基于代數(shù)幾何，培養(yǎng)推理意識

［摘 要］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對“三角形的三邊關(guān)系”這一內(nèi)容的教學(xué)，提出了新的方向和要求。基于此，教師要在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上尋求突破，結(jié)合尺規(guī)作圖、代數(shù)思維、推理意識三個方面，進(jìn)行新的教學(xué)嘗試，使學(xué)生的思維水平在幾何作圖中得到提升，實現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

［關(guān)鍵詞］尺規(guī)作圖；代數(shù)思維；推理意識；磨課

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）36-0014-04

“三角形的三邊關(guān)系”是蘇教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、操作和分析等活動，自主探索和發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）在這一內(nèi)容中增加了尺規(guī)作圖探索三角形三邊關(guān)系和運用幾何基本事實進(jìn)行推理的教學(xué)提示。這就意味著教師要思考如何借助尺規(guī)來設(shè)計探究活動，使學(xué)生能夠基于幾何作圖，對發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行探究和表達(dá)，從而突破認(rèn)知難點。同時，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，明白規(guī)律背后的道理，能夠基于推理掌握尺規(guī)作圖的方法。

基于以上思考，我嘗試在“三角形的三邊關(guān)系”這一內(nèi)容教學(xué)中融入代數(shù)思維，引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)作圖進(jìn)行新的操作實驗，加強學(xué)生對規(guī)律的推理，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、問題相同，活動不同

片段（一）：按照教材，嘗試運用小棒進(jìn)行探究

師：任意3根小棒都能圍成三角形嗎？（出示長度為3cm、4cm、5cm、8cm的4根小棒）老師為大家準(zhǔn)備了4根小棒，現(xiàn)在請同學(xué)們先按要求圍一圍，再展示匯報。（多媒體出示活動目的和要求）

活動目的：借助小棒探究三角形的三邊關(guān)系。

活動要求：（1）選一選。4人小組，每人選擇不同的3根小棒。（2）圍一圍。用小棒圍一圍三角形，并記錄結(jié)果。（3）說一說。小組內(nèi)相互說說操作過程和結(jié)果。

師：哪些小棒能圍成三角形，哪些小棒不能圍成三角形？

生1：能圍成三角形的3根小棒有3cm、4cm、5cm，4cm、5cm、8cm，3cm、5cm、8cm；不能圍成三角形的三根小棒是3cm、4cm、8cm。

師：同學(xué)們得到的結(jié)果一樣嗎？

生2：結(jié)果一樣。

生3：可我用3cm、5cm、8cm這3根小棒不能圍成三角形。

師：我們再來用這3根小棒圍一圍，看能不能圍成三角形。

片段（二）：基于課標(biāo)，熟練運用尺規(guī)探索規(guī)律

師：（出示長度為3cm、4cm、5cm、8cm的4條線段）這里，任意的3條線段都能圍成三角形嗎？（學(xué)生猜想）有了猜想，就要進(jìn)行驗證。你們想怎么進(jìn)行驗證？

生4：畫一畫，看看能不能圍成三角形。（教師通過多媒體出示活動目的和要求）

活動目的：借助尺規(guī)作圖探究三角形的三邊關(guān)系。

活動要求：（1）選一選。4人小組，每人選擇不同的3條線段。（2）畫一畫。借助直尺和圓規(guī)畫三角形，保留作圖痕跡。（3）說一說。說說能圍成或不能圍成三角形的原因。

生5：不能圍成三角形的線段有3cm、4cm、8cm和3cm、5cm、8cm，能圍成三角形的線段有3cm、4cm、5cm和4cm、5cm、8cm。

【思考】教材為本課教學(xué)提供的材料是小棒，讓學(xué)生通過小棒圍三角形的操作活動，探究三角形的三邊關(guān)系。但在實際教學(xué)過程中往往會出現(xiàn)問題，因為小棒較粗，操作中易出現(xiàn)誤差，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律。為了使探究過程更嚴(yán)謹(jǐn)和更科學(xué)，我結(jié)合數(shù)學(xué)新課標(biāo)中的教學(xué)要求，嘗試借助尺規(guī)作圖來設(shè)計操作活動。

