不同增強(qiáng)方向的帶支柱體心立方點(diǎn)陣及其填充結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)性能分析

摘要：為研究不同增強(qiáng)方向的帶支柱體心立方點(diǎn)陣及其填充結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)性能，制備了硅橡膠填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件。通過試驗(yàn)和仿真方法研究了硅橡膠填充BCC1或BCC2（加載方向分別與帶支柱體心立方點(diǎn)陣的支柱桿方向相同或垂直）兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)性能，并采用鐵摩辛柯梁理論和極限載荷法分析了兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和壓縮平臺(tái)應(yīng)力。結(jié)果表明：提出的理論模型能夠很好地預(yù)測(cè)兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和壓縮平臺(tái)應(yīng)力。經(jīng)過填充后兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮強(qiáng)度和吸能性能均會(huì)得到增強(qiáng)，BCC2結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)效果更加顯著。對(duì)于BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，填充提高了其內(nèi)部桿件的承載力；而對(duì)于BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，填充減小了其“V”形剪切帶附近的桿件彎曲變形。隨著點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)半徑的增大，兩種結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子均先增大后減小，而BCC1型結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子變化更明顯。

關(guān)鍵詞：力學(xué)性能；點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)；等效彈性模量；填充結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：TB12

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.09.014

Analysis of Compressive Mechanics Properties of Body Centered Cubic Lattice with Pillars in Different Reinforcement Directions and Their Filling Structures

ZHANG Wukun ZHAO Jian2 TAN Yonghua GAO Yushan WANG Jun HAN Ziyue3 GENG Xiaoliang4

1.National Key Laboratory of Aerospace Liquid Propulsion，Xi’an，710100

2.Xi’an Aerospace Propulsion Institute，Xi’an，710100

3.School of Mechanical and Electrical Engineering，Xi’an University of Architecture and Technology，Xi’an，710055

4.School of Mechanics， Civil Engineering and Architecture，Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710129

Abstract： To study the compressive mechanics properties of pillar centered cubic lattice with different reinforcement directions and their filling structures， silicone rubber filled lattice structure test specimens were prepared herein. The compressive mechanics properties of two lattice structures（BCC1 or BCC2， loading direction was either the same or perpendicular to the direction of pillar rod in body centered cubic lattice with pillars） filled with silicone rubber were studied through experimental and simulation methods. The equivalent elastic modulus and compressive platform stress of two lattice structures were conducted using Timoshenko beam theory and ultimate load method. The results indicate that the proposed theoretical model may effectively predict the equivalent elastic modulus and compressive platform stress of two type lattice structures. After filling， the compression strength and energy absorption performance of the two lattice structures are enhanced， while the enhancement effect of the BCC2 structure is more significant. For the BCC1 lattice， rubber filling enhances the bearing capacity of the internal members. However， for the BCC2 lattice structure， rubber filling reduces the bending deformation of the members near the V-shaped shear band. As the radius of the lattice structure increases， the energy absorption coupling factors of both lattice structures first increase and then decrease， yet the energy absorption coupling factor of BCC1 type structure changes more significantly.

Key words： mechanics property； lattice structure;" equivalent elastic modulus; filling structure

0 引言

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一種周期性有序多孔結(jié)構(gòu)，相較于傳統(tǒng)的泡沫等無序多孔結(jié)構(gòu)，它更易于設(shè)計(jì)和性能表征。而通過設(shè)計(jì)合理的胞元結(jié)構(gòu)形式，可以使其具有輕質(zhì)高強(qiáng)、減振吸能、隔熱散熱等諸多優(yōu)異性能［1-2］，如蜂窩和格柵胞元應(yīng)用于輕量化承載［3］，具有負(fù)等效質(zhì)量、負(fù)等效剛度等特性設(shè)計(jì)的點(diǎn)陣超材料胞元應(yīng)用于吸能減振等［4］，極小周期性曲面胞元以其單位體積的表面積較大的優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用于散熱等［5］。目前，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于航空航天等工程領(lǐng)域［6］。掌握點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，對(duì)其面向工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用都有著非常重要的意義。

