(3-RPS)+(2-RCR)混聯機構末端約束分析

摘要：為探索“并+并”型少自由度混聯機構末端約束的特點，以（3-RPS）+（2-RCR）機構為研究對象，提出了求解其末端約束的螺旋系求交法。闡述了（3-RPS）+（2-RCR）機構末端約束/自由度組成原理，給出了末端約束/自由度計算公式；結合線幾何分析了機構在不同幾何位形下的末端自由度數目；應用解析幾何理論和螺旋理論建立子約束螺旋系對應的直紋面和母線方程，得到了螺旋三系和四系的交集解析模型，確定了機構末端約束螺旋；討論了不同幾何位形下的末端約束/自由度性質，給出機構在3種不同位形下末端約束求解的數值算例。研究表明，在一般位形下，該機構末端約束并非約束力/力偶，而是一般形式的力螺旋。提出的螺旋系交集求解方法為此類混聯機構末端約束問題研究提供了有效的解決方案。

關鍵詞：末端約束；混聯機構；螺旋系；交集；線幾何；直紋面

中圖分類號：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.09.004

Terminal Constraint Analysis of （3-RPS）+（2-RCR） Hybrid Mechanisms

HU Bo ZHAO Jinjun LIU Jianzheng ZONG Hongyi

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

2.Key Laboratory of Advanced Forging amp; Stamping Technology and Science of Ministry ofNational Education，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

Abstract： In order to explore the particularity of terminal constraint form of “parallel+parallel” type lower mobility hybrid mechanisms， taking （3-RPS）+（2-RCR） mechanisms as research object， a method for solving the intersection of screw systems corresponding to terminal constraint issue was proposed. Firstly， the composition principle of terminal constraint/mobility of （3-RPS）+（2-RCR） mechanisms was introduced， and the calculation formula of terminal constraint/mobility was given. Secondly， the number of terminal mobility of the mechanisms was analyzed using line geometry under different geometric configurations. Then， the ruled surface and generatrix equation corresponding to sub-constrained screw systems were established by analytic geometry theory and screw theory， and the intersection analytic model of three-screw system and four-screw system was obtained， and the terminal constraint of the mechanisms was determined. Thirdly， the terminal constraint/mobility properties were discussed under different geometric configurations. Finally， numerical examples of the mechanisms were given to solve the terminal constraint under three different configurations. The results show that terminal constraint of the mechanisms is not a constraint force/couple， but the general form of wrench under the general configuration. The method of solving the intersection of screw systems provides an effective way to solve the terminal constraint problems of this kind of hybrid mechanisms.

Key words： terminal constraint； hybrid mechanism； screw system； intersection； line geometry； ruled surface

0 引言

目前各行業對機器人的需求日益增加，串聯機器人、并聯機器人由于自身結構限制無法滿足某些特定場合需求，而混聯機器人繼承了串聯機器人和并聯機器人優勢，在學術界和工業界備受關注。混聯機器人按其構型可分為“并+串”型、“并+并”型。其中，前者經過多年的系統研究，理論體系相對成熟，且在工程中得到了廣泛應用，如Exechon混聯機器人［1］、Tricept混聯機器人［2］、TriMule機器人［3-4］等。而后者的研究起步較晚，由于此類機構結構和運動的高度耦合，其理論研究進度緩慢。

與并聯機構的研究歷程相似，以往針對“并+并”型混聯機構的研究側重于六自由度機構。在這方面，TANIKAWA等［5］提出了一種由兩個Stewart機構串聯組成的混聯機構，使得安裝在兩個動平臺的手指可以同時靈活運動。RAMADAN等［6］基于3-PRS機構提出了一種具有較高精度的新型混聯機械手。LIU等［7］對（3-RPS）+（3-SPR）混聯機構進行改進，設計了一種具有縮放平臺、可翻越不同類型障礙的新型蠕蟲仿生機器人。SUN等［8］基于（PS+2-UPS+RPS）+（3-PPR）構型研制了一種可輔助車載雷達實現自動化安裝的設備。ZHANG等［9］將兩個構型相同的兩轉一移3-UPU機構串聯，設計了一種新型管道移動機器人。TANEV［10］根據（SPS+RPR+RPS）+（2SPS+3R）機構的結構特性，將其等效為串聯機構進行運動學分析。GALLARDO-ALVARADO等［11-12］通過考慮3-RPS機構的運動和約束特性，分析了2（3-RPS）機構的自由度，并基于螺旋理論和虛功原理建立了2（3-RPS）混聯機構的運動和動力學模型。HU等［13-14］根據子機構與整體機構的耦合關系，系統建立了六自由度混聯機構的統一雅可比矩陣、剛度和動力學模型。NAYAK等［15］利用螺旋理論推導了（3-RPS）-（3-SPR）機構的雅可比矩陣和運動旋量，從而確定了全周期自由度，并枚舉了奇異位形。然而，目前關于“并+并”型少自由度混聯機構的研究還鮮有報道。CHU等［16］通過引入描述運動支鏈的數字化矩陣，提出了耦合式少自由度混聯機構構型的自動綜合方法。沈惠平等［17］提出了基于自由度分配和方位特征集的混聯機構構型設計方法。 HU等［18］采用幾何和代數法研究了運動冗余型（3-SPR）+（3-RPS）機構的末端約束問題，并建立了（3-RPS）+（2-RCR）機構的末端位姿耦合模型［19］。

