從教材“母題”談變式及思維拓展

摘要：“母題”即原型題，往往是試卷命題的基礎，因為將“母題”進行變式后就形成了一道新題.近些年來，“課本再現和實踐探究題”在中考試卷中出現的次數越來越多，無形中指引教師要朝著這一新的方向研究.本文中從圓的一道“母題”出發，談一談如何借助“母題”進行變式，從而達到拓展學生思維、訓練發散性思維的目的.

關鍵詞：“母題”；變式；思維拓展；發散性思維

在教學過程中，我們經常可以發現這樣的現象——試卷或練習中的題目可以在課本中找到原型，這個原型就是“母題”.“母題”對變式的設計及思維拓展等都有重要作用，不僅能強化學生的知識基礎，也能挖掘并發展學生的潛能，不斷幫助學生提高解決問題的能力.本文中以北師大版教材為例，談一談如何利用“母題”進行變式及思維拓展.

1 “母題”的重要作用

首先，“母題”體現了教材的基礎性.教材是教學的主要載體，通過解答練習題，學生既可以學習基礎知識，又能積累基本解題經驗[1].如果“母題”較難，不利于學生強化與鞏固基礎知識.所以，教材上的“母題”都比較基礎，學生的輻射面更廣.

其次，“母題”是命題或變式的基礎.在命制試卷時，往往會借助“母題”.例如，江西2021年和2023年的中考試卷中，都出現了“課本再現和實踐探究題”，這類題就是通過“母題”變式而來.所以，“母題”是命題或變式的基礎.

最后，“母題”體現了教學目標和數學素養.因為“母題”都經過了專家的精心挑選和設計，既能幫助教師強化課堂教學，又能讓學生通過解“母題”鞏固課堂所學，有助于形成和發展數學素養.

2 “母題”與變式間的關系

“母題”是變式的基礎，變式是“母題”的延申，這是對“母題”和變式之間的關系相對簡單的概括.這主要是因為變式往往需在“母題”的基礎上完成，而與變式相關的內容“母題”中可能不具備，是“母題”的補充或延申.例如，北師大版九年級下冊教材中第84頁有這樣一道“母題”：

如圖1，圓內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度數.

如果將條件“∠E=40°，∠F=60°”改變為“角平分線”或“垂直平分線”，那么這些新的條件就是“母題”的補充或延伸.

這種補充或延伸體現在三個方面：

（1）知識的補充

“母題”中并未出現角平分線或垂

直平分線，自然學生在解題時不會應用這兩個知識點.而一旦“母題”變式中出現這兩個條件，那么勢必會增加與這兩個條件有關的知識點.所以，變式是“母題”的知識的補充.

（2）技法的補充

在“母題”中，解題方法可能比較簡單，但變式中的解題方法可能更豐富、更靈活，是“母題”的一種技法的補充.

（3）數學思想的補充

“母題”中蘊含的數學思想，可能與變式中蘊含的數學思想不同，彼此形成互補，共同促進學生數學思想的全面形成與發展[2].這也是“母題”與變式間相輔相成的關系.

3 例展“母題”變式

既然“母題”和變式間存在如此重要的關系，同時“母題”對變式的設計及思維拓展發揮著重要作用，那么，如何進行“母題”變式呢？接下來，結合北師大版教材中第84頁的一道“母題”進行課堂例析.

“母題”呈現如上，先來看看其解法：

解：如圖2，連接EF.

∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形，

∴∠ECD=∠A.

∵∠1+∠2=∠ECD，

∴∠1+∠2=∠A.

∵∠1+∠2+∠A+∠AEB+∠AFD=180°，

∠AEB=40°，∠AFD=60°，

∴40°+60°+2∠A=180°.

∴∠A=40°.

從解題過程中可看到，本題主要應用了“圓內接四邊形的對角互補”“三角形的外角”“三角形的內角和”等知識點.

接下來，可按如下思路變式.

3.1 變式一：角平分線+證明線段相等

正如上文提到，將角的大小換成角平分線，就實現了變式，得到如下變式一：

如圖3所示，四邊形ABCD是圓內接四邊形，延長兩組對邊分別交于點E，F，∠AFB的平分線分別交AB，CD于點H，K.

求證：EH=EK.

分析題目不難發現，條件與“母題”類似，通過改變條件進行變式.接下來，看看變式一的證明過程.

證明：

∵FH為∠AFB的平分線，

∴∠AFH=∠BFH.

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴∠FCK=∠A.

∴∠AFH+∠A=∠BFH+∠FCK.

∴∠EHK=∠EKH.

∴EH=EK.

對比證明過程可發現，同樣利用了“圓內接四邊形的對角互補”“三角形的外角”等知識點，與“母題”有一定的類似.而且角平分線的出現對“母題”蘊含的知識點、解法等都進行了一定補充，是“母題”的拓展和延伸.

3.2 變式二：角平分線+證明垂直

既然引入角平分線后可證明兩條線段相等，那么是否可以證明兩條線段互相垂直呢？根據這樣的思路，可得到如下變式二：

如圖4，四邊形ABCD是圓內接四邊形，延長兩組對邊分別交于點E，F，∠AEB，∠AFD的角平分線交于點P.

求證：PE⊥PF.

本題首先在變式一的基礎將一個角的角平分線變成了兩個角的角平分線，從“母題”的求角度變為證明線段相等，再變為證明兩條線段互相垂直.這種變式，既發散了思維，又遷移了知識和能力.

其實，《義務教育數學新課程標準（2022年版）》中提倡“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經驗”，所以數學教學離不開例題、習題，如何選擇例題、習題并挖掘教材潛在的智能價值、充分展示教學功能就顯得尤為重要[3].

3.3 變式三：垂線+證明相似

在母題中，DF和AE的位置關系及BE與AB的位置關系皆未知.那么，此時可改變原題條件，得到如下變式三：

如圖1，圓內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E，F，且∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°.你能找到圖中的相似三角形嗎？若能，請選其中一對嘗試證明.

該變式是一道開放題，對培養學生的發散性思維非常有利.分析題意發現，由于∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，因此可得∠A=50°，∠F=40°.于是能得到△ABE∽△CDE∽△CBF.根據題意，學生只需選擇其中兩個三角形證明相似即可.

解：能，△ABE∽△CDE，理由如下.

∵∠ADF=∠ABC=90°，∠E=40°，

∴∠A=50°，∠DCE=50°.

∴△ABE∽△CDE.

本變式的條件及解題過程雖然都非常簡單，但作為一道基礎題照顧到了后進生，調動了后進生參與課堂教學的積極性.事實上，變式教學不應成為尖子生的專享，教師更應該照顧到全班學生.對于后進生，也應積極參與到變式教學中.

4 結束語

通過對“母題”不同角度、不同層次的變式，可以實現一題多變，從而讓更多知識點產生更深刻、更緊密的聯系.這樣一來，不僅學生加深了對知識的理解，而且使知識學習變得更系統化，更幫助學生克服了思維定勢，讓思維得到了發散.

參考文獻：

[1]曾凱.以舊“喚”新，品味軸對稱——一道教材母題的思考、變式及拓展應用[J].基礎教育論壇，2017（13）：50-51.

[2]程聰聰.小改變 大不同——談課本習題的漸變式探究[J].中小學數學（初中版），2014（5）：33-34.

[3]鄭有元.借“題”發揮 拓展思維——一組教材習題的變式與拓展探究[J].中學數學教學參考，2022（24）：41-42.