基于Rayleigh-BP模型的壓電驅動系統遲滯建模與前饋控制

摘要：針對可調諧半導體激光器壓電驅動系統的遲滯非線性，提出了一種基于Rayleigh-BP模型的建模及控制方法。利用空間擴展法建立了Rayleigh-BP率相關遲滯模型，該模型實現了對壓電驅動系統的率相關遲滯非線性的精準預測；利用逆向算法求解了Rayleigh模型的逆模型，并將該模型與BP神經網絡結合，設計了前饋控制器對系統進行補償；對前饋控制方法進行了仿真與實驗驗證。結果表明，建立的Rayleigh-BP模型具有較高的精度，在10 Hz時均方根誤差僅為0.0469 μm。前饋控制方法可以明顯提高系統輸出的線性度，在40 Hz時仿真結果均方根誤差為0.0274 μm，線性相關系數R2為0.999 92;在30 Hz時實驗結果均方根誤差為0.0506 μm，線性相關系數R2達到了0.999 55，極大降低了遲滯現象。

關鍵詞：遲滯非線性；Rayleigh模型；反向傳播（BP）神經網絡；前饋控制

中圖分類號：TP273

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.09.009

Hysteresis Modeling and Feedforward Control for Piezoelectric Driven Systems Based on Rayleigh-BP Model

ZHANG Meng FAN Pengju WANG Junpu LIU Shicheng

College of Mechanical and Electrical Engineering，Shaanxi University of Science amp; Technology，Xi’an，710021

Abstract： Aiming at the hysteresis nonlinearity of the piezoelectric driven systems for tunable external cavity diode lasers， a modelling and control method was proposed herein based on Rayleigh-BP model. Firstly， a Rayleigh-BP rate-dependent hysteresis model was developed by spatial expansion method， which achieved an accurate prediction of rate-dependent hysteresis nonlinearity of piezoelectric driven systems. Secondly， the inverse model of Rayleigh model was solved by an inverse algorithm， and the model was combined with a BP neural network to design a feedforward controller to compensate the systems. Finally， the feedforward control method was validated by simulation and experiments. The results show that the Rayleigh-BP model developed has high accuracy， the root mean square error is only as 0.0469 μm at 10 Hz. The feedforward control method may significantly improve the linearity of the system outputs， the root mean square error of the simulation results is as 0.0274 μm and the linear correlation coefficient R2 is as 0.999 92 at 40 Hz. The experimental results show a root mean square error of 0.0506 μm and a linear correlation coefficient R2 of 0.999 55 at 30 Hz， which greatly reduces the hysteresis phenomenon.

Key words： hysteresis nonlinearity； Rayleigh model； back propagation（BP） neural network； feedforward control

0 引言

近年來，隨著納米技術、生物工程、納米測量等微觀領域技術的飛速發展，對微納級精密定位技術的要求也日益提高。基于壓電材料的壓電陶瓷驅動器具有驅動力大、體積小、響應速度快、穩定性好以及分辨率高等優點，廣泛應用于微納米尺度定位［1］、原子力顯微鏡［2］、光學等領域［3］。然而，壓電材料固有的遲滯非線性會嚴重影響其定位精度甚至會導致系統失穩。壓電驅動系統的遲滯非線性建模與控制是目前精密驅動領域的研究熱點。遲滯非線性是由于壓電材料內部偏轉的電偶極子不能完全回復造成的［4-5］。壓電陶瓷材料遲滯非線性的控制方法主要可以分為電流控制、反饋控制和基于逆模型的前饋控制三類。

電流控制方法根據壓電陶瓷應變與其內部電荷密度成線性關系的原理，采用電荷驅動代替電壓驅動的方式使壓電陶瓷極化，從而使輸出位移與輸入電荷成線性關系。張連生等［6］提出了一種改進電荷泵驅動的殘余遲滯改進方法，相比經典電荷泵驅動，該方法改善了遲滯非線性，遲滯現象降低了83 %左右。FURUTANI等［7］發現，在壓電驅動器的兩端貼上導電板，通過電壓作用，可以使得兩端導電板上產生和壓電驅動器內部電荷成比例的感應電荷，可以通過對感應電荷進行閉環控制實現對壓電驅動器位移的有效控制。