末端約束是構建少自由度機構全雅可比矩陣、約束性能設計、奇異分析等內容的關鍵，因此有必要研究“并+并”型混聯機構的約束。“并+并”型混聯機構的末端約束求解涉及子并聯機構約束螺旋系的交集運算，螺旋系的交集求解是螺旋理論的難點。在這方面，LI等［20］結合幾何代數框架，從運動層面建立了并聯機構各支鏈運動空間的交集模型，從而得到了并聯機構自由度求解的新方法。SONG等［21］從線性代數入手，提出了多個螺旋系求交的方法，并將其應用到一些典型機構自由度問題上。WOHLHART［22］推導了簡潔的混續積公式，用于求解兩個矢量空間的交集。

并聯機構對應的螺旋系具有明確的幾何特征，各階螺旋系的螺旋軸線可張成不同的直紋面。現有螺旋系求交方法雖然能解決螺旋系的交集問題，但無法從幾何觀點直觀表征螺旋系的交集特點，因此從新的幾何角度建立螺旋系的交集模型具有重要意義。為深入認識少自由度混聯機構的末端約束問題，本文以（3-RPS）+（2-RCR）少自由度混聯機構為研究對象，結合解析幾何和螺旋理論，將混聯機構末端約束問題與兩約束螺旋系對應直紋面的公共母線聯系起來，從解析幾何觀點研究一般四系和三系的求交問題，建立“并+并”型混聯機構末端約束/自由度求解模型。

1 （3-RPS）+（2-RCR）機構末端約束/自由度組成原則

1.1 機構描述

（3-RPS）+（2-RCR）混聯機構［19］由兩轉一移型3-RPS機構和兩轉型2-RCR機構［23］串聯組成，其中3-RPS機構和2-RCR機構均屬典型少自由度并聯機構。如圖1所示，該混聯機構的子機構包括下平臺ni0（i=1，2）、上平臺ni1，n11和n20固連。n10和n11之間通過3條RPS型分支r1i（i=1，2，3）連接，r1i的底部與n10的A1i點相連，頂部與n11上的A2i點（i=1，2，3）相連，Ai1Ai2Ai3（i=1，2）呈等邊三角形。n20和n21之間通過2條RCR型分支r2j（j=1，2）連接。r2j的底部與n20上的B1j（j=1，2）點相連，頂部與n21上的B2j（j=1，2）點相連，B11B12通過n20的圓心，且B11B12平行于A21A23。

令R1i代表第i條RPS分支的R副，R2jk（j，k=1，2）代表第j條RCR分支的第k個R副。R211連于n20上，其軸線與n20存在一定夾角。規定“∥、⊥、□”分別表示平行、垂直和共面關系，各運動副之間存在以下幾何關系：

R11∥A12A13 R12∥A13A11 R13∥A11A12

R1i⊥r1i（i=1，2，3） R2jk⊥r2j（j，k=1，2）

以下平臺n10中心o建立坐標系{n0}，如圖1所示，其中，x∥R12，y⊥R12，z⊥n10。

1.2 子機構約束分析

基于幾何觀察法［24］可以確定下層3-RPS子機構各分支中存在一個過S副中心A2i（i=1，2，3）點且與R1i平行的約束力F1i（i=1，2，3）。上層2-RCR子并聯機構各分支存在兩個約束力，其中，第一個約束力過B1j（j=1，2）點，且與R2j2平行，第二個約束力過B2j點，且與R2j1平行。

根據運動副間的幾何條件，約束力與平臺之間的幾何關系滿足

F11∥n10 F12∥n10 F13∥n10

F21∥n21 F23∥n21 F24∥n20

（3-RPS）+（2-RCR）機構中的分支約束力如圖1所示。令fij和dij分別為Fij的單位矢量和坐標原點到Fij的位置矢量，兩子機構分支中的7個約束力螺旋可表達如下：

1.3 混聯機構末端約束/自由度組成原則

定義S1和Sr1分別表示3-RPS機構的運動和約束螺旋系，S2和Sr2分別表示2-RCR機構的運動和約束螺旋系，S和Sr分別表示（3-RPS）+（2-RCR）混聯機構末端平臺的運動和約束螺旋系。

對于3-RPS機構和2-RCR機構而言，其動平臺的約束螺旋系為各分支約束螺旋系的并集，即

由螺旋理論可知，求解約束并集的維數比求解運動交集的維數更加方便，因此，本文用式（2）求解（3-RPS）+（2-RCR）機構的自由度數目。

1.4 子機構約束螺旋系并集的維數和幾何分類

下面結合線幾何［24］討論子機構約束螺旋系Sr1與Sr2的并集在不同幾何位形下的維數。根據各約束力之間及約束力和各平臺存在的幾何關系，可對（3-RPS）+（2-RCR）機構在不同位形下的約束進行分類，其分類結果如表1所示。采用線幾何，并結合式（2）可確定機構在不同幾何位形下的自由度數目。

