基于模型觀念的項目化學習設計與研究

摘"要：項目化學習是通過合作探究解決真實情境中的復雜問題的一種學習方式，是培養學生數學模型觀念的有效方法.本文借助項目化學習理念設計指向模型觀念培養的跨學科項目，讓學生經歷“發現、提出問題—建立、求解模型—修正、完善模型—應用、運用模型”的過程，并讓教師全程評價和協助探究，旨在通過建立數學函數模型、模擬計算和數據擬合，對電池充電時間問題進行優化，落實學生核心素養的培養.

關鍵詞：項目化學習；數學函數模型觀念；新能源汽車

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出：“原則上，各門課程用不少于10%的課時設計跨學科主題學習.”［1］數學跨學科學習可采用項目化學習方式，它是指將數學與其他學科結合起來，通過項目研究或實踐活動等形式，實現數學知識在多個領域的應用和發展.項目化學習不僅提高學生對數學知識的理解和運用能力，同時也增強了他們對其他學科領域的認識.學生可以學會如何把數學知識和方法應用到解決實際問題上，加深對科學和技術的認識，體會數學的科學價值.其特點有：①以問題為導向，項目式學習注重解決實際問題，學生在項目中面臨具體的挑戰和任務；②跨學科整合，項目式學習將不同學科的知識和技能整合在一起，學生需要綜合運用各學科的知識；③團隊合作，項目化學習鼓勵學生進行團隊合作，共同解決問題，培養合作與溝通能力.

本文以“新能源汽車中的數學函數模型”為情境，構建初中數學項目化學習可操作的程序：發現、提出問題；建立、求解模型；修正、完善模型；應用、運用模型（如圖1）.

1"明晰過程，建構模型

1.1"發現、提出問題

1.1.1"設計驅動性問題

確定一個適合的研究問題是項目式學習的重要起點，它將影響整個項目的方向、深度和成果.在設計問題時，要關注學生興趣領域、社會意義和創新性，考慮可測量性和可操作性.這個過程需要深思熟慮，一個合適的問題將會為整個項目的成功打下基礎.經過學生充分探討，此次項目化學習主題為“新能源汽車充電間隔天數問題”，而后圍繞這一驅動性問題，展開數學函數模型的構建與探究.

1.1.2"分組確定項目任務

（1）分組討論，明確每組成員分工，明確項目的目標和預期成果，明確項目的范圍和約束條件.

（2）分組搜集資料，了解市場上主流電車品牌型號、百公里電耗、電池容量、電池充電功率、充電時間、電池適宜環境溫度等基本信息.

（3）小組之間互相合作與交流.

1.2"建立、求解模型

首先，問題分析和建模，分析問題并思考如何用數學表達和建模.根據問題的特點，選擇適當的數學工具和方法，如線性函數、概率統計等.其次，選擇合適的變量和參數，確定需要在模型中使用的變量和參數.這些變量和參數是能夠準確反映問題的關鍵因素.最后，建立數學表達式.根據問題和選擇的數學工具，建立數學表達式，這可以是一個方程、一個函數關系或者一個統計模型.

1.2.1"學生考查、探究活動

開展相關的研究和調研工作，了解項目所涉及的數學知識和其他學科的背景知識，搜集相關的數據和資料并初步建立模型.在本文情境中，要調查新能源汽車充電間隔天數問題，首先要調查影響電耗的主要因素.

師：通過查閱，我們發現影響電耗的主要因素為車速.如果排除環境因素，我們要如何研究電耗與車速的關系呢？

生：我們小組經過調查，發現百公里電耗p（度電）與車速vkm/h在80km/h～120km/h之間有一定的數學關系（見表1）.

通過數據擬合，我們發現p接近關于v的一次函數關系：p＝0.1v＋5（80≤v≤120），該圖象是一條線段，p隨v的增大而增大，當v確定時，p也確定.

1.2.2"師生合作，推進問題解決路徑

項目化學習強調學生的主動參與和自主學習.學生需要自己制定計劃、收集信息、開展實踐，并在教師的指導下自主探索和學習.在本例中，學生發現百公里電耗是一個瞬時值，它在不斷變化，教師可幫助學生觀察顯示器上的虛線，表示平均百公里電耗（如圖2）.同時，考慮到小組進度有差異，有困難的小組提出遇到的困難后，教師應整體把控組間的差異.