借助尺規(guī)畫三角形，是在畫等長線段的基礎(chǔ)上，先找到三角形的第三個頂點，再畫出三角形，讓學(xué)生感受由一維空間到二維空間的發(fā)展。運用尺規(guī)作圖探究三角形的三邊關(guān)系，要求學(xué)生靈活運用尺規(guī)，并結(jié)合作圖過程進(jìn)行推理，這是學(xué)生對尺規(guī)作圖的深化應(yīng)用。其意義不僅在于讓學(xué)生明確尺規(guī)作圖的價值，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，更在于讓學(xué)生熟練運用并進(jìn)行推理，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

二、教材相同，思維不同

片段（一）：依照教材，展現(xiàn)常規(guī)教學(xué)思路

師：任意3條線段都能圍成三角形嗎？（多媒體出示活動目和要求）

活動目的：借助尺規(guī)作圖探究三角形的三邊關(guān)系。

活動要求：（1）選一選。在長度為3cm、4cm、5cm、8cm的線段中，任選3條不同的線段。（2）畫一畫。借助直尺和圓規(guī)畫三角形，保留作圖痕跡，并標(biāo)明數(shù)據(jù)。（3）說一說。說說能圍成三角形或不能圍成三角形的原因。

生1：長度為3cm、4cm、8cm和3cm、5cm、8cm的兩組線段不能圍成三角形。

師：為什么不能圍成三角形？每組的3條線段有怎樣的關(guān)系？

生2：因為3+4<8或3+5=8，所以不能圍成三角形。

生3：長度為3cm、4cm、5cm和4cm、5cm、8cm的兩組線段能圍成三角形。

師：為什么能圍成三角形？每組的3條線段有怎樣的關(guān)系？

生4：因為3+4>5、4+5>8，所以它們能圍成三角形。

師：觀察思考，能圍成三角形的3條線段有怎樣的關(guān)系？（學(xué)生回答略）

師生小結(jié)：能圍成三角形的3條線段，其中2條較短線段的長度的和大于最長的線段。

片段（二）：開發(fā)教材，促進(jìn)代數(shù)思維發(fā)展

師：任意的3條線段都能圍成三角形嗎？（多媒體出示活動目的和要求）

活動目的：借助尺規(guī)作圖探究三角形的三邊關(guān)系。

活動要求：（1）選一選。4人小組，每人從a、b、c、d這4條線段（實際長度為3cm、5cm、8cm、4cm）中，任選3條不同的線段。（2）畫一畫。借助尺規(guī)畫三角形，保留作圖痕跡。（3）說一說。說說能圍成三角形或不能圍成三角形的原因。

生5：不能圍成三角形的線段有a、b、c和a、c、d。

師：它們?yōu)槭裁床荒車扇切危?/p>

生6：兩條線段沒有交點，或交點在線段c上。

師：這個交點就是什么？

生7：三角形的第三個頂點。

師：這3條線段有什么關(guān)系？

生8：a+b=c，a+d<c。

師生小結(jié)：不能圍成三角形的3條線段，其中2條線段的長度和小于或等于第3條線段。

生9：能圍成三角形的線段有a、b、d和b、c、d。

師：它們之間有什么關(guān)系？

生10：a+d>b，b+d>c。

師生小結(jié)：能圍成三角形的3條線段，其中2條線段的長度和大于第3條線段。

師：觀察并想一想，能圍成三角形和不能圍成三角形的情況有何不同？（學(xué)生回答略）

師生小結(jié)：能圍成三角形的3條線段有交點且在線段外，不能圍成三角形的3條線段沒有交點或交點在線段上；能圍成三角形的任意2條線段長度的和大于第3條線段，不能圍成三角形的任意2條線段長度的和等于或小于第3條線段。

