小學數學教學中數學史的應用路徑

數學誕生于人們對計數和計算的需要，人都具有社會性，作為個體融入集體的過程就是人進入社會的過程。社會由千千萬萬個人組成，每個人的認知、經歷、觀察和思考都各不相同，要在某一個方向達成一致，要在互助中實現進步和發展，就要交流和互動。人與人之間的交流和互動是構成群體和形成集體的關鍵，形成了集體后，個體獲得的資源中就有一部分需要上交給集體分配，或者說個體可以用自己需求以外的某一類資源來同其他人交換其他類型的資源，數學就是在這種集體分配和等價交換中誕生的，所以數學有著深厚的歷史。本文主要以小學數學教學中數學史的應用為題，從數學史的價值定位出發，在簡單介紹了教學中應用數學史的價值以后，有針對性地探究了小學數學教學中數學史的應用路徑。

一、數學史的價值定位

數學史指的是研究數學的歷史以及數學的發展歷史，古往今來研究數學的人很多，他們研究對象的變化、數學認知的變化和對數學概念、規律、公式等的補充，以及在研究數學過程中留下的經典例題都是數學史的組成部分，這些都能在一定程度上反映數學乃至社會發展方向的變化。所以，數學史的價值定位就包括數學形成規律的概括、數學學科本質的體現、數學研究精神的總結和民族精神財富的載體。

（一）數學形成規律的概括

數學以數、量、圖形和數量關系、圖形關系為主要研究對象，有關數、量、圖形的概念和有關數量關系、圖形關系的規律是數學知識的主要構成，而不管是知識概念還是知識規律，其形成的過程都必然遵循著一定的規律。所有數學知識都是在解決問題的需要下，經過立足問題本身的嚴謹推理和實踐證明得出的正確結論，一些同類或關聯的數學知識在形成的過程中可能就遵循的是相同或相似的規律，所以數學史是數學形成規律的概括。

（二）數學學科本質的體現

學科本質是劃分學科系統化知識體系邊界的特定性質，可以從學術分類、知識體系、學術組織等多個角度解釋，基礎教育課程體系中的所有學生都是垂直學科，每一門學科內的知識都密切關聯著，且能體現這一學科區別于其他學科的突出性質，數學學科的本質就蘊藏在數學概念、數學思想方法、數學思維方式、數學符號與語言中，而數學史中也包含概念、思想方法、思維方式和符號、語言的由來，所以數學史也是數學學科本質的體現。

（三）數學研究精神的總結

學術研究需要持之以恒地堅持，也需要明確清晰的方向和切實可用的方法。不同知識領域的學術研究可能有著不同的指向，自然科學下一系列分支學科的研究強調“實驗與探究”，社會人文類學科的研究強調的是“質疑和思辨”，而數學這一具有實用工具屬性的數理學科，在研究中更強調“邏輯與驗證”，一代又一代的數學家對數學的探索都建立在基于問題或猜想的推導與反證之上，所以數學史還是數學研究精神的總結。

（四）民族精神財富的載體

古代的世界不同于現在，落后的交通工具限制了人們的出行，也限制了各地區間的文化交流，所以中西方的數學研究是割裂的，中國有中國的數學史，西方有西方的數學史。中國古代對數學的研究最早可以追溯到遠古時期，商周時期的人們就已經掌握了基本的計數、測量和幾何，一直到中西方數學的相互融合與影響前，古人留下了《九章算術》《周稗算經》《海島算經》的數學著作，所以數學史也可以算是民族精神財富的載體。

二、在教學中應用數學史的價值

教育指向的是對學生知識的建構、認知的建構、思維的建構和能力的培養，而從零開始的建構與培養需要經歷一個量的積累過程，在積累“量”的過程中，教師要帶領學生展開更多與所學課程相關的探索，包括課程知識的探索和課程史的探索，所以數學史需要在教學中得到應用。從學生學習和發展的視角看，對數學史的合理利用也能起到激發學生興趣、拓寬學生視野、啟發學生思維和培養學生品格的作用。

（一）借助深厚的歷史底蘊，激發學生興趣

小學生的主動學習建立在興趣之上，興趣則來源于好奇心、探索欲和求知欲。小學階段的數學雖然不會教授太復雜的知識，但一些基礎的數學概念對小學生而言也顯得有些抽象，這種抽象與小學生思維邏輯中做主導的具體形象思維相悖，所以很多小學生都覺得學數學難，學習的興趣自然偏低。在將數學史引入課堂教學后，教師能借著數學深厚的歷史底蘊，來勾起學生的好奇心和求知欲，進而激發學生的興趣。

