一般觀念下的幾何探究教學的實踐與思考

1 問題提出

勾股定理是初中數學的重要教學內容，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，但勾股定理的教學設計始終是一個難點.文獻[1]對該難點做了深刻的剖析：“如何讓學生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用割補法驗證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，探究還是接受，是教材和教學面臨的問題.”閱讀數遍，筆者受益匪淺.章建躍博士指出，一般觀念是對教學內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、性質指什么、怎樣研究等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論.一般觀念對學生學會用數學的方式觀察、思考、分析事物以及發現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用.針對“勾股定理”一課，筆者在一般觀念的指引下，圍繞教學難點，做了有益的教學實踐，下面通過具體教學設計談談自己的想法.

2 教學設計

活動1：創設情境，引入新知.

教學組織：同學們，關于三角形，你知道什么？（生：三角形的內角和等于180°，三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.）關于特殊的三角形“直角三角形”，你還知道什么？（生：直角三角形的兩個銳角互余.）這是直角三角形關于什么元素的性質？（生：角.）關于直角三角形，你還有什么猜想？（生：它的三邊應該也有特殊關系.）探索直角三角形三邊關系的一般路徑是什么？（生：先畫幾個特殊的直角三角形，度量三邊的長度，根據度量的結果大膽猜想，最后驗證并證明，獲得直角三角形三邊的定理.）你是怎么知道這個研究路徑的？（生：類比三角形內角和定理的研究路徑.）

教學說明：引導學生在一般觀念下，能自己提出研究對象及內容，類比三角形內角和定理的研究路徑，搭建探究直角三角形勾股定理的基本路徑，踐行先行組織者的作用.

活動2：畫一畫、量一量、想一想.

如圖1，畫Rt△ABC，使得a＝3 cm，b＝4 cm，測量出c的長度.

教學組織：學生利用直尺和刻度尺畫出符合要求的Rt△ABC，很快便報出c的長度（取整數）.教師追問“為什么你們測量出c的長度都是5 cm？”學生發現可用三角形全等的判定定理“SAS”說明大家所畫的三角形全等，因此c的長度也是唯一確定的.教師追問“此時直角三角形三邊的關系可以確定嗎？”學生提出至少三個以上特殊例子才可能發現規律，自然引入畫Rt△ABC，分別使得“a＝6 cm，b＝8 cm”和“a＝5 cm，b＝12 cm”，進而分別測量出c的長度.

教學說明：學生通過自己動手操作，逐步感受勾股定理的客觀存在性，但同時，由于畫圖工具的使用過程存在一定的誤差，必然激發學生的理性思考，為后面勾股定理的證明埋下伏筆，滲透科學精神.

畫了三個不同大小的Rt△ABC，并測量了它們的三條邊長，你有什么發現？

教學組織：有了前面的三組數據，學生很快發現直角三角形的三邊a，b與c滿足a2＋b2＝c2. 教師追問“如果a表示線段的長，那么a2可以表示什么？”引導學生與圖形的面積建立聯系，接著追問“那么a2＋b2＝c2可以怎樣理解？” 分別以直角三角形的兩條直角邊和斜邊為邊向外作正方形，得到“以兩直角邊為邊所作的兩個正方形的面積之和，等于以斜邊為邊所作的正方形的面積”.“我們的猜想一定成立嗎？為什么？”不一定，畫圖、度量會有誤差.“如何改進我們的操作？”學生提出利用網格畫圖.

教學說明：在學生根據現有數據獲得直角三角形的三邊關系的基礎上，引導學生從“式結構”自然聯想“形結構”的角度認識a2＋b2＝c2，為后面證明勾股定理提供了思維方法.同時在網格中，通過計算來驗證勾股定理，讓學生更進一步感受勾股定理.

活動3：在網格中，任意畫出格點直角三角形（三個頂點落在格點上），分別以它的三邊為邊長的三個正方形是否也有類似的面積關系？

教學組織：教師觀察并指導學生繪制一個任意的直角三角形，然后根據這個三角形繪制相應的正方形.教師將學生的繪圖展示在投影屏上，讓學生分享他們尋找面積關系的過程和方法.教師給予肯定的評價，其他學生則補充了不同計算正方形面積的方法.在學生回答的基礎上，總結出了一種面積計算方法，即 “割補法”.這種方法是將不在網格線上的正方形通過其頂點分別劃分成四個小的直角三角形和一個小正方形，

或者通過其頂點分別劃分成橫向和縱向的線段，將其補成一個大的正方形，如圖2所示.原正方形的面積等于這個大正方形的面積減去四個小直角三角形的面積.

師生互動：

追問1：如何計算以斜邊c為邊的正方形的面積？你有哪些方法？

追問2：由方格紙來驗證我們的發現，這種方法可以說明結論一定成立嗎？ 為什么？接下來怎么辦？

教學說明：學生通過在網格中畫出格點直角三角形及相應的正方形，并計算正方形的面積，進一步感受勾股定理，明白僅僅依靠有限的實例來推斷出一般的結論是不嚴謹的.教師引導學生進行更多的實例驗證，為得出一般性結論提供充分的支持.同時，用“割補法”求以斜邊為邊的正方形的面積，為勾股定理的證明提供了思路，使數學的發現更具“必然性”.