體心立方（body centered cubic， BCC）點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一種彎曲主導(dǎo)型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)［7］，其結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，傳力路徑清晰，可設(shè)計(jì)參數(shù)眾多，且易于改進(jìn)設(shè)計(jì)［8］，具有良好的抗沖擊和能量吸收性能，因此在工程中應(yīng)用廣泛，如用于衛(wèi)星面板和支架等航天器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中［9-10］。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)BCC點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行了研究。GUMRUK等［11］對(duì)BCC和BCCZ（BCC加Z向豎桿）點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行了壓縮、拉伸和剪切試驗(yàn)，研究了相對(duì)密度對(duì)其力學(xué)性能的影響。LEI等［12］研究了不同邊界條件對(duì)壓縮載荷下BCC點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)能量吸收性能的影響。任利民等［13］基于BCC點(diǎn)陣提出了填充模型的邊界強(qiáng)化方法，提高了從實(shí)體到點(diǎn)陣界面的傳遞載荷。在BCC點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效模量推導(dǎo)方面，USHIJIMA等［14］提出了BCC點(diǎn)陣的等效彈性模量模型。YANG等［15］提出了有無約束邊界下BCC點(diǎn)陣夾芯板結(jié)構(gòu)的等效彈性模量計(jì)算方法。然而不同增強(qiáng)桿方向下BCCZ結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和壓縮平臺(tái)應(yīng)力理論模型還鮮有研究。

為了使點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)提升性能或具有更多的功能，可以在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空隙中填充其他的功能材料或結(jié)構(gòu)，形成填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)［16］。如通過在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)內(nèi)部填充泡沫、橡膠等功能材料，減少點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的細(xì)小桿件在壓縮、沖擊、振動(dòng)等載荷下發(fā)生屈曲、疲勞斷裂等結(jié)構(gòu)失效行為，因此對(duì)填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究也逐漸增多［17］。ZHANG等［18］試驗(yàn)研究了泡沫填充復(fù)合材料金字塔點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的能量吸收和抗低速?zèng)_擊性能，認(rèn)為泡沫對(duì)點(diǎn)陣桿件的支撐是其吸能性能強(qiáng)于各自性能線性疊加之和的主要原因。KAO等［19］將不同種類的泡沫填入3D打印框架點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中，通過試驗(yàn)研究了填充后的低速?zèng)_擊性能，認(rèn)為高延展性的泡沫填充后吸能性能更好。WANG等［20］研究了泡沫填充編織型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)性能，認(rèn)為填充減小了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的彎曲和剪切變形。然而，上述對(duì)混雜點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的研究主要是從試驗(yàn)角度揭示填充對(duì)性能的增強(qiáng)現(xiàn)象［21-22］，未能顯示壓縮中結(jié)構(gòu)內(nèi)部的變化行為。PASQUALE等［23］提出了聚合物填充BCC點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的制備流程，并通過試驗(yàn)研究了填充后的力學(xué)性能，但并未解釋性能增強(qiáng)的原因。

本文基于鐵摩辛柯梁理論和極限載荷法推導(dǎo)了不同增強(qiáng)方向的BCCZ點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和塑性平臺(tái)應(yīng)力理論模型，制備了硅橡膠填充兩種BCCZ點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件，然后通過試驗(yàn)和仿真方法研究了有無填充結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)行為，獲得了填充對(duì)這兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響關(guān)系。

1 設(shè)計(jì)與制備

采用選擇性激光熔融技術(shù)制造點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，如圖1所示，材料為鈦合金TC4。點(diǎn)陣胞元包括BCC1和BCC2兩種，綜合考慮增材制造金屬材料約束條件和便于填充等需求［24-26］，設(shè)計(jì)單胞尺寸的長(zhǎng)、寬和高均為4 mm，胞元半徑為0.2 mm，如圖1b所示，設(shè)計(jì)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)模型如圖1a和圖1c所示。長(zhǎng)、寬和高方向的胞元數(shù)量分別為10、6和6個(gè)，制造的BCC1和BCC2的試驗(yàn)件如圖1d和圖1g所示，兩種結(jié)構(gòu)的質(zhì)量基本相同。填充材料選用室溫硫化型硅橡膠材料，初始填充時(shí)流動(dòng)性較好，因此較容易填充進(jìn)點(diǎn)陣內(nèi)部。圖1e和圖1f所示分別為制備的硅橡膠填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件，命名為RFBCC1和RFBCC2填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。制備方法如圖2所示，將點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)放置在模具中，通過作用于上模的壓力使硅橡膠填充進(jìn)點(diǎn)陣內(nèi)部。為了保證充分填充，首先利用CAD軟件計(jì)算出點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)需要填充的膠體體積，然后計(jì)算需填充的橡膠質(zhì)量，以其為參考加上模具損耗作為需填充膠體的總質(zhì)量，進(jìn)行量化填充。填充完后，打開上模，若膠體從下模旁邊的半圓形小槽中溢出，則表明完全填充。若未完全填充，則繼續(xù)增加橡膠。填充完后打開上模，靜置12 h后取出。