1.3"修正、完善模型

模型調整和改進：如果發現模型與實際情況存在差異，需要調整和改進模型.可能需要調整參數、引入更復雜的數學概念，或者重新思考建模的方法.模型驗證：使用已有的數據或通過實驗來驗證數學模型.與實際情況進行比較，看模型是否能夠合理地解釋已有的數據.

特殊地，假設某車電池容量是60kW·h，每百公里耗電約15kW·h，但實際使用時電車平均每天還會產生各種其他耗電1.2kW·h（包括待機損耗）.若該車主平均每天行駛路程50km，根據題意，計算出該電車將電量全部耗盡所能使用天數為6015×50100+1.2≈6.9（天），但為保證下一次用車，最多使用6天就需要充電，也就是說滿電時能滿足車主一周五個工作日的正常用車.

一般地，各品牌各型號的電車電池容量不同，不妨設電池容量是akW·h，平均每百公里耗電約pkW·h（其中a，p是常量，且a＞0，p＞0），實際電車平均每天還會產生各種其他耗電1.2kW·h（包括待機損耗），車主平均每天行駛路程xkm，則電車最多使用天數y=apx100+1.2，其中“［］”表示不超過中括號內數的最大整數，整理，得y=100apx+120.

猜想：已經學過反比例函數y=kx（k≠0），因此y=100apx+120可能是反比例函數，通過研究該函數的圖象和性質，可以幫助我們得到電車最多使用天數.

驗證：為了更好地研究所得的函數，賦予a，p值.當a＝60，p＝15時，函數y=400x+8，自變量取值范圍是0＜x≤392.要研究y的函數，不妨先研究反比例函數w=400x+8，先繪制w關于x部分函數圖象（圖3中的虛線），再繪制y關于x函數圖象（取整函數），圖象類似于階梯形狀（圖3中的實線）.

結論：繪制充電間隔天數y（天）與平均每天行駛路程x（km）的關系表格（如表2）.

教師可以傳授學生研究所需的方法，如數據收集方法、技術支持、調查設計等.這不僅可以幫助學生理解方法的原理，掌握如何正確使用這些方法，還可以激發學生的思維，鼓勵他們提出新穎的觀點和解決方案，幫助學生深入思考問題的不同層面.

1.4"應用、運用模型

模型應用就是將建立好的數學模型應用于實際問題，使用模型來預測未來趨勢、做出決策、優化策略等.

1.4.1"設計學習成果

將項目的結果進行整理和展示，可以通過研究報告、演示、論文、海報、演講等多種形式，向他人分享項目的成果.

1.4.2"設計評價量規

對項目進行評估和總結，分析項目的成功因素和不足之處，提出改進意見和建議，更加關注學生已有的學業水平與提升空間，可采用自評、組內互評、家長評價和教師評價等方式（見表3）.

2"反思和學習

2.1"立足真實情境，實現跨學科融合

項目化學習作為一種新的學習方式，其最大的優勢在于給學生營造了真實的情境，引導學生圍繞真實且復雜的問題開展持續研究，這有助于增強學生對數學的興趣和學習動力.而數學在許多領域都有應用，如科學、工程、經濟等，這也有助于促進不同學科之間的整合，幫助學生理解數學在各個領域中的作用.例如，本文情境是在較為理想的情況下研究新能源汽車的耗電因素，但實際情況更復雜，還需進一步提高模型的預測精度和擴大應用范圍.

2.2"立足學科實踐，豐富真實體驗

項目化學習強調學生的主動參與和自主學習，學生需要自己分析問題、設計解決方案、收集數據以及建立和驗證模型，這些可以培養學生的問題解決能力和批判性思維.在項目化學習中，鼓勵學生在小組或團隊中合作，分享想法、分工合作，模擬真實工作環境，這有助于培養學生的團隊合作、溝通和領導能力.

2.3"指向核心知識，提升核心素養

項目化學習屬于探究性課程，在項目化學習過程中可以全面落實核心素養的培養，將隱性的品格與價值表現顯性化.

學生可能需要面對未知的問題和挑戰，鼓勵學生嘗試新的方法和創新的思維方式，有助于培養創造性思維.例如，學生提出創新性問題，因此，在未來的研究中，我們可以探究新能源汽車中的其他模型，探究其內在的物理規律.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：人民教育出版社.