中考壓軸題

名師原創

【方法探究】

（1） 如圖1，在△ABC中，∠B = 2∠C，AC = 9，AB = 6.求BC的長.

[A][B][C] [A][B][C] [D] [A][B][C] [D] [E]

圖1 圖2 圖3

小軍同學通過思考發現，可以通過“將二倍角轉化為一倍角”或“將一倍角轉化為二倍角”兩種方法解決問題.

方法1：如圖2，作BD平分∠ABC交AC于點D，由∠A為公共角，∠ABD = ∠C，可以證明△ABD [∽] △ACB，進而求出BC的長.

方法2：如圖3，過點A作AD ⊥ BC于點D，在DC上截取DE = DB，連接AE，得到等腰三角形，再利用勾股定理可求出BC的長.

請你選擇其中一種方法的解題思路，寫出證明過程.

【遷移應用】

（2）如圖4，在△ABC中，D是BC上一點，∠B = 2∠C，AD ⊥ BC于點D，探究BD，AB，CD之間的數量關系，并證明.

【拓展延伸】

（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD，BD = 2AD = 4.求S△ABC.

[A][B][C] [D] [A][B][C] [D]

圖4   圖5

思路點撥

解：（1）（方法1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABC = 2∠ABD = 2∠CBD.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠ABD = ∠C = ∠CBD，∴BD = DC.

又∵∠BAD = ∠CAD，∴△ABD [∽] △ACB，∴[ADAB=ABAC=BDBC].

∵AB = 6，AC = 9，∴[9-DC6=69=DCBC]，∴BC = 7.5.

（方法2）∵BD = DE，AD ⊥ BC，∴AB = AE = 6，∴∠ABC = ∠AED.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AED3LF/tH062D70lpVSGmhWZ9hjOo4UeIWUVP+tXlwniqo= = 2∠C = ∠EAC + ∠C，

∴∠EAC = ∠C，∴EC = AE = 6.

∵在Rt△ADC和Rt△ADE中，AC2 - DC2 = AD2 = AE2 - DE2，

∴92 - （DE + 6）2 = 62 - DE2，∴DE = 0.75，

∴BC = 2DE + EC = 7.5.

（2）CD = BD + AB. 理由如下：

如圖6，在DC上截取DE = DB，連接AE.

∵BD = DE，AD ⊥ BC，∴AB = AE，∴∠ABC = ∠AED.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AED = 2∠C = ∠EAC + ∠C，

∴∠EAC = ∠C，∴EC = AE，

∴CD = DE + EC = BD + AB.

（3）如圖7，延長DA至點E，使AE = AD，連接CE.

∵∠BAC = 90°，∴AC ⊥ DE.

又∵AE = AD，∴CD = CE，∴∠E = ∠CDA，

∴∠DCA = ∠ECA，∴∠ECD = 2∠ACD.

∵∠ABC = 2∠ACD，∴∠ECD = ∠ABC.

∵∠DEC = ∠CEB，∴△EDC [∽] △ECB，

∴[DEEC=ECBE=DCBC].

∵BD = 2AD = 4，∴AE = AD = 2，∴DE = 4，

∴[4DC=DC8=DCBC]，∴BC = 8，DC = 4[2].

∵AD = 2，∴AC = 2[7]，AB = 6，

∴S△ABC = [12]AC[?]AB = [12] × 2[7] × 6 = 6[7].

（作者單位：開原市民主教育集團里仁學校）