2 試驗(yàn)與仿真

2.1 試驗(yàn)

首先進(jìn)行鈦合金和硅橡膠兩種基礎(chǔ)材料的力學(xué)性能測(cè)試。使用三思縱橫電子萬能試驗(yàn)機(jī)UTM305X（深圳，中國(guó)），最大載荷300 kN，依據(jù)ASTM E9-09標(biāo)準(zhǔn)開展準(zhǔn)靜態(tài)位移加載試驗(yàn)，加載速度為1 mm/min，材料變形的測(cè)量采用數(shù)字散斑相關(guān)法（digital image correlation， DIC）獲得。圖3和圖4分別是TC4和硅橡膠試驗(yàn)件的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線。然后進(jìn)行點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)BCC1和BCC2以及填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)RFBCC1和RFBCC2的壓縮力學(xué)性能試驗(yàn)。采用位移加載模式，加載速度2 mm/min，試驗(yàn)過程如圖5所示。為了減小試驗(yàn)誤差，增強(qiáng)重復(fù)性，對(duì)4種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的每種分別制備3個(gè)相同的試驗(yàn)件。另外，為了下文中的比較分析，制備了硅橡膠立方體塊，邊長(zhǎng)10 mm，采用與點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)相同的試驗(yàn)方法獲得其壓縮后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，試驗(yàn)數(shù)據(jù)在下文給出。

2.2 仿真

采用ABAQUS 6.14分別建立4種結(jié)構(gòu)的有限元模型。參照文獻(xiàn)［27］關(guān)于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮載荷下的仿真方法，使用Explicit模塊進(jìn)行壓縮力學(xué)性能分析。用剛性平板模擬試驗(yàn)機(jī)的上下加載頭。在剛性板與結(jié)構(gòu)的接觸面部位，在切向設(shè)置摩擦因數(shù)為0.1，在法向設(shè)置硬接觸，其他部位設(shè)置通用自接觸。為實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)的分析要求和計(jì)算精度，保證仿真中系統(tǒng)的動(dòng)能占總能量的比值小于5%。建立的有限元模型如圖6所示?；趫D3和圖4的材料數(shù)據(jù)，計(jì)算真實(shí)應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)據(jù)：

式中，σtrue、εtrue分別為真實(shí)應(yīng)力和應(yīng)變；σnom、εnom分別為名義應(yīng)力和應(yīng)變。

對(duì)于金屬點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，采用Johnson-Cook損傷起始準(zhǔn)則和基于能量的損傷演化準(zhǔn)則，具體參數(shù)參照文獻(xiàn)［27］中設(shè)定；對(duì)于硅橡膠材料，采用Marlow超彈性應(yīng)變能本構(gòu)模型［28］，參數(shù)為拉伸試驗(yàn)得到的材料數(shù)據(jù)。對(duì)于填充結(jié)構(gòu)，使用“embedded”方法將鈦合金點(diǎn)陣嵌入硅橡膠中。為減少計(jì)算量，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)采用2節(jié)點(diǎn)3D梁?jiǎn)卧狟31梁?jiǎn)卧?，橡膠結(jié)構(gòu)采用C3D8R實(shí)體單元建模，設(shè)置網(wǎng)格尺寸為0.3 mm。

3 分析與討論

3.1 壓縮過程分析

4種結(jié)構(gòu)的壓縮試驗(yàn)過程比較如圖7所示。應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖8a所示，圖中“-1”、“-2”和“-3”分別表示3次試驗(yàn)的結(jié)果，計(jì)算平均值如圖8b所示。可以看出，4種結(jié)構(gòu)在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮載荷下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線均大致表現(xiàn)為線彈性段、平穩(wěn)段和致密段3個(gè)典型的力學(xué)表征。

