探本求源，返璞歸真

摘"要：新高考數學試卷穩定中求創新，強化對學生基本數學素養、思想方法和能力的考查，試題秉承出活題、考基礎、重能力、考素養、貼近中學教學實際的風格，體現了“源于教材而又高于教材”的特點，教材是課程標準和大綱的載體，蘊藏著豐富的數學背景和教學功能，高三數學復習教學中應“依綱靠本”讓教材更好地發揮其教學作用.

關鍵詞：探本求源；回顧教材；素養導向；能力為重

2023年教育部考試中心命制的數學試卷在穩定中求創新，強化對學生基本數學素養、思想方法和能力的考查.試題突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，落實了“價值引領、素養導向、能力為重、科學選才”的命題原則.

下面以2023年新課標Ⅰ卷第21題為例，分析該試題的命制特點、解題思路和解法探究.結合課本原題，高考真題，探本求源，結合高三復習探討回歸教材的重要性，以期對大家高考復習有所啟示.

1"試題呈現

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率.

（2）求第i次投籃的人是甲的概率.

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（ni=1Xi）=ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）.

分析：（1）根據全概率公式即可求出.

（2）設P（Ai）=pi，由題意，可得pi+1=0.4pi+0.2，根據數列知識，構造等比數列即可解.

（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出.

解析：

（1）記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi.

所以P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）·P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6."

（2）設P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi，則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）·P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2.

方法1：待定系數法.

構造等比數列｛pi+λ｝，設pi+1+λ=25（pi+λ），解得λ=-13，則pi+1-13=25pi-13.

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數列.

所以pi-13=16×25i-1，pi=16×25i-1+13.

方法2：同除后累加法.

兩邊同時除以0.4i+1，得pi+10.4i+1=pi0.4i+0.20.4i+1，令pi0.4i=qi，得qi+1-qi=0.20.4i+1.

累加，得qi=q1+（q2-q1）+（q3-q2）+…+（qi-qi-1）=54+0.2×10.42+10.43+…+10.4i.

所以pi=0.4i×qi=16×25i-1+13.

方法3：不動點法.

一般地，對于遞推數列｛xn｝，若其遞推關系為xn+1=f（xn），且存在實數x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是數列｛xn｝的不動點.

由遞推關系的特征方程0.4x+0.2=x，得不動點為x=13，則可以構造等比數列Pi+1-13，pi+1-13=25（pi-13）.

結合初始條件p1=12，p1-13=16，得pi-13=16×25i-1，所以pi=16×25i-1+13.

方法4：退位相減法.

由pi+1=0.4pi+0.2，得pi=0.4pi-1+0.2，i≥2，兩式相減，得pi+1-pi=0.4（pi-pi-1）.

令si=pi+1-pi，則s1=p2-p1=-0.1，且si+1=0.4si，所以{Si}為等比數列.

所以si=（-0.1）×0.4i-1.

即pi+1-pi=（-0.1）×0.4i-1.

再由累加法，得pi=p1+（p2-p1）+（p3-p2）+…+（pi-pi-1）=16×25i-1+13.

（3）因為pi=16×25i-1+13，i=1，2，…，n，所以當n∈N*時，E（Y）=p1+p2+…+pn=16×1-25n1-25+n3=518×1-25n+n3，故E（Y）=518×1-25n+n3.

點評：概率統計是高考解答題必考題型之一，?？疾楦怕省祵W期望、回歸直線方程、獨立性檢驗、條件概率等，考查常結合實際問題.

本題的處理方法與人教A版教材《普通高中數學教科書必修第三冊》上的一道作業題如出一轍.

2"課本原題

甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.

解析：記Ai表示事件“經過i次傳球后球在甲手中”，Bi表示事件“經過i次傳球后球不在甲手中（即在乙或丙手中）”.設pi=P（Ai），i=1，2，…，n，則依題可知，p1=0，P（Bi）=1-pi.