2 （3-RPS）+（2-RCR）機構末端約束求解

由式（1）可知，混聯機構末端約束為兩個子并聯機構約束螺旋系的交集。對（3-RPS）+（2-RCR）機構而言，子機構約束螺旋系分別對應特定直紋面的母線族，通過求解各直紋面的公共母線可得到混聯機構末端約束。本節針對混聯機構的一般位形和一種特殊位形，詳細介紹螺旋系求交過程。

2.1 3-RPS機構瞬時約束螺旋軸線方程的建立

一般位形下，下層3-RPS子機構的3個約束Sr11、Sr12、Sr13位于3個不同的平行平面內（表1第一項），Sr11、Sr12、Sr13通過系數λ1、λ2、λ3線性組合得到和螺旋Sr1，由螺旋理論知，同一節距的Sr1分布在特定的拋物雙曲面上［27-28］。Sr1可由下式得到：

4 數值算例

為驗證所提方法的通用性，本文給定（3-RPS）+（2-RCR）機構在兩種一般位形（表1第1項、表1第4項）和一種特殊位形（表1第16項）下的3組數值算例。已知n10的外接圓直徑為200 mm，n11的直徑為110 mm，n21的直徑為90 mm。下平臺連接點坐標分別為A11=（86.6025，-50，0）T，A12=（0，100，0）T，A13=（-86.6025，-50，0）T，機構處在3種幾何位形時，某時刻各分支與平臺的連接點坐標如表2所示。此時，7個約束力的螺旋表達如表3所示。

4.1 一般位形下的末端約束求解

針對表1第1項幾何位形（3-RPS機構3個約束力異面，2-RCR機構四個約束異面），根據表3中的3個約束力F1i（i=1，2，3），結合式（4）～式（7）可確定三系和螺旋所在雙曲拋物面的母線方程。根據表3中的4個約束力F2j（j=1，2，3，4），結合主螺旋識別方法［24］，得到與F2j互易的螺旋二系的主節距hα、hβ以及主坐標系{n1}相對于{n0}的變換矩陣R和坐標系原點ro：

由2.3節可知，將式（34）代入式（28）中，可解得h的70組值，其中19組實數解如表4所示，由代數法可知［18］，其結果對應表4的第9組解。將解得h回代至式（26）、式（20）、式（16），得到Sr=［0.7583 -0.6519 0 71.4803 95.5836 42.2868］T，節距h=-8.1133。結果表明Sr為一個節距非零的螺旋，根據互易關系可知，機構末端自由度性質為2R2T1H。同時，結合求得的h和g0，由式（5）和式（15）可得到末端約束所在的雙曲拋物面和單葉雙曲面表達式分別為

兩直紋面和對應的末端約束如圖2所示。

針對表1第4項幾何位形（3-RPS機構中的兩個約束力共面），同理可得機構末端約束節距h，其中30組實數解如表5所示，由代數法可知［18］，其結果對應表5的第21組解。進一步可得Sr=［0.8138-0.5812086.7532117.131158.0742］T，節距h=2.5190。根據互易關系可知，機構末端自由度性質為2R2T1H。同時，可得到末端約束所在的雙曲拋物面和單葉雙曲面表達式分別為

4.2 特殊位形下的末端約束求解

針對表1第16項幾何位形（3-RPS機構中的3個約束力共面），可得3個約束力F1i（i=1，2，3）所在的平面方程，進而可得與F2j（j=1，2，3，4）互易的二系主節距hα，hβ，主坐標系{n1}相對于{n0}的變換矩陣R和坐標系原點ro為

5 結論

（1）以（3-RPS）+（2-RCR）型混聯機構為研究對象，基于混聯機構末端約束/自由度組成原理，根據約束之間的關系對（3-RPS）+（2-RCR）機構所處位形進行分類，并結合線幾何確定了對應位形下約束的維數，得到了（3-RPS）+（2-RCR）混聯機構在不同幾何位形下的自由度數目。

（2）以螺旋理論和解析幾何為理論基礎，將混聯機構末端約束問題轉化為螺旋系對應直紋面的公共母線問題，構建了3-RPS機構和2-RCR機構對應的直紋面方程，建立了兩個子約束螺旋系的求交模型，得到了（3-RPS）+（2-RCR）混聯機構末端平臺的約束性質。在一般位形時，其末端約束為一個節距非零的螺旋，自由度性質為2R2T1H；在特殊位形時，末端約束為一個約束力，自由度性質為3R2T。

（3）本文建立了約束螺旋三系和四系的求交模型，解決了“并+并”型混聯機構末端約束/自由度分析問題，該模型得到的結果具有明確的幾何意義。本文的研究為螺旋系求交問題提供了新思路，也為“并+并”型混聯機構末端約束/自由度分析提供了有效方案。

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（編輯 王旻玥）

作者簡介：

胡 波，男，1982 年生，教授、博士研究生導師。發表論文50余篇。主要研究方向為機器人機構學理論。E-mail：hubo@ysu.edu.cn。

收稿日期：2023-11-22

基金項目：國家自然科學基金（52275033）