對(duì)于BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，如圖8b所示，在壓縮過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)為先線性急劇上升，然后迅速下降進(jìn)入平穩(wěn)段。在平穩(wěn)段表現(xiàn)為“zigzag”形式的褶皺形態(tài)。結(jié)合圖7a中的變形可以看出，在線彈性階段，結(jié)構(gòu)所有桿件均在承力。而在平穩(wěn)段，伴隨著部分豎向支撐桿件的屈曲，這些桿件逐漸失去承載作用。

當(dāng)壓縮應(yīng)變?cè)鲋?.12時(shí)，BCC1和BCC2結(jié)構(gòu)的應(yīng)力基本重合，然后應(yīng)力水平增大，原因可能是壓縮過程中BCC1結(jié)構(gòu)的豎向桿件在彎曲后與斜向桿件接觸，形成的部分致密化結(jié)構(gòu)增強(qiáng)了壓縮應(yīng)力。當(dāng)應(yīng)變?cè)鲋?.75時(shí)，應(yīng)力急劇增大，進(jìn)入致密段。BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效壓縮彈性模量為590 MPa，等效壓潰強(qiáng)度為3.12 MPa，壓縮平臺(tái)應(yīng)力為2.1 MPa。

對(duì)于BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，如圖8b所示，相較于BCC1結(jié)構(gòu)，其平穩(wěn)段曲線的褶皺更加平緩。對(duì)比圖7，BCC1結(jié)構(gòu)為逐層壓潰，上下端面的點(diǎn)陣層先失效，然后過渡到中間的層。BCC2結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為沿著中心“V”形線界面附近的桿件先屈曲失效，然后逐漸擴(kuò)展至其他區(qū)域。BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效壓縮彈性模量為32.07 MPa，等效壓潰強(qiáng)度和壓縮平臺(tái)應(yīng)力基本相當(dāng)，均為1.39 MPa。在接近失效前，BCC1和BCC2結(jié)構(gòu)均會(huì)有部分桿件進(jìn)入致密化，其力學(xué)行為也受到結(jié)構(gòu)布局的影響。BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)壓縮強(qiáng)度優(yōu)于BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，原因是BCC1的豎向桿件在壓縮塑性彎曲后，相較于BCC2的橫向桿件，與其他斜向桿件的接觸面更大。BCC1彈性模量的優(yōu)勢(shì)則是因?yàn)樨Q向桿件在壓縮時(shí)的傳力效率更高。在完全失效后的致密段，兩者的桿件均互相擠壓接觸。由于兩者的相對(duì)密度基本相同，因此致密時(shí)的應(yīng)變也差別不大，應(yīng)力水平也相當(dāng)，此時(shí)不再受結(jié)構(gòu)布局的影響。

為研究填充后點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和增強(qiáng)效果，將硅橡膠、BCC1、BCC2、RFBCC1和RFBCC2共5種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖9a和圖9b所示。其中，“××+硅橡膠”表示點(diǎn)陣和硅橡膠壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線的線性疊加。

對(duì)于RFBCC1結(jié)構(gòu)，如圖9a所示，在平臺(tái)段出現(xiàn)了能量吸收性能耦合增強(qiáng)現(xiàn)象，混雜點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)RFBCC1相較于兩種材料疊加（BCC1+硅橡膠）后的應(yīng)力水平更高，高出部分用紫色陰影面積部分表示。當(dāng)壓縮應(yīng)變?cè)?.01～0.27之間時(shí)，增強(qiáng)現(xiàn)象隨著壓縮應(yīng)變的增大而更加明顯。結(jié)合圖7c的試驗(yàn)現(xiàn)象，壓縮中硅橡膠材料對(duì)桿件的支撐約束了桿件結(jié)構(gòu)的彎曲變形。當(dāng)壓縮應(yīng)變繼續(xù)增大時(shí)，硅橡膠材料自身的剛度和致密程度繼續(xù)增加，但是硅橡膠對(duì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)作用有限，造成性能耦合增強(qiáng)作用減小。當(dāng)壓縮應(yīng)變大于0.6時(shí)，線性疊加與混雜點(diǎn)陣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合，表征為兩種基體材料的性能疊加。

