初中生數學運算能力培養探究

摘要：文章立足新課標對數學運算能力提出的要求，從深度學習的角度剖析初中生數學運算能力現狀及問題歸因，構建初中數學“數與代數”運算學習策略，為“減負增效”背景下數學核心素養的落實提供新思路.

關鍵詞：運算能力；深度學習；算理探究；運算方法優化

1 研究背景

2022年4月，教育部印發了《義務教育階段數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”），并于2022年秋季學期開始執行.2022版課標明確提出將運算能力作為數學核心素養之一，并將其界定為“根據法則和運算律進行正確運算的能力”.對學生運算能力的要求不只局限于正確運算，還要求學生能理解算法與算理之間的關系，能選擇合理簡潔的運算策略解決問題，進而促進數學推理能力的發展.

2 現狀分析

2.1 現狀分析

筆者與課題組成員調研時發現，在數學運算教學的過程中，教師的教和學生的學僅停留在淺層層面，過度側重運算的重復性機械性練習，而對運算算理、運算方法的探究不夠重視.

本次調研的學生涵蓋本校6～9年級近四千名學生，通過對學生的卷面錯誤進行歸因分析、二次過關和針對性調查談訪，將學生運算能力現狀歸納為五個層面（圖1）.調查表明，學生運算能力整體表現較為薄弱，大多數問題了解和掌握程度不足60%，隨著年齡的增長和所學知識的增加，學生運算能力整體有所提升，但在運算轉化和運算方法辨析上存在不同程度的減退.

2.2 運算問題歸因分析

以深度學習為導向，結合對學生運算能力的現狀分析，將學生運算問題歸因為以下三個方面.

一是對算理探究的忽視.數學運算課可分為運算概念課、運算法則課、運算運用課，不論是概念的歸納還是法則的概括亦或是思想方法的滲透都具有一定的抽象性，所以傳統的灌輸式、填鴨式的教學模式逐漸被一線教師拋棄.但在運算課教學中，仍有不少教師以鞏固練習為主而忽視算理的探究，給學生造成“知其然而不知其所以然”的困惑，在評價學生學習時更是單純以運算結果是否正確為導向，忽略學生運算能力的發展.

二是缺乏正向遷移.在進行運算錯因分析時，發現學生因基礎知識不扎實、運算順序不規范導致運算錯誤的情況占比最大，而這種現象的指向根本在于沒有達到前后知識的關聯和遷移運用.以有理數運算為例，有理數是初中階段第一次對數系的擴充，運算中也增加了乘方、絕對值等新運算，若不能在非負有理數運算的基礎上正向遷移運算法則，會導致在運算過程中頻頻出現運算錯誤.

例1 計算：－14－－18×（－4）.

分析：學生在運算順序上誤將減法在乘法之前計算，即誤認為是18×（－4）.錯誤的運算順序導致不正確的計算結果，實質是在數系擴充后，學生沒有對基礎運算法則達到有效的遷移與運用.

三是運算方法未能優化.除了運算結果的正確性，運算方法的選擇也是衡量學生運算能力的重要標準，更是運算簡捷性的外顯.很多學生即便在運算中得到了正確的結果，但卻未能實現運算方法的優化，甚至將簡單問題復雜化，無法達到靈活運用的目的.

例2 直線y=－x+4與直線y=2x+1相交于點A（1，3），則關于x，y的方程組x+y=4，2x－y=－1的解是.

分析：由兩條直線的交點坐標可直接得到對應的二元一次方程組的解，而不必再解方程組.

中考對運算簡捷性的考查，主要體現在運算過程中對法則的透徹理解、公式的恰當選擇以及數學思想方法的合理使用等方面，尤其是合理使用數學思想方法，能夠極大地簡化運算，提高速度.

3 學習策略

3.1 重視算理探究，關注運算過程

算理是運算的理論依據，由數學概念、運算定律、運算性質等構成，它是一種客觀存在的規律，能夠為運算提供正確的思維方式，以保證運算的合理性和正確性.學生只有理解算理，才能掌握運算方法，進而運用運算法則進行運算.

例如，在進行整式的加減運算時，學生如果要能夠正確運算，不僅要對單項式、多項式、整式、同類項等概念有一定的掌握，更要明確去括號、合并同類項等運算的依據.只有這樣，學生才能理解去括號時符號的變化規律，體會從數到式的過渡，實現運算能力的提高.

例3 計算：－10－2（m2－1）－323+m2.

分析：在此算式中存在加減、乘除與乘方、去括號不同等級的運算，因此確定運算順序是首要任務.按照運算法則逐步運算，一是運用乘法分配律去括號，尤其關注單項式與多項式相乘時，多項式的每一項都要與單項式相乘；二是去括號后計算乘方和單項式乘單項式；三是合并同類項.

誤區：－10－2（m2－1）－323+m2

=1－2m2－1－2+3m2

=m2－2.

3.2 定制專項練習，夯實通性通法

通性通法即解決一類數學問題的本源性質和方法，是指具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學思想方法，在數學知識中通常有較強的輻射性.例如，數式運算的通性是運算律，方程的通性是等式的基本性質，不等式的通性是不等式的基本性質，函數的通性是函數關系式的變形與映射.代數問題的通法有變形、代換、分類討論、建模等常用方法，同類問題中應用的數學方法雖不唯一，但通常可以實現方法的類比遷移，因此制定專項練習能幫助學生對解決問題的通性通法有更透徹的理解.

以“解分式方程”為例，數學通性是等式的基本性質，數學通法是將分式方程轉化為整式方程后求解并代值檢驗整式方程的解是否是分式方程的解.專項練習設計應包含解分式方程時有解和有增根兩種情況，幫助學生鞏固解分式方程的通法，提高解方程的正確率.

3.3 一題多解多變，優化運算方法

數學運算中的大多數運算題是有固定的運算法則的，但也有部分問題在解決時存在多種方法.如何實現運算方法優化？這需要教師在教學中結合教材內容，從新知與舊知、本類與他類、縱向與橫向等方面對學生進行引導，也需要學生在日常學習中有意進行一題多解、一題多變等發散思維的練習，厘清知識之間的聯系，形成知識結構，達到深度學習.

初中階段數形結合、函數與方程、分類討論、化歸與轉化等數學思想方法在簡化運算中都有重要的作用.優化運算方法，靈活運用運算律是提升學生運算能力的分水嶺.

以二元一次方程組求參數范圍為例，其本質是消元的思想，可以使用代入消元法，也可以運用加減消元法，結合條件求參數范圍.不同的解題方法既能揭示數與形的聯系，又能溝通幾類方法，拓展學生的思維，實現運算方法的優化和數學思維的提升.

例4 已知關于x，y的二元一次方程組x－2y=k，2x－3y=－k的解滿足xlt;y，求k的取值范圍.

解法1：由x－2y=k，2x－3y=－k，利用代入消元法解得x=－5k，y=－3k.因為xlt;y，所以－5klt;－3k，解得kgt;0.

解法2：由xlt;y可得x－ylt;0，那么對于方程組

x－2y=k，2x－3y=－k，①②

②-①，可得x－y=－2k.

因為x－ylt;0，所以－2klt;0，解得kgt;0.

數學運算能力是初中數學學習的重要基礎，師生都應對運算能力的培養給予足夠的重視.在數與代數的學習中，通過算理探究、專項練習、一題多解等策略，引導學生經歷分類、聚類、辨析、比較、抽象、概括等深度學習的過程，逐步增強運算能力，發展數學思維.