一定一動(dòng)——?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡為線段的最值問題

最值問題是近幾年中考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一，其中備受命題人青睞的線段最值問題是一定一動(dòng)類型. 它有以下特點(diǎn)：線段的一個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn). 解此類型題的關(guān)鍵是構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)的軌跡（直線型、曲線型）. 下面分三種情況舉例說(shuō)明.

一、定線定距離

例1 如圖1，矩形ABCD中，AB = 4，AD = 2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF的中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（ ）.

A. 2 B. 4 C. [2] D. [22]

解析：如圖2，過點(diǎn)P作PQ ⊥ CE于點(diǎn)Q，可證△PQF [∽] △DEF，于是 PQ = [12]DE = [2]. 可知點(diǎn)P到CE的距離始終是[2]，即點(diǎn)P在平行于CE且到CE距離為[2]的直線l上運(yùn)動(dòng)，故線段 PB的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到直線l的垂線段BM的長(zhǎng)（如圖3），易得BM = 2[2]. 故選D.

小結(jié)：若動(dòng)點(diǎn)P到定直線l的距離為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是平行于l的直線.

[A][B][D][C][E][F][P] [A][B][D][C][E][Q][F][P] [A][B][D][C][E][M] [l]

圖1 圖2 圖3

二、定線夾定角

例2 如圖4，在矩形ABCD中，AB = 3，∠DCA = 30°，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE = 30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，求CE的最小值.

解析：如圖5，以AD為斜邊作∠DAG = 30°的Rt△ADG，連接EG，易得[DEDF=DGAD] = [12]，∠EDG = ∠FDA，所以△EDG ∽ △FDA，故∠DGE = ∠DAF = 60°，可知?jiǎng)狱c(diǎn)E在與DG成60°夾角的射線GE上運(yùn)動(dòng)，則CE的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到該射線的垂線段CH的長(zhǎng)（如圖6），易得AD = [3]，所以DG = [32]，所以DH = [34]，CH = [94]. 故CE的最小值為[94].

小結(jié)：若動(dòng)點(diǎn)P與定線段AB形成的∠PAB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線.

[D][C][A][B][E][F] [D][C][A][B][E][F][G] [D][C][A][B][H][G]

圖4 圖5 圖6

類型三：定點(diǎn)等距離

例3 如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，4），P（1，0），B為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊構(gòu)造△ABC，使點(diǎn)C在x軸上，∠BAC = 90°，M為BC的中點(diǎn)，求PM的最小值.

解析：如圖8，連接AM，OM，在Rt△OBC中，∠BOC = 90°，M是BC的中點(diǎn)，則OM = [12]BC，同理AM = [12]BC，所以O(shè)M = AM，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AO的垂直平分線l. 故PM的最小值是點(diǎn)P到l的垂線段PN的長(zhǎng)，如圖9. 易知D[0，52]，E（5，0），DE = [525]. 連接DP，在△DEP中，由面積法可得PN = [455]. 故PM的最小值為[455].

[A][C][P][O][B][M][x][y] [b78150639ff0b09843f96f2069f6c7d85e361ff3e156d747ef01e1ef5ca62c4cA][C][P][O][B][M][x][y] [A][E][P][O][D][N][x][y][l]

圖7 圖8 圖9

小結(jié)：若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段AB的垂直平分線.

在一定一動(dòng)——?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡為線段的問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，往往另一動(dòng)點(diǎn)B也隨點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨點(diǎn)A的確定而確定，即點(diǎn)A與點(diǎn)B之間存在著必然的因果關(guān)系，建立起A，B之間的因果關(guān)系是解決與動(dòng)點(diǎn)B相關(guān)問題的關(guān)鍵.

拓展訓(xùn)練

1. 如圖10，在正方形ABCD中，已知邊AB = 5，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，則線段CF的最小值為（ ）.

A. 5 B. [52-5]

C. [522] D. [52]

2. 如圖11，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 6，延長(zhǎng)AB至D，使得BD = [12]AB，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且PB = PC，連接PD，則PD的最小值為（ ）.

A. [92] B. 5 C. [32] D. 9

[B][A][C][D][F][E] [A][B][D][P][C]

圖10 圖11

3. 如圖12，在菱形ABCD中，∠ABC = 120°，E是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PB + PE的最小值是[3]，則PE的最小值為（ ）.

A. 2 B. [3]

C. 1 D. [33]

4. 如圖13，在正方形ABCD中，AB = 4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且EG = 2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長(zhǎng)的最小值是（ ）.

A. [25] - 2 B. 2 C. 3 D. [5]

[D][C][B][E][A][P] [C][B][G][E][A][D][F]

圖12 圖13

5. 如圖14，已知∠ABC = ∠EAD = 90°，D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)且AC ⊥ ED于G，AB = AE = 4，則BG的最小值為（ ）.

A. [25] B. [22] - 1

C. [25] - 2 D. [4510]

6. 如圖15，在正方形ABCD中，AB = 1，P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C停止. 連接AP，以AP為直角邊向右側(cè)作等腰直角三角形，另一個(gè)頂點(diǎn)為Q. 則點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 .

[A][D][B][C][G][E] [A][D][B][C][P][Q]

圖14 圖15

7. 如圖16，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 5[3]，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為 .

8. 如圖17，等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = 5，點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，AD = 2，連接BD，將BD繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接AE，當(dāng)∠DAB = 時(shí)，AE可以取最大值，最大值等于 .

[B][P][A][C][D][Q] [A][B][E][C][D]

圖16 圖17

9.如圖18，等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 6，點(diǎn)D為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，以線段CD為斜邊在右側(cè)作等腰直角三角形CDE，連接AE，則AE的最小值為 .

答案：1. B 2. A 3. D 4. A 5. C 6. [2] 7. [52] 8. 135°，5 + 2[2] 9. [322]

（作者單位：沈陽(yáng)市南昌初級(jí)中學(xué)）