活動4：在“幾何畫板”中驗證勾股定理.

師生互動：筆者通過“幾何畫板”演示，拖動鼠標不斷改變直角三角形的形狀，進而改變直角三角形三條邊長的數據，但它的三條邊長的數據總是滿足勾股定理；再次拖動鼠標將其變成一般三角形，發現此時它的三條邊長的數據不滿足勾股定理，感受勾股定理存在的條件.

教學說明：相較于格點直角三角形，在“幾何畫板”中拖動直角三角形的演示，讓學生對勾股定理的認識更具有一般性，并從“數”的角度驗證了勾股定理；從直角三角形到一般三角形的變化中，感受由“形”到“數”的過程，進一步認識勾股定理.

活動5：如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b.求證：AB2＝a2＋b2.

師生互動：教師提出問題，并引導學生證明勾股定理.若學生有困難，教師可引導“要表示AB2，也就是要表示什么？” “前面，我們是如何求不在網格線上的正方形的面積的？”最后展示學生的證明過程.如圖4，AB2＝S正方形CFGH－4×ab×12＝（a＋b）2－2ab＝a2＋b2; 如圖5， AB2＝S正方形FGHK＋4×ab×12＝（a－b）2＋2ab＝a2＋b2.同時，介紹“勾股定理”的相關歷史文化.

教學說明：讓學生根據“AB2， a2，b2”這些“式結構”，想到“邊長分別為AB， a，b的正方形的面積” 這個“形結構”，從而自然想到用“割補法”計算邊長為AB的正方形的面積，獲得證明方法.整個探究過程中，學生能夠體會“從特殊到一般”研究問題的方法，領悟化難為易的“數形結合”及“類比”的思想.

活動6：知識應用，解決問題.

（1）在直角三角形中，兩直角邊分別是15 cm，20 cm，則第三條邊長；

（2）在直角三角形中，兩邊分別是15 cm，20 cm，則第三條邊長是.

教學組織：學生先獨立完成，再展示思考過程.師生共同總結應用勾股定理的關鍵點，加深對勾股定理的認識.

教學說明：上述問題沒有給出圖形，目的是讓學生樹立畫圖意識，培養畫圖分析習慣.同時借助對比（1）（2）兩問中已知條件的差異，感受問題（2）分類討論的必要性，明確分析此問題的方法，達到應用知識的目的.

活動7：整體架構，理清思路.

教學組織：教師提問學生，這節課我們學習了什么內容？我們是如何得到勾股定理的？教師通過不斷追問，引導學生總結，同時板書框架圖（圖6），并進行說明.

教學說明：以框架圖的形式呈現總結內容，更直觀地引導學生回顧知識的探究過程，積累活動經驗，感受知識的另一條“育人線”.

3 教學思考

3.1 一般觀念下，建構有效的研究思路和方法

章建躍博士提出，教師在教學中引導學生主動建構探究思路和方法，“給學生一個數學框架”，可以幫助學生形成知識的結構化和整體性.教學中，筆者通過“關于三角形，你知道什么？關于特殊的三角形——直角三角形，你還知道什么？這是直角三角形關于什么元素的性質？你還有什么猜想？探索直角三角形三邊關系的一般路徑是什么？你是怎么知道這個研究路徑的？”等問題鏈幫助學生主動建構探究路徑，學生才能“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.積累數學活動經驗，是提升數學素養的重要標志.

3.2 一般觀念下，提高思維的系統性和結構性

數學教學的根本任務是發展學生的思維能力，說到底就是要使學生在面對問題時總能想到辦法.針對“勾股定理”一課，先從幾個特殊的直角三角形獲得勾股定理的猜想，然后分別從“形”（網格中的直角三角形）和“數”（幾何畫板中的直角三角形）的角度驗證勾股定理，讓學生進一步感受“證明是排除懷疑的必由之路”.最后，在一般直角三角形中證明了勾股定理.在一般觀念的指引下，學生在經歷“實驗-猜想-驗證-證明”的過程中，不斷建構有效的探究活動，提高思維的系統性和結構性，學生的理性精神得以發展.

3.3 一般觀念下，使數學的發現更具“必然性”

如何讓學生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用割補法驗證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，這是本節課的重點，也是難點.筆者通過設問“如果a表示線段的長，那么a2可以表示什么？那么a2＋b2＝c2可以怎樣理解？”引導學生從“式結構”聯想“形結構”，自然想到用面積的方法探索勾股定理；再通過設問“我們的猜想一定成立嗎？如何改進我們的操作？”引導學生經歷在網格中畫出格點直角三角形及相應的正方形，并計算正方形的面積，同時，用“割補法”求以斜邊為邊的正方形的面積，為勾股定理的證明提供了思路；最后在證明勾股定理時，設問“要表示AB2，也就是要表示什么？前面，我們是如何求不在網格線上的正方形的面積的？”前后一致、自然連貫，使數學的發展和發現更具“必然性”.

參考文獻：

[1]顧繼玲.探究還是接受——從“勾股定理”的教學設計說起[J].數學通報，2020（1）：14-18.