（二）借助多樣的文化呈現，拓寬學生視野

數學史是對數學研究歷史和數學發展歷史的統稱，僅中國的數學史就涵蓋了從遠古時期到現代的完整數學研究過程，還包括誕生于不同歷史時期的多樣數學文化，西方的數學史中還涵蓋了在不同歷史時期誕生于不同國家的豐富數學文化。那么，從文化的角度出發，數學史中多樣的文化呈現就是價值極高的教學資源。在將數學史引入課堂教學后，教師就能借助其中多樣的文化呈現，來豐富學生的數學文化認知，并拓寬學生視野。

（三）借助多元的經典例題，啟發學生思維

數學的知識體系中包含大量的概念、公式和定理，其中大部分的概念、公式和定理都是數學家在某些經典例題的長期探索中一點點總結出來的，最后的結論可能只有一兩個符號、一兩句話或一兩個公式，中間發現、猜測、驗證、推翻、反思、修改、再驗證的過程卻是十分復雜的，這復雜的過程是數學史中重要的組成部分。因此，在將數學史引入課堂教學后，教師也可以借著其中多元的例題來啟發和鍛煉學生的思維。

（四）借助自主的探究過程，培養學生品格

數學家們對數學的研究已經經歷了成百上千年，過去的發現、猜想、驗證和總結生成了無數的概念、公式和定理，構成了如今這個內容豐富且結構清晰的數學知識體系，為當代人對數學的多元化的應用和進一步研究留下了寶貴的精神財富，但數學的研究并沒有止步于此，未來還可能生成更多新的概念、公式和定理，未來的探究把握在現代那些愿意鉆研數學的人手中，而數學史在教學中的應用更有利于培養學生的品格和傳承數學的探究精神。

三、小學數學教學中數學史的應用路徑

小學是系統教學的開始，也是基礎教育中最重要的筑基階段，小學生需要學習的知識相對基礎，量不多，難度也不大，相比教給學生知識和技能，借助知識和技能的教學來為學生建構學科認知才是關鍵。所以，在知識和技能的教學外，教師需要帶領學生探索更多與學科本質相關的內容，數學史就是其中的一項。對小學數學教學中對數學史的應用而言，教師對數學史的教育價值的深入挖掘與合理開發，對課程教學的有效開展有著重要意義。而綜合過程與結果來看，在小學數學教學中，數學史的應用大致有著四條可選路徑，首先是將數學史作為說明，滲透進課堂教學內容中；其次是將數學史作為主體，規劃進課堂教學體系中；再次是將數學史作為延伸，融合進課堂教學探究中；最后是將數學史作為起點，補充進課堂教學主線中。

（一）將數學史作為說明滲透進課堂教學內容

抽象性是數學知識的特性，很多概念、規律與公式對應的都是看不見、摸不著的物體，所以小學生在理解數學知識時，思維很容易混淆，思路也很容易混亂，從而會導致學生學習數學的效率變低。在小學數學教學中，教師可以將數學史作為說明，滲透進課堂教學內容中。

以人教版小學數學五年級上冊第六單元《多邊形的面積》的教學為例，對多邊形面積的計算，小學生需要重點學習和掌握的是幾種特殊多邊形的面積公式，本單元中提到的主要是三角形、梯形和平行四邊形的面積公式。在數學知識中，公式的表達式看起來最簡單，背后濃縮的歷史、文化卻最豐富，但由于各種原因，很多教師在教學計算公式時都會要求學生對公式本身建立直觀的記憶，學生是否理解公式的由來顯得不是很重要。所以，在應用數學史開展的教學中，教師可以將數學史看作補充說明，專門設計主題為“特殊多邊形面積計算史”的專題探究活動，結合海倫公式、皮克定理、高斯公式等的發展和演變來引導學生對數學史的專題探究，學生不用在探究過程中復現古代數學家們的研究，但有必要結合古代數學家們的研究思路和方向來梳理現在這些公認計算公式的由來，從而達到強化學生記憶的目的。

（二）將數學史作為主體規劃進課堂教學體系

數學是一個復雜的知識體系，學生在小學學習的數學知識只是冰山在冰面上那一部分主體中更頂層的尖角。小學的數學教學是從數、量和平面圖形概念這三個“點”，逐漸向數量關系、數量計算、圖形關系、圖形計算的“面”延伸的過程。因此，在小學數學教學中應用數學史時，教師有必要跳出教材，將數學史中的某一部分視作課上探究的主體。