反饋控制屬于閉環控制，通過實時檢測和糾正實際輸出位移與目標位移之間偏差從而實現系統穩定性的調節。BARRETT 等［8］提出基于位移傳感器測量值的 PID反饋控制，用于消除高分辨率掃描探針顯微鏡中由壓電驅動系統非線性導致的圖像失真。李存堯等［9］設計了一種H∞控制器，實驗驗證了該控制器在參考信號為階躍信號以及不同頻率正弦信號時的有效性，證明了該控制器可以較好地跟蹤參考信號。

前饋控制是基于遲滯非線性模型的開環控制方法，通過建立遲滯非線性數學模型，加入前饋支路進行補償，從而提高壓電驅動系統的線性度。具有結構簡單，穩定性好等優點。其中較為常用的遲滯模型有Preisach模型［10-11］、 Prandtl-Ishlinskii（PI）模型［12-14］、Bouc-Wen模型［15-17］等。DONG等［10］引用雙輸入Preisach模型來估計考慮外部負載因素下壓電驅動器（piezoelectric actuator， PEA）在加載應用下的耦合遲滯，并采用三維插值算法解決了該模型的辨識問題。NGUYEN等［11］提出了一種新的求解遲滯Preisach模型的方法，并通過與傳統Preisach模型的對比驗證了該方法的有效性，實驗結果顯示相比傳統Preisach模型，該方法可獲得更好的精度。PI模型是Preisach模型的一個分支，相對于Preisach模型的主要優點是PI模型具有解析逆，便于求解逆模型［18-19］。于志亮等［12］通過分析壓電遲滯產生機理，提出了一種基于PLAY算子的改進PI模型進行前饋補償，該方法可以使線性度誤差減小到1%以內。YANG等［13］運用電模型、標準PI模型以及力學模型組成的高帶寬機電耦合模型描述率相關遲滯特性。LI等［14］提出了一種基于PI逆模型前饋方案的三階積分滑模控制，在控制方案中提出了一種率-幅值相關的PI模型來描述PEA的遲滯效應。徐瑞瑞［15］利用改進的Bouc-Wen模型來描述壓電陶瓷的遲滯現象。SHAO等［16］提出了一種結合非對稱Bouc-Wen模型和率相關動力學的離散時間修正Bouc-Wen模型，用于描述壓電執行器的非對稱和率相關遲滯特性。KANG等［17］提出了一種新的分數階歸一化Bouc-Wen模型來描述PEA的非對稱和率相關遲滯非線性。此外，為控制壓電材料的遲滯非線性特性，研究者還提出了Krasnosel’skii-Pokrovkii（KP）模型［20］、Maxwell模型［21］、多項式模型［22］以及神經網絡模型［23-25］等。其中，神經網絡模型具有強大的非線性處理能力。ZHANG等［23］ 基于PSO-BP神經網絡算法建立了具有描述非線性系統能力的MNARMAX模型，實驗結果表明，MNARMAX模型具有準確跟蹤PEA遲滯特性的能力。周淼磊等［24］設計了一種基于兩個隱含層BP神經網絡遲滯逆模型的前饋控制器，并與專家模糊控制結合將壓電微定位平臺定位誤差控制在0.091 μm以內。WU等［25］基于RBF神經網絡設計了自校正控制器和估計器，有效處理了不確定遲滯子模型，驅動PEA準確跟蹤期望信號。無論輸入與輸出關系如何復雜，只要具有一定映射關系，神經網絡便可對其進行相應擬合。經典Rayleigh模型最早被用來描述鐵磁性材料在弱磁場作用下的磁滯現象［26］。DAMJANOVIC等［27-28］證明了經典Rayleigh模型可以用來描述壓電材料薄膜中的遲滯現象。該模型各參數物理意義明確且逆模型求解簡單，但目前鮮有在壓電陶瓷驅動器及平臺方面的應用。

