“內循環”式解析幾何問題的路徑分析

摘"要：本文以2022年全國新高考Ⅱ卷第21題為例，通過對命題進行多元表征，利用表征方式之間的轉換去建構“內循環”式的新型結構不良題解題思維，探索解決具有較高開放度題目的解決策略，凸顯數學的內在邏輯和思想方法，提升學生掌握數學本質的能力，從而加強學生對通性通法的深入理解和應用，為培養學生理解數學本質的教學提供一定思路.

關鍵詞：解析幾何；多元表征；數學本質

1"緣起：2022年全國新高考Ⅱ卷第21題

教育部考試中心研制的《中國高考評價體系》［1］和《中國高考評價體系說明》［2］從高考的核心功能、考查內容、考查要求三個方面回答“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問題，從而給出“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人”這一教育根本問題在高考領域的答案.引導教學注重培養核心素養和數學能力，增強試題開放性，鼓勵學生運用創造性、發散性思維分析問題和解決問題，引導教學注重培育學生的創新精神.

高考數學命題要求深化基礎考察，突出主干知識，創新試題設計.同時會出現越來越多頗具開放性、創新性和靈活性的試題.而結構不良題正是有力載體之一，有效地增強了試題的開放性與創新性，考查學生創新思維能力，考察力度逐年增大.

如全國新高考Ⅱ卷第21題.

設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程.

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1gt;x2gt;0，y1gt;0.過P且斜率為-3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M.

請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

給出3個條件，要求學生選取2個作為已知條件，證明另外一個成立，給學生提供了選擇的自由度和發揮空間，有利于對學生思維水平的考查.本題出現后，筆者通過對學生進行調查，發現學生面臨的問題主要集中在如下幾個方面.

（1）在第21題的位置出現結構不良題型，且是解析幾何大題，對心理造成一定壓力.

（2）不是常見的結構不良題型，屬于新型的、“內循環式”的結構不良題.

（3）對解析幾何題目無法進行有效分析與計算，缺乏邏輯性，找不到突破口.

面對這樣一道題，不禁會產生這樣的疑問：面對形式多變的新高考，是否會在每年都出現各種新型題目，同時在面對新型的題目時，如何教會學生以不變應萬變？

2"分析：由這道題引發的對幾個概念的相關思考

2.1"多元表征相關理論

在建構主義流行的時期，面對較為復雜和高級的結構不良問題，斯皮羅等人提出過利用多元表征的理念去解決此類問題，即對同一個對象利用不同角度的形式來進行表征，可以是命題表征、言語表征、符號表征、圖象表征等，通過對各個維度的剖析去分析問題.

雖然信息之間可能有不同的表征方式，但是不同表征方式之間相互有著千絲萬縷的聯系，可以通過構建它們之間的關系（如圖1），從不同角度分析問題、理解問題，從而增加問題解決的層次感.

對數學題目進行多元化表征的過程其實是在多種表征之間進行轉化的過程，是經過思考并進行解題過程的一種高級思維活動.完整的解題過程，需要從“題目條件”“表征要素”“基本活動經驗”“問題結論”四層面對問題建立“交叉結構形”知識體系，從多個維度展示各表征類型之間的聯系（如圖2）.

解決問題的最終目的就是將“題目條件”和“問題結論”通過表征分析，構建邏輯關聯.對知識的表征和轉化的熟練度就取決于學生基本活動經驗的積累和熟練使用程度，也是表征及其轉換過程中最重要的一步.在經歷外在表征與內在表征的加工中，可以潛移默化增強學生解決問題的能力和對問題的應用能力.

因此，問題的解決過程可以劃分為三階段：對命題問題進行表征、借助思維導圖構建問題解決路徑、反思小結.

2.2"新型結構不良題概念解析

除了常見的條件選擇類的傳統結構不良題型之外，新型結構不良題型也開始較高頻率地出現在高考試卷中.所謂新型的結構不良題型，指在問題處提供三個選項，每個選項可以獨立看作一個條件，學生可以選擇任意兩個選項作為已知條件，第三個選項作為問題進行解答，這種類型的結構不良題筆者取名為“內循環”式的結構不良題.

3"探索：以多元表征解決新型結構不良問題的實踐策略

該題作為新型的“內循環式”結構不良問題，進一步可以細分成題干部分和三個選項組成的問題部分，本質是三道結構良好試題.

對于題干部分和問題選項部分都要進行一次表征，同時對組合后的結構良好試題也要進行進一步表征分析.該題考查的是直線與雙曲線的問題，可從符號表征和圖形表征兩個角度進行重點表征，同時對于基本活動經驗進行進一步轉化.