對(duì)于RFBCC2結(jié)構(gòu)，如圖9b所示，當(dāng)壓縮應(yīng)變大于0.136時(shí)，性能耦合增強(qiáng)現(xiàn)象開始出現(xiàn)，壓縮應(yīng)變?yōu)?.36時(shí)，增強(qiáng)現(xiàn)象達(dá)到最大，隨后呈現(xiàn)“振蕩”減小。當(dāng)壓縮應(yīng)變大于0.69時(shí)，性能耦合增強(qiáng)現(xiàn)象消失。

對(duì)于填充結(jié)構(gòu)，在壓縮起始段，橡膠的填充對(duì)整體結(jié)構(gòu)剛度的影響很小，原因是壓縮初期硅橡膠與金屬材料的剛度相差過大。但是，在線性段之后的平臺(tái)段，無填充的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平急劇下跌，而填充結(jié)構(gòu)則微弱下降，硅橡膠的保護(hù)作用開始顯現(xiàn)。而在致密段，填充前后的應(yīng)力應(yīng)變曲線基本重合，橡膠與點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)幾乎分離，這說明致密段期間壓縮橡膠已經(jīng)不能夠提供對(duì)桿件的支持功能。另外，當(dāng)應(yīng)變較大時(shí)（＞0.6），硅橡膠試驗(yàn)件的密度陡增，其等效應(yīng)力已經(jīng)超過了金屬點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力，而此時(shí)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)也逐漸進(jìn)入致密段。兩種材料在致密化后獨(dú)自承力的作用均顯著增強(qiáng)，相互作用則減弱，因此大應(yīng)變下填充結(jié)構(gòu)的壓縮表現(xiàn)為兩種材料本體的壓縮行為，這也可能是BCC1和BCC2兩種結(jié)構(gòu)耦合增強(qiáng)現(xiàn)象基本消失的主要原因?？傮w來看，填充結(jié)構(gòu)和未填充結(jié)構(gòu)在中間的平臺(tái)段差距明顯（BCC1結(jié)構(gòu)的壓縮應(yīng)變?cè)?.01～0.54，BCC2結(jié)構(gòu)的壓縮應(yīng)變?cè)?.1～0.7），平臺(tái)段也是大多數(shù)能量吸收裝置的主要工作區(qū)。

為了進(jìn)一步研究上述結(jié)構(gòu)的能量吸收性能，采用單位體積能量吸收量Wv衡量其效果：

式中，σ為壓縮過程中的應(yīng)力;ε為壓縮中的應(yīng)變。

4種結(jié)構(gòu)和硅橡膠材料的單位體積能量吸收曲線如圖10所示。可以看出，填充后的結(jié)構(gòu)性能明顯優(yōu)于填充前。當(dāng)壓縮應(yīng)變小于0.5時(shí)，RFBCC1結(jié)構(gòu)的吸能性能更好；應(yīng)變大于0.5后，RFBCC2更好。而BCC1結(jié)構(gòu)的吸能性能則均優(yōu)于BCC2。綜上來看，對(duì)比BCC1和BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，硅橡膠材料的填充可以將其壓縮強(qiáng)度分別提高至2.26倍和4.81倍，將單位體積的能量吸收量分別提高至1.81倍和3.62倍（以壓縮應(yīng)變0.7為計(jì)算截止應(yīng)變）。對(duì)比BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，BCC2結(jié)構(gòu)填充后的耦合增強(qiáng)性能相對(duì)更好。

3.2 理論分析

3.2.1 等效彈性模量

理論模型中BCC1和BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的構(gòu)型分別如圖11a和圖11b所示。外包絡(luò)立方體的長(zhǎng)、寬和高分別為L(zhǎng)x、Lz和Ly。原始坐標(biāo)系為XYZ，第一次坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，繞Y軸旋轉(zhuǎn)α變?yōu)閄1Y1Z1，第二次坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，繞Z1軸旋轉(zhuǎn)β變?yōu)閄2Y2Z2。坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣為Φ［29］，如下所示：

