數形結合在“后建構”專題課中的應用

課題信息：江蘇省中小學教學研究第十三期重點課題“指向學科核心素養的數學‘后建構’課堂設計研究”，課題編號為2019JK13ZB16；江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“基于核心素養培育的后建構課堂協作學習模式研究”，課題編號為22A00QTJS36；江蘇省高校專項課題“基于OBE理念的線性代數混合式教學模式的探究與實踐”，課題編號為2022JDKT102；泰州學院教學改革重點課題“‘雙減’背景下師范專業人才培養模式的改革與創新”，課題編號為2021JGA02.

摘要：數形結合思想是初中數學教學中常用的一種思想方法.本文中圍繞數形結合思想，通過具體的例題剖析，說明數形結合在不同類型的“后建構”專題課中的具體應用——“后建構”代數專題課，借“形”解“數”；“后建構”函數專題課，以“形”助“數”；“后建構”動點專題課，用“形”化“數”.在“后建構”專題課中數形結合可以把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現數與形的靈活轉換，在提高專題復習效益的同時，學生的思維能力也得到了提升.

關鍵詞：數形結合；初中數學；后建構課堂；專題教學

1 問題的提出

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”初中數學教學內容以“數”與“形”兩方面為主，它們之間有著十分密切的聯系.在一定的條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.數形結合思想是數學教學中常用的一種思想方法.

“后建構”課堂是指在解構學生已有的知識，使之被學生重新認知和接受，并在新的認知情境中進行重組和再構，形成新的認知結構的課堂[1].從專題復習的角度來看，“后建構”專題課更加重視對知識的全面構建與深刻的認識，有助于培養學生的數學基礎能力.因此，在“后建構”專題課中根據問題的具體情境，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現數與形的靈活轉換，最終獲得簡便易形的成功方案.在提高專題復習效益的同時，學生的思維能力也得到了提升.本文中通過具體例題的講解，來闡述數形結合在“后建構”專題課中的應用.

2 數形結合在“后建構”專題課中的應用

2.1 “后建構”代數專題課，借“形”解“數”

對于初中階段的數學課程，涉及的代數內容主要包括有理數、代數式、不等式以及函數等，在解決這些問題時，通常通過幾何的方法，利用圖形來解決.

例1 （2021＼5無錫）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點P是△ABC所在平面內一點，則PA2＋PB2＋PC2取得最小值時，下列結論正確的是（" ）.

A.P是△ABC三邊垂直平分線的交點

B.P是△ABC三條內角平分線的交點

C.P是△ABC三條高的交點

D.P是△ABC三條中線的交點

分析：如圖1，過點P分別向AB，AC作垂線PH，PI.設AH=a，AI=b，則用勾股定理表示出PA2＝a2+b2，PB2＝（6-a）2+b2，PC2＝（8-b）2+a2，

再利用配方法將其轉化成PA2＋PB2＋PC2＝3（a-2）2+3b-832＋2003.當a=2，b=83時，PA2＋PB2＋PC2的值最小，此時AI=PH=83，AH=PI=2.由△CIP∽△CAE，求出AE=3=12AB，即E是AB的中點.同理可得F為AC的中點，則P是△ABC三條中線的交點.

顯然，學生對于該題一開始無從下手，缺乏數形結合思想中“形”與“數”相互轉化的思維能力，未能實現數與形的靈活轉換.

例2 已知xgt;0，ygt;0，且x+y=12，求x2+4+y2+9的最小值.

分析：如圖2，在線段AB的同側作MA⊥AB于點A，NB⊥AB于點B，使MA=2，NB=3，AB=x+y=12.由勾股定理，可得MC=x2+4，NC=y2+9，則原題就轉變成了求MC+NC的最小值.顯然，聯想“將軍飲馬”模型，作點M關于AB的對稱點D.當C是DN與AB的交點時，MC+NC有最小值，就是線段DN的長度，從圖中很快就能夠得到答案是13.

本題是典型的“數形結合”題型中“數缺形”的問題，如果按照純代數運算很難得出結果.假如構造出與該題相應的圖形，那么問題破解就會變得非常輕松.只要稍加耐心仔細觀察一下該圖，就會有不小收獲，并從中品味出數學的美感.

以上兩個代數問題，借助（構造）幾何圖形，能夠將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，把復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而形成更加直觀的數學思維過程，更容易解決數學問題.