綜上所述，針對可調諧半導體激光器壓電驅動系統的動態遲滯非線性特性，本文提出了一種基于Rayleigh-BP的動態遲滯模型，并設計了一種遲滯前饋控制器。

1 Littman-Metcalf型可調諧半導體激光器調諧原理及其壓電驅動系統組成

可調諧半導體激光器具有輸出光頻率可調諧、窄線寬等優點，廣泛應用于光譜測量［29］等領域。圖 1為Littman-Metcalf型外腔可調諧半導體激光器結構圖，圖中R1和R2分別為激光器內腔后端面和前端面的反射系數，內腔為帶有增益的諧振腔；光柵固定于底座上，φ為入射光與光柵法線的夾角，θ為一級衍射光與法線夾角，轉軸中心與光柵衍射點距離為LP。在激光器中，輸出光為零級衍射光［30］。

激光器的外腔由反射鏡和二極管后端面構成，其等效長度

L=LP（sin θ+sin φ）=L1+L2（1）

式中，L1為光柵衍射點與二極管后端面之間距離；L2為反射鏡與光柵衍射點之間距離；θ為一級衍射角；φ為光線入射角。

Littman-Metcalf型外腔可調諧半導體激光器的選頻元件為閃耀光柵，其原理如圖 2所示。入射光經過光柵衍射后形成多組不同波長、不同角度的反射光束，從而實現不同波長光束的分離。壓電陶瓷驅動反射鏡轉動至法線與一級衍射光平行，可以將其反饋回諧振腔進而實現光束能量的增強以及頻率的選擇。

激光器自由光譜范圍為

式中，c為真空中光速；n為空氣折射率。

Littman-Metcalf型外腔可調諧半導體激光器壓電驅動系統主要由壓電陶瓷及其驅動器、柔性機構、位移傳感器以及預緊螺栓等組成。其中，柔性機構具有響應速度快、一體化加工、適應性強等優點。可調諧半導體激光器通過柔性機構引導壓電陶瓷驅動反射鏡轉動進而實現輸出光頻率的調諧，因此壓電驅動系統的跟蹤精度在很大程度上決定了激光器的性能。

2 壓電驅動系統一階固有頻率測試

輸入信號高頻分量接近系統一階固有頻率會導致系統共振從而影響系統精度。為了避免系統共振，輸入信號頻率被限制在系統一階固有頻率的1%～10%范圍內［31］。為此有必要對本壓電驅動系統的一階固有頻率進行測試。

由信號發生器生成圖 3所示的頻率連續線性增加的正弦掃描信號，其中，頻率變化范圍為0.1～4000 Hz，壓電幅值為0.1 V。該正弦掃描信號經壓電陶瓷控制器放大后輸入至壓電驅動系統中，通過位移傳感器采集柔性機構位移信號，經位移傳感器控制器處理后輸出至NI-PXI 6133PXI采集卡中。

壓電驅動系統動態特性掃頻測試結果如圖4所示，由圖4a可知，系統振幅約為4 μm，該振動發生在t=5.3 s時；對掃頻位移響應信號進行快速傅里葉變換（FFT），可以得到圖 4b所示的掃頻位移響應頻譜，其中壓電驅動系統的一階固有頻率約為2123 Hz。

3 Rayleigh-BP動態遲滯模型

3.1 BP神經網絡

BP神經網絡是一種典型的前向反饋神經網絡，它可以自動發現樣本中隱含的復雜規律，

具有強大的非線性建模能力。BP神經網絡分為前向傳播以及誤差反向傳播兩部分（圖5），具有輸入層、隱含層和輸出層。前向傳播公式如下：

3.3 Rayleigh-BP動態遲滯模型

神經網絡具有強大的擬合一對一或多對一映射非線性模型的能力，然而壓電驅動器的遲滯非線性為一對多映射關系，為了描述壓電驅動器的遲滯非線性，利用空間擴展［34］的方法，即引入遲滯算子，用輸入電壓作為算子的輸入，將算子的輸出以及輸入電壓同時作為神經網絡的輸入，從而將壓電驅動器非線性的多值映射關系轉換為一一映射關系，其原理如圖 6所示，本文選用率相關動態Rayleigh模型作為遲滯算子。因此BP神經網絡的輸入層神經元個數nin為2，輸出層神經元個數nout為1，隱含層神經元個數為

