1開始，先由10個一累加得到1個十，再10個十累加得到1個百，然后10個百累加得到1個千……進而能得到整數的所有計數單位與數位；分數和小數的擴充源自平均分物時，所分出的部分無法用自然數表示，為了表述物體中的部分，就產生了分數和小數。在數位順序表中，個位是具有代表性的數位，它既是學生認識的第一個計數單位和數位，又是其他計數單位和數位產生的基礎。

在梳理完整數的意義后，徐老師以單位“1”為聯結點，引導學生細分單位“1”，使學生明白這樣可以得到分數和小數的計數單位的十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……這樣，從整體上可以看出分數和小數的意義同樣是借助“計數單位×個數”來表示，所以分數、小數與整數的意義是一致的（見表1）。

2.從數的呈現與表達中進行方法聯結

“數的認識”包括數的抽象表達、數的大小比較等內容。復習課上，徐老師注重引導學生用多種方式來表示數的大小。如梳理整數8337（見圖2）時，徐老師引導學生在讀數、寫數、畫數等多種表達方式中展示出對數的認識程度。這樣通過圖像表征，將數學概念可視化，有助于學生體驗數的遞增性，感悟數與數之間的關系。復習分數和小數時，徐老師則讓學生在數軸上找到相應的分數和小數，應用數的經驗，在意義建構中思考怎樣用數來表達，構建新的認知。

二、生成：在以任務單為載體的認知結構進階中感受一致性

數學新課標指出：“課程內容組織。重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。”整數、小數、分數的計數單位，都是度量數的大小的單位。也可以說，計數法是基于數的計數單位和個數，用符號對數進行表示。因此，對數的概念的理解，能夠促進學生數感和符號意識的發展。

1.基于學生認知經驗的遞進式任務設計

斯苗兒老師認為，從整體視角對教學內容進行結構化重組，教學設計邏輯需要把學科科學邏輯和學生思維邏輯結合起來進行考慮，使學習由碎片化學習轉變成整體性學習，思維結構由散點分布發展成系統結構。為此，基于學生已有的認知經驗，徐老師設計三個遞進式任務，引導學生經歷數的意義再抽象的過程，形成系統的認知結構，并在此過程中感悟數的概念本質上的一致性。

任務一：整數的梳理

我選的數是（ ）。

（1）讀：自己讀一讀。

（2）想：這個數的組成。

（3）畫：表示出這個數。

任務二：分數和小數的梳理

[35] 1.75

（1）說一說：上面各數表示什么，是怎樣組成的。

（2）找一找：在數軸上找到這兩個數對應的點。

任務三：整數、分數、小數之間關系的梳理

（1）小數和分數之間有什么關系？

（2）整數和小數之間有什么一致呢？

（3）整數、小數、分數三者之間有什么內在一致性呢？

復習課的教學目標之一是引導學生對已學的知識進行整理和概括，將零散的知識點串聯起來，形成完整的認知結構。通過設計學習任務，促使學生采用自己理解的方式呈現出不同的認知結構，以培養學生思維的創造性，加深學生對已學知識的理解與記憶。

2.從具象到抽象的學習工具的進階性選擇

認識數的重點是使學生經歷“形象直觀—半抽象—抽象”的探究過程，而抽象提煉離不開學具的支持。“數的認識”這節課，學具的選擇正是體現了這樣的思考：計數器表示整數，數位順序表表示整數和分數，數軸可以把整數、分數和小數全部歸在一起。這樣，學生在自主參與中經歷認知結構逐步完善的發展過程，深化了對數的概念本質的理解，最終形成如下的思維導圖（見圖3）。

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圖3 “數的認識”教學的思維導圖

通過思維導圖，可以清晰地展現出整數、分數、小數的概念本質上的一致性。這樣教學有助于學生將計數單位這一核心概念聯系起來，且整數、分數、小數的計數單位還可以組成一個比較完備的十進制系統，促使學生對數的認知不斷向縱深發展。