P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）·P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0×pi+12×（1-pi）=-12pi+12，構造等比數列｛pi+λ｝.

設pi+1+λ=-12（pi+λ），解得λ=-13，則pi+1-13=-12pi-13.

又p1=0，p1-13=-13，所以pi-13是首項為-13，公比為-12的等比數列.

即pi-13=-13×-12i-1，pi=-13×-12i-1+13.

3"高等數學背景與馬爾科夫鏈

這個問題的高等數學背景來源于馬爾科夫鏈.

馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為假設我們的序列狀態是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態Xt，即P（Xt+1｜…，Xt-2，Xt-1，Xt）=P（Xt+1｜Xt）.現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為50%，且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，Alt;B），賭博過程如圖1的數軸所示.

當賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時，最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題.

（1）請直接寫出P（0）與P（B）的數值.

（2）證明｛P（n）｝是一個等差數列，并寫出公差d.

（3）當A=100時，分別計算B=200，B=1 000時，P（A）的數值，并結合實際，解釋當B→∞時，P（A）的統計含義.

解析：

（1）當n=0時，賭徒已經輸光了，因此P（0）=1.

當n=B時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P（B）=0.

（2）記M：賭徒有n元且最后輸光，N：賭徒有n元且上一場贏.

P（M）=P（N）P（M|N）+P（）P（M|），即P（n）=12P（n-1）+12P（n+1）.

所以P（n）-P（n-1）=P（n+1）-P（n），所以{P（n）}是一個等差數列.

設P（n）-P（n-1）=d，則P（n-1）-P（n-2）=d，…，P（1）-P（0）=d.

累加，得P（n）-P（0）=nd，故P（B）-P（0）=Bd，得d=-1B.

（3）A=100，由P（n）-P（0）=nd，得P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當B=200時，P（A）=50%，當B=1 000時，P（A）=90%，當B→∞時，P（A）→1，因此可知，久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會100%概率輸光.

點評：試題新穎，題目的背景設置的雖然較為陌生復雜，但解答并不困難，該題將概率和數列知識綜合到了一起，解答的關鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確關系即可求解，

4"推廣

由于馬爾科夫鏈問題往往會得到一個一階遞推式，即an+1只被an限制，如果還需要被an-1甚至更之前的元素限制呢？如下列問題.

（2011·華約自招）將一枚均勻的硬幣連續拋擲n次，以pn表示未出現連續3次正面的概率.探究數列{pn}的遞推公式，并給出證明.

分析：分三種情況.

（1）如果第n次出現反面，那么前n次不出現連續三次正面的概率為12

pn-1.

（2）如果第n-1次出現正面，第n-1次出現反面，那么前n次出現連續三次正面和前n-2次出現連續三次正面的概率是相同的，所以這個時候不出現連續三次正面的概率是14pn-2.

（3）如果第n次出現正面，第n-1次出現正面，第n-2次出現反面，那么前n次出現連續三次正面和前n-3次出現連續三次正面的概率是相同的，所以這個時候不出現連續三次正面的概率是18pn-3.

綜上，pn=12pn-1+14pn-2+18pn-3（n≥4）.

新高考數學很好地落實了立德樹人的根本任務，秉承出活題、考基礎、重能力、考素養、貼近中學教學實際的思路，合理平衡了試題的思維量與計算量，充分體現了反刷題、反套路、回歸課標與教材的導向.由于命題人的匠心獨運，使得“源于教材而又高于教材”這一原則被廣泛運用到新高考試題的命題過程中，這也給我們的復習備考指明了方向，那就是回歸教材.中學教材例題中蘊含著豐富的背景內容和較強的教學功能，是提高學生解題能力、培育學生數學思維品質的重要素材，在高三數學復習教學中要“依綱靠本”，結合學生的認知特點、心理規律和學生當前的數學基礎與數學能力等實際情況，深刻理解其中的數學思想方法和數學邏輯關系，以不變應萬變，才能使高中數學教學立于不敗之地.