式中，U為輸入電壓；H為遲滯算子;w、θ分別為對應的權重與閾值。

完成BP神經網絡的建模與訓練后即可將待預測電壓作為輸入，通過模型得到其輸出位移。

將式（18）作為遲滯算子，輸入電壓作為神經網絡輸入，得到Rayleigh-BP的動態遲滯模型，采用圖 7所示裝置對建模精度進行驗證。圖中壓電驅動模塊主要由PZS001壓電陶瓷驅動器（驅動電壓范圍為0～150 V， 輸出位移量為0～17.4 μm）、 Tektronix AFG3052C任意函數信號發生器、MDT693A單通道壓電陶瓷電壓控制器組成；測量模塊包括capaNCDT6500非接觸式位移傳感器（探頭量程為50 mm，分辨力為0.0375 nm，精度0.02%）及其控制系統；數據采集模塊主要包括NI-PXI 6133PXI采集卡和NI-PXI 1031主機。

4 前饋模型的構建

前饋控制通過在前饋支路構建逆模型的方式調整輸入電壓，使輸出位移與電壓關系實現近似線性關系。逆模型的建立需要利用逆向算法，將壓電驅動系統的輸出位移作為逆模型的輸入，將輸入電壓作為逆模型的輸出進行公式推導，進而得到其逆模型，即將式（18）中D作為輸入，U作為輸出推導逆模型遲滯算子。以式（18）中上升段為例，D可看作關于U的二次函數，上升段遲滯算子相當于其反函數，將該式轉換為二次函數一般式可得

5 前饋控制仿真與實驗

5.1 前饋控制仿真驗證

為驗證前饋控制效果，在MATLAB/Simulink中建立前饋控制模型，采用周期三角波信號在10，20，30，40 Hz情況下通過前饋控制進行仿真測試，其輸出位移-時間響應及誤差曲線如圖10所示，引入相對誤差、均方根誤差以及線性相關系數R2來判定模型精度，前饋控制誤差如表2所示。可以看出，逆模型前饋控制極大地降低了壓電驅動器的遲滯現象，可以有效提高驅動器的驅動精度，在40 Hz時均方根誤差僅為0.0274 μm，線性相關系數R2達到了0.999 92，證明了前饋控制的有效性。

5.2 前饋控制實驗驗證

為驗證前饋控制的效果，設計前饋補償實驗，實驗裝置如圖7所示。采用周期三角波信號在10，20，30，40 Hz情況下通過前饋控制進行實驗驗證，并通過位移傳感器測出輸出位移，輸出位移-時間響應及誤差曲線如圖11所示，引入相對誤差、均方根誤差以及線性相關系數R2來判定模型精度，前饋控制實驗誤差如表3所示。可以看出，前饋控制方法可以較好地減小壓電驅動器的遲滯現象，在30 Hz時實驗位移與目標位移間相對誤差僅為1.671%，均方根誤差僅為0.0506 μm，線性相關系數更是達到了0.999 55，極大地降低了遲滯現象。

6 結論

針對可調諧半導體激光器壓電驅動系統所固有的遲滯非線性特性，本文提出了一種基于Rayleigh-BP的動態遲滯建模方法，該方法可以較好地描述壓電驅動系統的遲滯非線性，在10 Hz時模型均方根誤差僅為0.0469 μm；在遲滯模型的基礎上推導了Rayleigh模型的逆模型，并結合BP神經網絡設計了壓電驅動系統的前饋模型器，將該控制器應用于壓電驅動系統的前饋支路，并通過仿真與實驗表明，前饋控制可以極大降低壓電驅動器的遲滯現象，在40 Hz時仿真結果均方根誤差為0.0274 μm，線性相關系數R2為0.999 92；在30 Hz時實驗位移的均方根誤差僅為0.0506 μm，線性相關系數R2達到了0.999 55。

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（編輯 王旻玥）

作者簡介：

張 萌，男，1990年生，副教授、博士。研究方向為智能結構及系統的優化設計。E-mail：zhangmeng@sust.edu.cn。

收稿日期：2024-03-28

基金項目：陜西省自然科學基礎研究計劃（2023-JC-QN-0408）