3.1"對題干的多元化表征

對于題干部分，可以對命題題干的顯性信息進行分解，利用數學符號、圖象并結合數學活動經驗表征（見表1）.

3.2"對問題的多元表征

面對三種組合方式，學生腦中會浮現以下幾個問題.

（1）是否存在哪種組合方式解題更簡單.

（2）需要運用哪些知識.

（3）是否有多種解題途徑.

（4）哪種解題途徑更快捷.

為了解決以上問題，能夠對復雜的數學問題進行直觀表達，要先解決每個選項對應的問題表征（見表2）.

其次，在第一步對選項進行表征后的基礎上進行選項組合，構成完整的問題表述，再對問題進行表征，從中抽象出最直接的數學本質的核心問題和主線內容（見表3）.

3.3"構建問題解決路徑

對選項構造出的三個問題進行了多元表征后，就已經對題目信息進行了直觀表達，下面對構成的每個問題，利用思維導圖的工具性去進行解體思維輸出.我們可以聯想到設直線PQ入手，常規的聯立直線與雙曲線，由韋達定理得出關系，探索M的軌跡（如圖3）.

由此結論出發，結合構造出的問題，增強表征連接度，凸顯數學本質特征，可由以下思路突破.

（1）若選擇①②為條件，③為問題，構建解題思維導圖如圖4.

（2）（2）若選擇①③為條件，②為問題，構建解題思維導圖如圖5.

（3）若選擇②③為條件，①為問題，構建解題思維導圖如圖6.

4"思考與建議

內循環式的新型結構不良題型，雖然是結構不良類的亞類題目，但它在新高考卷中的出現本身就是一種突破.在2021年的高考理科甲卷中，在第18題的位置以數列為載體出現，但總體難度不大.而在2022年的新高考Ⅱ卷中，則直接放在了第21題.一方面在次壓軸題的位置以解析幾何題為載體的出現，本身對于考生的心理上就造成了壓力.但另外一方面，內循環問題本身開放性也具有一定的局限性，面對內循環問題時要注重對題目題干和選項問題進行多元表征，從多個維度進行分析.

無論題型怎么變化，都是考查學生對數學本質的理解和對數學問題的洞察力，從而真正考查了學生的數學核心素養.因此在后續的教學過程中，應該更加注重以下兩點.

4.1重視基本活動經驗，發展思維品質

“基本活動經驗”是針對數學活動提出的，數學活動是人類對待外部世界的一種特殊的方式，是人類進行數學抽象和數學應用的實踐過程.［3］在教學過程中應重視學生基本活動經驗的積累，有效的活動經驗有利于思維活動經驗的形成，對于同類問題的遷移性會大大加強.

推導與生成，面對“二次結構”可以選擇二次平方法、構造對偶式等方法去解決，再如對函數單調性的教學中，可以讓學生從直觀認識出發，設計合適的課堂活動，使學生經歷函數單調性概念的抽象和應用過程，積累基本活動經驗，發展學生的數學核心素養和思維品質.

4.2強化整體分析，注重解題邏輯

教育部教育考試院研制的《中國高考評價體系》明確了適合高考評價規律的三個關鍵能力群：以認識世界為核心的知識獲取能力群、以解決實際問題為核心的實踐操作能力群和涵蓋了各種關鍵思維能力的思維認知能力群.［4］對于更加重視通法通解、強化本源性方法、淡化特殊技巧的新高考試卷而言，解析幾何的計算量是不可回避的一個話題，但也有考前各種結論“秒殺”的言論.但指望記住結論來解題是不切實際的，也不符合新課標的要求.相比于受限于題型的結論而言，解題邏輯才是真正值得我們挖掘和掌握的解題利器.但從另一個角度，我們是否要完全否定結論呢？這也沒必要以偏概全，畢竟結論的生成是有嚴密的論證過程的，只要教師在推導結論的生成過程中，注重邏輯性和本源性，那么在面臨問題時，遇到了熟知的結論也的確能夠帶來一絲靈光.這種以能力為重的新高考數學評價體系，可以避免學生死學數學、學死數學的局面，強化學生對數學本質的理解與運用，讓通過大量刷題的學生無法再獲得高分，促使教學一線的教師與學生提升思辨意識與創新能力.

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］王新民，王富英，王亞雄.數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考［J］.數學教育學報，2008，17（3）：17-20.

［4］任子朝，趙軒，郭學恒.基于高考評價體系的關鍵能力考查［J］.數學通報，2020，59（8）：15-20+24.