三、遷移：在以問題鏈為線索的課堂整體評練中感受一致性

數學學習不僅是獲取知識、形成技能的過程，更是發展思維、感悟數學思想方法的過程，而問題鏈的設計是一個很好的抓手。如在本復習課教學中，學生雖然理解了計數單位1，但用計數單位對數進行分類的經驗還不足，故而沒能勾連起數整數的經驗。因此，教師要打破知識壁壘，通過問題鏈，以聯系、整體、全局的視角，將學生的思維一步步引向深處。這樣能促進學生對所學知識的有效遷移，感悟數的概念本質上的一致性，培養學生的數感。

1.促進學生主動鏈接的問題驅動

在復習過程中，學生的學習體驗是從“一”到“多”、從“多”到“類”的不斷累加的過程。“數的認識”這節復習課，徐老師用問題串聯起了整節課的教學。

問題（1）：怎么復習？

生1：從最基礎的知識開始復習。

師：如果知識點一個一個地重新學一遍，一節課時間夠嗎？

生2：不夠，應該從最重要的知識開始復習。

問題（2）：數有什么價值？有了這些數，你能怎么樣？

生3：可以比大小。

生4：表示關系。

問題（3）：有了整數，為什么還要有分數？有了分數，為什么還要有小數？整數、分數、小數之間有什么關系？

……

以上問題鏈的設計，幫助學生梳理數的發展過程。在交流互動的過程中，學生厘清了數之間的關系：小數是特殊的分數，在意義上與分數是一致的，但在表達方式上借助了整數的十進制，所以小數也被稱為十進小數，如十分之幾可以寫成一位小數、百分之幾可以寫成兩位小數等；整數的計數單位和小數的計數單位是一致的，都遵循十進制；整數、小數、分數都有計數單位，都可以看作對計數單位進行思維操作的結果，都可以用“計數單位×個數”來表示。

問題的討論，促使學生關注概念的發生、發展和構建過程，厘清概念之間的關系，最終形成以核心概念為統領的結構化認知。

2.促進學生主動遷移的練習設計

數學新課標強調，數學課程要培養的學生核心素養，主要包括“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”三個方面。“數的認識”這節復習課教學，徐老師通過快問搶答的形式，引導學生在層層深入的過程中學會了有邏輯地思考、有系統地推想、有依據地表達，明白了數是怎樣產生的，豐富了學生對數的認知。

拓展（1）：4-2=2 3-2=1 2-2=0 1-2=？

師：1-2，產生了一種新的數，即負數。減法算著算著就產生了負數，有了負數，減法就暢通無阻。

師：（出示數軸）負數在哪兒？

拓展（2）：12÷3=4 6÷3=2 3÷3=1 1÷3=？

師：1÷3產生了分數，為了表述物體中的部分就產生了分數。

拓展（3）：42=16 32=9 22=4 ？2=2

師：這里，？2=2，會產生什么數？

……

本節復習課教學，徐老師基于整體的思維，通過多樣化的方式引導學生進行復習，梳理數的認知，關聯數的概念本質上的一致性。這樣，學生經歷了知識再創造和數學化的過程，溝通了整數、小數、分數的聯系，使之成為一個整體。

數學概念是用數學語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式。概念是在抽象、概況基礎上形成的，概念結構中內隱的本質屬性需要不斷強化，而符號化是為了實現語言表達和有序思考的需要，以達到對數學概念本質內涵理解的逐層深化。計數單位統領了數的意義、讀寫、大小比較等。研究數的概念，最終聚焦到計數單位及其個數的研究上，從而感悟數的認識具有一致性。無論研究整數、分數還是小數，都是通過數的意義、讀寫、大小比較等視角來研究的。可見，數的認識具有整體性。本節復習課教學，通過多角度溝通聯系，從整體的視角對數的認識進行分析、系統梳理，從而達到聯結成網的目的，實現數概念的結構化學習，讓學生理解數的概念本質上的一致性，提升了學生的數學核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 郭華.落實學生發展核心素養 突顯學生主體地位：2022年版義務教育課程標準解讀[J].四川師范大學學報（社會科學版），2022，49（4）：107-115.

[3] 王海靜.慢養數學：小學生數學求異思維發展之我見[J].數學教學通訊，2016（7）：8-9.

（責編 杜 華）