師：任意2條線段長度的和大于第3條線段，就一定能圍成三角形嗎？（多媒體出示活動目的和要求）

活動目的：突破“任意”。

活動要求：（1）選一選。在能圍成三角形的3條線段中，除最長的線段，任選一條線段為底邊。（2）畫一畫。借助尺規(guī)畫三角形，保留作圖痕跡。（3）說一說。說說能不能圍成三角形和3條線段的關(guān)系。

師：你以哪條線段為底？能圍成三角形嗎？這3條線段有什么關(guān)系？（學(xué)生回答略）

師：分別以這3條線段為底，畫出3個三角形，觀察一下，它們有什么關(guān)系？（學(xué)生操作略）

師生小結(jié)：任意2條線段長度的和大于第3條線段，這樣的3條線段能圍成三角形。

【思考】借助尺規(guī)作圖來探究三角形三邊關(guān)系的教學(xué)，旨在通過幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生能更直觀、更清楚地發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系，得到初步的結(jié)論。但這樣的教學(xué)設(shè)計也存在以下問題：一是學(xué)生在運用尺規(guī)作圖之后，沒有利用好直觀圖示去觀察、發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系，更多的還是停留在計算三邊的長度上，也就失去了運用尺規(guī)作圖的意義和價值；二是教材提供4條指定數(shù)據(jù)的線段，得到的結(jié)論不具有一般性。因此，教師要在此基礎(chǔ)上深入鉆研教材和數(shù)學(xué)新課標(biāo)，進(jìn)行新的教學(xué)嘗試，尋求突破。

我嘗試將代數(shù)思維融入教學(xué)之中，即將教材中明確長度的4條線段換成與之等長的a、b、c、d這4條線段。課堂上，先讓學(xué)生根據(jù)核心問題提出猜想，再展開操作活動，并用含有字母的式子來表示三角形的三邊關(guān)系，促使學(xué)生的算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)化。同時，借助尺規(guī)作圖，學(xué)生能總結(jié)出圍成和不能圍成三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)一步探究能圍成三角形的三邊關(guān)系，最后得出三角形三邊關(guān)系的一般性結(jié)論。課堂上，學(xué)生多次嘗試運用代數(shù)思維進(jìn)行表達(dá)，并結(jié)合尺規(guī)作圖進(jìn)行推理，使自身的代數(shù)思維得到發(fā)展。代數(shù)思維作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，教師要有意識地對學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

三、規(guī)律相同，方法不同

片段（一）：列舉驗證，論證三邊關(guān)系

1.操作發(fā)現(xiàn)