假設(shè)點(diǎn)C1在力F作用下，在第一個(gè)坐標(biāo)系XYZ的坐標(biāo)為（δx，δy，δz）T，受力為（Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z）T。在第二個(gè)坐標(biāo)系X2Y2Z2的坐標(biāo)為（δx2，δy2，δz2）T，受力為（Fx2， Fy2， Fz2）T。其中，由于桿B1C1僅在Z軸向受約束作用，可以假設(shè)δz=0。由于在X軸向沒有約束作用，故可假設(shè)Fx=0。

式中，a1=a4=cos αcos β，b1=b4=sin β，c1=c4=-sin αcos β；a2=a5=-cos αsin β，b2=b5=cos β，c2=c5=sin αcos β；a3=a6=sin α，b3=b6=0，c3=c6=cos α。

以文中的參數(shù)為例，當(dāng)Lx=Ly=Lz=L=4 mm時(shí)，cos α=12，sin α=12，cos β=23，sin β=13，可求解出Ey-BCC2=30.56 MPa。

對(duì)于文中立方體形式的BCC1型結(jié)構(gòu)，其斜向的O′C1桿件的受力和變形狀態(tài)與BCC2型結(jié)構(gòu)的O′C1桿件相似，然而，C1端還受到O2C1桿件的支撐載荷，O2為CC1桿件的中點(diǎn)。因此，可得Ey-BCC1=Ey-BCC2+EO2C1=658.56 MPa，EO2C1為O2C1桿的等效彈性模量。

3.2.2 等效壓縮平臺(tái)應(yīng)力

圖12a所示為BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮平臺(tái)應(yīng)力理論分析模型，可得

式中，F(xiàn)0-BCC2為BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)承受的力；ΔBCC2為對(duì)應(yīng)方向的壓縮位移;MBCC2為BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中桿件的彎矩;φBCC2為壓縮中對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角;σp-BCC2為BCC2結(jié)構(gòu)等效壓縮平臺(tái)應(yīng)力;l同上，為O″C的桿長(zhǎng);βBCC2為BCC2結(jié)構(gòu)中O″C與水平面的夾角;彎矩MBCC2=43r3σys，σys為基材的屈服強(qiáng)度，σys=800 MPa;φ為桿O″C的轉(zhuǎn)角，β0=βBCC2-φBCC2。

式中，F(xiàn)0-BCC1為BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中1/4部分結(jié)構(gòu)承受的總載荷;ΔBCC1為對(duì)應(yīng)方向的壓縮位移;M1為O′O″桿中的彎矩;φ1為此桿壓縮中對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角;M2為O″C桿中的彎矩;φ2為此桿壓縮中對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角;σp-BCC1為BCC1結(jié)構(gòu)等效壓縮平臺(tái)應(yīng)力;l1為桿件O′O″的長(zhǎng)度;F0-BCC1=F1+F2，F(xiàn)1為桿件O′O″的受力，F(xiàn)2為桿件O′CO″的受力。

根據(jù)文獻(xiàn)［30］，假設(shè)總受力F0-BCC1由桿件O′O″和桿件O′CO″平分。根據(jù)幾何變形的關(guān)系，對(duì)于O′O″桿，可得下式：

將理論和試驗(yàn)計(jì)算出的不同結(jié)構(gòu)等效彈性模量和壓縮平臺(tái)應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。由表1結(jié)果可知，理論和試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)理論模型的準(zhǔn)確性。

3.3 仿真分析

雖然通過試驗(yàn)?zāi)塬@得點(diǎn)陣及其填充結(jié)構(gòu)的宏觀壓縮力學(xué)性能和外表面變形，但是卻難以得到內(nèi)部材料結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形情況，因此需要借助仿真模型進(jìn)一步研究。圖13為4種結(jié)構(gòu)在試驗(yàn)和仿真過程中的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比，可以看出，當(dāng)壓縮應(yīng)變小于0.7時(shí)，BCC1與BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的仿真與試驗(yàn)壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合，驗(yàn)證了仿真模型的準(zhǔn)確性。