2.2 “后建構”函數專題課，以“形”助“數”

對于初中階段所學習的三種函數即一次函數、反比例函數和二次函數，很多函數題目利用數形結合思想，把函數的圖形信息轉化為代數信息，減少相關推理的步驟，更易解決問題［2］.

例3 在實數范圍內，方程1x=2x2+3有個解.

分析：對于本題，如果按照常規解方程“去分母”的步驟就會轉化成一個三次方程，學生已有的知識水平是解不出這個方程的.此時如果聯想到方程的左右兩邊分別是反比例函數y=1x和二次函數y=2x2+3的模型，

只需畫出兩個函數的草圖（如圖3），找出交點個數也就是方程的解的個數，這樣以“形”助“數”就會顯得非常簡單直觀.

例4 （2020＼5無錫）二次函數y＝ax2-3ax+3的圖象過點A（6，0），且與y軸交于點B，點M在該拋物線的對稱軸上，若△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點M的坐標為.

分析：由題意得拋物線對稱軸為直線x＝32（如圖4），設點M的坐標為32，m，需要分兩種情況進行分類討論.①當∠ABM＝90°，過點B作BD垂直對稱軸于點D，則∠OBA＝∠2，于是tan∠2＝tan∠OBA＝2，即DMBD＝2，則DM＝3，因此M32，6；

②當∠M′AB＝90°，設拋物線的對稱軸與x軸交于點N，則tan∠1＝M′NAN＝tan∠OBA＝2，求出M′N＝9，則M′32，-9.綜上，點M的坐標為32，6和32，-9.

本題考查二次函數的性質和函數圖象上點的坐標特征，涉及解直角三角形，有一定的綜合性.由于題目沒有給出函數圖象，需要通過分析題意求出二次函數的對稱軸畫出圖象，給解題增加了不小的難度.通過例4，學生要能對二次函數圖象有充分的認識，這樣能更輕松地解答出讓大多數學生頭疼的二次函數問題.所以說，數形結合能夠在數學學習中占據如此重要地位，就因為它絕對能夠幫助中學生鍛煉和提升數學思維和數學能力.

2.3 “后建構”動點專題課，用“形”化“數”

在實際教學過程中，學生一碰到“動點”就會非常頭疼，總覺得動點問題很難，云里霧里.其實，關鍵要抓住“數形結合”的本質，通過數學問題尋找數量關系，構建函數模型，利用數形結合，解決（最值）問題.

例5 （2020＼5蘇州）如圖5，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA＝8 cm.動點P從點A出發，以1 cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發，也以1 cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動.連接PQ，交OT于點B.經過O，P，Q三點作圓，交OT于點C，連接PC，QC.設運動時間為t s，其中0lt;tlt;8.（1）求OP＋OQ的值.（2）是否存在實數t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

分析：（1）由題意，得OP=8-t，OQ=t，0＜t＜8，則OP+OQ=8-t+t=8.

（2）過點B作BG⊥OP于點G，設BG=OG=x，則OB=2x，證△PBG∽△PQO，得到PGPO=BGQO，

即8-t-x8-t=xt，得到x=－18t2+t，則OB=2x=－28（t-4）2＋22，

故當t=4時，OB的最大值為22.

結合以上三類問題的解決，可歸納總結出利用數形結合解決問題的思維導圖（圖6）.

3 結語

綜上所述，專題復習課不是原有知識的簡單重復，而是更高層次上知識的整合［3］，初中數學離不開數與形，“后建構”專題復習課借助數形結合思想貫穿整個數學知識體系的始終，深入到數學的每一個角落.它通過借“形”解“數”、以“形”助“數”、用“形”化“數”，把刻畫數量關系的“數”和具體直觀的“形”有機結合起來，從而幫助學生形成一條“有形—想形—用形—畫形—造形—輔形”的思維鏈，因此，在“后建構”專題課中教師要時刻引導學生進行數與形的轉化與遷移.讓數形結合從方法變成一種思想，由思想成為一種能力［4］，而這種能力一旦被學生掌握，在他們面前就會呈現出一個精彩紛呈的數學世界.

參考文獻：

[1]薛鶯.初中數學后建構課堂教學的內涵、設計與原則[J].中學數學雜志，2022（2）：15-18.

[2]夏炳文.關于數形結合的一點思考[J].高中數學教與學，2016（13）：47-48.

[3]葉紅.積累數學活動經驗，提升學生核心素養——初中數學綜合實踐活動的探索[J].江蘇教育，2016（51）：70-71.

[4]沈文選.中學數學思想方法[M].長沙：湖南師范大學出版社，1999：184-187.