師：（出示上表）觀察計算并想一想，能圍成三角形的3條線段有怎樣的關(guān)系？

師：所有的三角形，任意兩邊長度的和都大于第三邊嗎？

2.畫圖驗證

活動目的：驗證三角形的三邊關(guān)系。

活動要求：（1）畫一畫。借助尺規(guī)，隨意畫三角形。（2）量一量。量出三角形的三邊長度。（3）算一算。計算三角形的三邊長度是否符合規(guī)律。

片段（二）：推理驗證，強化推理意識

1.反證規(guī)律

師：這里，“任意”兩個字能去掉嗎？對于不能圍成三角形的3條線段，你能完整地說說這3條線段之間的關(guān)系嗎？

生1：a+c>b，b+c>a或a+c>d，d+c>a。

師：現(xiàn)在沒畫圖，你是怎么確定a+c>b、b+c>a的？

生2：最長的線段加上其中一條較短的線段，一定大于另一條較短的線段。

師：看來，我們還能通過推理得到三角形三邊的另外兩種關(guān)系。可這里也有兩條線段長度的和大于第三條線段，為什么也不能圍成三角形？（學(xué)生回答略）

師生小結(jié)：三角形中，只要有兩條線段長度的和不大于第三條線段，就不符合結(jié)論，即不能圍成三角形。

2.數(shù)據(jù)論證（幾何畫板）

師：所有的三角形都有這樣的三邊關(guān)系嗎？老師隨意畫一個三角形，從數(shù)據(jù)看，它的三邊關(guān)系符合這個結(jié)論嗎？

師：（運用多媒體，隨意拖動頂點）從數(shù)據(jù)看，它的三邊關(guān)系變化了嗎？

師生小結(jié)：不管三角形怎么變化，它的三邊關(guān)系始終不變。

3.方法優(yōu)化

師：（出示2、5、6，2、4、6，2、2、5這三組線段）判斷每組的3條線段能否圍成三角形，并說明理由。

師：如果是3條不同的線段a、b、c呢？2條相同的線段a和一條線段c呢？3條相同的線段a、a、a呢？（多媒體出示圖1）

4.演繹推理，論證歸納

師：（出示圖2）螞蟻想吃這塊蛋糕，該選哪條路？你想到了以前學(xué)過的什么知識？

師：你能用“兩點之間線段最短”這一知識點來解釋三角形的三邊關(guān)系嗎？

師：把三角形三邊的三個關(guān)系合并成一句話，就是今天學(xué)習(xí)的什么？

……

【思考】常規(guī)教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生對任選3根小棒圍三角形的不同情況一一列舉并觀察分析，得出初步的結(jié)論后，再驗證是不是所有的三角形都符合這一結(jié)論。這樣設(shè)計是通過舉例、計算來驗證結(jié)論的，缺乏推理。因此，教師要設(shè)計不同的推理驗證環(huán)節(jié)，加強對學(xué)生推理意識的培養(yǎng)。

首先，在學(xué)生得出初步的結(jié)論后，通過問題“這里，‘任意’兩個字能去掉嗎”，引導(dǎo)學(xué)生聚焦不能圍成三角形的情況，以代數(shù)推理反證三角形的三邊關(guān)系。其次，運用幾何畫板，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有三角形都符合這樣的三邊關(guān)系，從代數(shù)推理到數(shù)據(jù)驗證，再一次驗證結(jié)論。在學(xué)生討論交流后增加一個方法優(yōu)化環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生掌握判斷是否能圍成三角形的最優(yōu)方法。此環(huán)節(jié)，列舉了一般三角形、等腰三角形和等邊三角形的所有情況，即從特殊到一般進(jìn)行代數(shù)推理。最后，創(chuàng)設(shè)螞蟻吃蛋糕的情境，讓學(xué)生聯(lián)系舊知進(jìn)行推理分析，又一次驗證結(jié)論的正確性，明白研究要有據(jù)可證。

本節(jié)課教學(xué)基于代數(shù)幾何，引導(dǎo)學(xué)生體會用字母表達(dá)式來概括三角形的三邊關(guān)系，感悟規(guī)律的一般性。同時，尺規(guī)作圖作為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的有力抓手，能使探究過程有圖可見，并通過代數(shù)推理，促使學(xué)生的思維從直觀思維向抽象思維發(fā)展。學(xué)生在作圖操作中經(jīng)歷想象、分析、推理等思維過程，直觀的幾何圖示已然成為學(xué)生推理意識形成和發(fā)展的助推器，使學(xué)生深刻理解了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，幾何直觀和推理意識也得到了發(fā)展。整堂課，通過幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)，不僅為學(xué)生用字母式表示三角形的三邊關(guān)系提供了直觀依據(jù)，還為借助算術(shù)方法驗證代數(shù)概念提供了載體，獲得了較好的教學(xué)效果。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 王建芹，章莉.尺規(guī)作圖，讓學(xué)生思有源、推有據(jù)：“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)實踐與思考[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2024（4）：42-46.

[2] 包蓉.借助尺規(guī)作圖探究三角形的三邊關(guān)系[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2024（17）：51.

（責(zé)編 杜 華）