以人教版小學數學五年級下冊第四單元《分數的意義和性質》的教學為例，在這一單元的教學中，教師需要達成“為學生建構對分數的完整認知”的教學目標，學生需要知道分數是什么、有什么性質，還需要知道分數是怎么來的和為什么要創造分數的概念。對此，教師可以選擇以“分數的形成和發展史”為主題，圍繞古今中外的數學家研究分數的歷史，來設計與開展教學活動。古埃及人在公元前2100多年就開始使用分子為1的分數，巴比倫人在他們所處的時代也開始了使用基于60進制的，以60為分母的分數，中國對分數的使用則可以追溯到公元前770年～前476年的春秋時代，《左傳》與《九章算術》中都有相關的記錄。結合數學史，教師可以帶著學生從分子固定為1的分數和分母固定為60的分數開始，循序探究到如今分子和分母都不固定的分數。

（三）將數學史作為延伸融合進課堂教學探究

數學是一個處于動態發展中的學科，雖然小學階段要教學的基礎數學在內容和形式上都不會發生大的改變，但小學數學教材中的知識內容是變化的，教師基于自身能動性開展的教學更不能夠完全按照教材來。基于此，在小學數學教學中應用數學史時，教師還需要將作為延伸的數學史融合進課堂教學探究中，以啟發和鍛煉學生的思維。

以人教版小學數學六年級上冊第八單元《數學廣角——數與形》的教學為例，數與形是數學中兩個主要的研究對象，數、形的轉化與結合對數學研究而言十分重要，教材中的數學廣角本身就是為了向學生滲透數學思想方法而設置的單元，所以在這一單元的教學中，教師的教學需要具體落實到對學生“數形結合”思想的培養上。基于這種需要，教師可以將數學史定位為教學的延伸，在完成對教材中數與形相關知識內容的教學后，將教學內容延伸到課外，引導學生對“數形結合”的發展歷史展開梳理式的探究。數與形是數學最古老和最基本的研究對象，從頭到尾的完整探究不夠現實，也不具備可行性，所以，教師篩選數學史中一些重要節點、人物和事件來展開相對細致的探索，用以延伸學生對數、形的認知和思考，以便于達到建構學生數形結合思維的目的。

（四）將數學史作為起點補充進課堂教學主線

除了用數學史來補充說明、對數學史展開直接探究和用數學史來延伸教學，教師還可以基于對數學史的重構，來將數學史補充進課堂教學的主線，即教師可以讓學生沿著數學家們發現、驗證和總結數學知識的過程來展開對知識的探究，讓數學史成為課堂教學的起點，這種方式雖然對學生能力的要求較高，但能為學生認知的發展提供關鍵的助力。

以人教版小學數學六年級下冊第三單元《圓柱與圓錐》的教學為例，在這一單元的教學中，教師對教學的設計要以圓柱和圓錐這兩個立體圖形為對象，通過引導學生開展數學實驗的方式來研究圓柱和圓錐的性質、面積計算方式，以及體積計算方式。在以數學史為起點的數學教學實踐中，教師也可以先研究史料，從古人對圓柱和圓錐的研究中提煉出契合六年級學生能力水平與發展需要的問題或數學實驗，再結合例題或實驗來組織學生進行“復現”式的數學研究，像是《九章算術》中概括的圓柱體積計算方式是“周自相乘、以高乘之，十二為一”，用通俗一點的話講就是用圓柱底面周長的平方來乘以高，再除以十二，確保學生理解了這個計算方式后，教師可以引導學生帶入數學符號來簡化這個公式，通過簡化來反證這一公式與公認公式間的聯系。

四、結語

綜上所述，數學史能概括數學的形成規律，能體現數學的學習本質，能總結數學的研究精神，也能承載民族的精神財富，對教育有著重要的價值，對學生個人的成長和發展而言也能起到關鍵作用。對教學中對數學史的應用而言，教師可以借助數學史中深厚的歷史底蘊、多樣的文化呈現、多元的經典例題和自主的探究過程來激發學生興趣、拓寬學生視野、啟發學生思維和培養學生品格，充分的開發、科學的架構和合理的利用能將數學史對數學教育的價值最大化地發揮出來。不管是站在課程發展還是學生成長的視角下，小學數學教師都應當在課堂教學中將數學史合理地利用起來，或是將數學史作為說明，或是將數學史作為主題，又或是將數學史作為延伸和起點，讓數學史以恰當、合理的方式出現在小學數學課堂上。

注：本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“HPM視域下小學數學五育融合的實踐研究”（立項批準號：FJJKZX23-833）研究成果。