將壓縮過程中典型應(yīng)變位置（選取ε=0.3）的仿真結(jié)果匯總，如圖14所示。將填充結(jié)構(gòu)、橡膠和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布分別畫出，對(duì)比圖14a～圖14d，BCC2和RFBCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)表征明顯不同。其中，BCC2結(jié)構(gòu)在“V”形剪切帶附近明顯屈曲變形，而RFBCC2結(jié)構(gòu)則沒有類似的變形，其桿件表現(xiàn)為均勻協(xié)同的變形，說明橡膠材料的支撐會(huì)抑制剪切帶附近的桿件變形。剪切帶附近桿件屈曲后，承載能力大幅降低，因此導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體的等效應(yīng)力下降。然而，填充前后桿件的應(yīng)力分布卻變化不大。結(jié)合圖8中4種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，抑制變形可能是填充后BCC2桿件出現(xiàn)性能耦合增強(qiáng)機(jī)制的主要原因。

對(duì)于BCC1點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，當(dāng)壓縮應(yīng)變逐漸增大時(shí)，填充后桿件的應(yīng)力值遠(yuǎn)大于未填充時(shí)的狀態(tài)，主要是填充后豎向桿件的應(yīng)力比填充前更高。根據(jù)3.2節(jié)的理論分析，豎向桿件是壓縮過程中承力的主要載體。填充后BCC1結(jié)構(gòu)比填充前大多數(shù)桿件的承載力更大，進(jìn)而結(jié)構(gòu)整體的等效應(yīng)力更高，力學(xué)性能也更好。這可能是填充后BCC1桿件出現(xiàn)性能耦合增強(qiáng)機(jī)制的主要原因。此外，填充后結(jié)構(gòu)桿件的變形更加均勻，填充前結(jié)構(gòu)的上下層變形較大，接近致密化，中間層則變形較小。

對(duì)比圖14中硅橡膠應(yīng)力分布可以看出，相較于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，硅橡膠的應(yīng)力非常小，因此在承載過程中點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)承擔(dān)了絕大部分的載荷，也是吸收能量的主體。然而，由于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的不同，導(dǎo)致填充后橡膠的應(yīng)力分布也不同。隨著壓縮應(yīng)變的增加，RFBCC1結(jié)構(gòu)的橡膠表現(xiàn)為沿截面對(duì)角線附近的區(qū)域首先出現(xiàn)大應(yīng)力，而RFBCC2結(jié)構(gòu)的橡膠則表現(xiàn)為截面整體的應(yīng)力增加，應(yīng)力分布也更加均勻。試驗(yàn)和仿真結(jié)果顯示RFBCC2結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)效果更明顯，也表明改變桿件的彎曲變形是提高填充結(jié)構(gòu)整體性能的更優(yōu)選擇，這也為填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的性能增強(qiáng)設(shè)計(jì)提供了參考。

3.4 不同桿徑的影響分析

基于3.3節(jié)的仿真模型，改變半徑為0.3，0.4，0.5 mm，分別建立4種結(jié)構(gòu)的有限元模型，研究不同胞元半徑對(duì)能量吸收性能的影響。不同胞元半徑結(jié)構(gòu)的能量吸收性能比較如圖15所示。由圖15a可知，雖然在半徑0.2 mm時(shí)RFBCC2結(jié)構(gòu)吸能量高于RFBCC1結(jié)構(gòu)，但隨著半徑的增大，RFBCC1增速更快，其吸能量均大于RFBCC2結(jié)構(gòu)。

另外，定義吸能耦合因子的概念來衡量填充材料結(jié)構(gòu)的能量吸收增強(qiáng)性能：

式中，Eenco為能量吸收耦合因子；EA為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的能量吸收量；EB為硅橡膠的能量吸收量；EA+B為填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的能量吸收量。

若吸能耦合因子大于1，說明具有耦合性能增強(qiáng)的效果。Eenco越大，說明耦合性能增強(qiáng)效果越明顯。

圖15b所示為不同半徑下填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子。對(duì)于BCC1型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，隨著半徑的增大，吸能耦合因子先迅速增大后迅速減小；而BCC2型結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子先緩慢增大后減小。因此，桿徑的變化對(duì)BCC1型結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子影響更大。當(dāng)桿件半徑均大于0.3 mm后，隨著半徑繼續(xù)增大，兩種結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子的減速均變緩。所有半徑下的吸能耦合因子均大于1，說明不同半徑的BCC1和BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在填充后均會(huì)有吸能耦合增強(qiáng)的效果。

此外，3.3節(jié)中分析了未填充結(jié)構(gòu)的等效彈性模量和等效平臺(tái)應(yīng)力，對(duì)于填充結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，填充前后差別不大，因此僅研究填充后結(jié)構(gòu)的等效平臺(tái)應(yīng)力模型。將填充后結(jié)構(gòu)視為多孔材料的一種。根據(jù)Gibson-Ashby公式，可通過擬合將平臺(tái)應(yīng)力描述為等效密度的函數(shù)［32］。由于填充后結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為主要由點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)決定，因此，采用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效密度。根據(jù)表2的結(jié)果可得

式中，σRFBCC1、σRFBCC2分別為RFBCC1和RFBCC2結(jié)構(gòu)的平臺(tái)應(yīng)力；ρ*BCC1、ρ*BCC2分別為BCC1和BCC2結(jié)構(gòu)的等效密度。

基于仿真模型，進(jìn)一步比較同質(zhì)量填充結(jié)構(gòu)和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。當(dāng)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的半徑為0.2 mm時(shí)，填充后質(zhì)量與半徑0.39 mm的未填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)相當(dāng)。可計(jì)算出未填充結(jié)構(gòu)的剛度分別為2810 MPa（BCC1）和410 MPa（BCC2），強(qiáng)度為12.4 MPa（BCC1）和17.5 MPa（BCC2），能量吸收量為8.29 J/cm3（BCC1）和6.45 J/cm3（BCC2），均大于同質(zhì)量的填充結(jié)構(gòu)。這也與OSMAN等［17］關(guān)于亞克力材料填充金屬點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的結(jié)論一致，原因是硅橡膠與金屬點(diǎn)陣的剛度等力學(xué)性能差距過大。但是，硅橡膠本身也是一種航空航天用的抗沖擊功能材料，而通過上文的研究也能看出，以硅橡膠為基體，通過金屬點(diǎn)陣的填充可以提高硅橡膠自身的能量吸收和承載功能。另外，硅橡膠具有良好的阻尼減振性能，填充點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)還可應(yīng)用于兼具減振和承載的多功能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方面，相關(guān)研究工作正在開展中。

4 結(jié)論

本文通過理論、試驗(yàn)和仿真方法研究了硅橡膠填充BCC1和BCC2點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮力學(xué)性能，得出如下結(jié)論：

（1）基于鐵摩辛柯梁理論推導(dǎo)了BCC1和BCC2兩種點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，基于塑性極限載荷分析法推導(dǎo)了其等效壓縮平臺(tái)應(yīng)力，通過有限元和試驗(yàn)方法驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性。對(duì)于BCC點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，相較于橫向增強(qiáng)，豎向增強(qiáng)對(duì)彈性模量和平臺(tái)應(yīng)力的效果更明顯。

（2）對(duì)比BCC1型和BCC2型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，硅橡膠材料的填充可以將其壓縮強(qiáng)度分別提高2.26倍和4.81倍，將單位體積的能量吸收量分別提高1.81倍和3.62倍。填充對(duì)BCC2結(jié)構(gòu)的增強(qiáng)效果更加顯著。

（3）兩種結(jié)構(gòu)在填充后均存在耦合增強(qiáng)現(xiàn)象。相較于未填充的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，RFBCC2結(jié)構(gòu)的性能增強(qiáng)主要原因是橡膠減小了“V”形剪切帶附近桿件的彎曲變形，而RFBCC1結(jié)構(gòu)的性能增強(qiáng)主要原因是桿件的承載力提高。

（4）對(duì)于BCC1型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，隨著半徑的增大，吸能耦合因子先迅速增大后減小，而BCC2型結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子則緩慢增大后減小。桿徑的變化對(duì)BCC1型結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子影響更大。當(dāng)桿件半徑均大于0.3 mm后，半徑增大，兩種結(jié)構(gòu)的吸能耦合因子的減速均變緩。

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（編輯 王旻玥）

作者簡(jiǎn)介：

張武昆，男，1995年生，博士研究生。研究方向?yàn)楹娇蘸教旖Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、力學(xué)分析。

譚永華（通信作者），男，1963年生，研究員、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)橐后w火箭發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)。E-mail：tanyhcasc@163.com。

收稿日期：2024-01-16

基金項(xiàng)目：航天先進(jìn)制造技術(shù)研究聯(lián)合基金（U1737205）；航天液體動(dòng)力全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金（6142704210403，6142704220403，6142704220401）