“畫板”實驗 思維可視化

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）指出：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu).”幾何畫板作為一種常用的教學(xué)可視化工具，具有強大的演示功能，借助幾何畫板開展教學(xué)實驗活動，可以創(chuàng)設(shè)真實情境、模擬運動過程、形成幾何直觀，實現(xiàn)靜態(tài)問題動態(tài)化、抽象問題直觀化、隱性問題可視化；尤其是幾何畫板的動畫追蹤功能，可以呈現(xiàn)運動軌跡，給學(xué)生思考問題、分析和解決問題提供了真實場景，有利于把復(fù)雜的問題變得簡單、生動、形象.本文中以蘇科版九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”單元教學(xué)中的幾節(jié)常態(tài)課教學(xué)片段為例，探討幾何畫板的可視化教學(xué)價值，以期與同行交流.

2 基于教材處理的著力點引導(dǎo)

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，尤其是在處理教材的關(guān)鍵點、疑難點和模糊點時，如何正確引導(dǎo)學(xué)生認真觀察、深度思考、樂于探究，讓學(xué)生直觀形象地感受圖形的變化，并掌握一些較為抽象或難以理解的概念，從而突破問題瓶頸，是教材處理的核心，更是一堂課成功與否的關(guān)鍵.

2.1 通過旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)同圓或等圓中圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

旋轉(zhuǎn)是探究幾何問題的重要方法，利用幾何畫板輔助教學(xué)，實現(xiàn)動態(tài)引領(lǐng)，化靜為動，將抽象問題直觀化，不僅有利于理解圓是中心對稱圖形，更有利于探討同圓（或等圓）中的弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.

課前準(zhǔn)備：利用幾何畫板畫一個⊙O，在⊙O中畫兩個相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′，連接線段AB，A′B′，將△A′OB′和AB添加紅色，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)運動按鈕（如圖1）.

畫板操作：展示畫板界面，將紅色部分進行順時針旋轉(zhuǎn)，使得OA與OA′重合（如圖2）.

觀察思考：

（1）通過上述旋轉(zhuǎn)實驗，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）找一找，圖中還有哪些等量關(guān)系？請互相交流，說說自己的理由.

（3）如果在兩個等圓中，以上的等量關(guān)系還成立嗎？為什么？

教學(xué)分析：通過幾何畫板旋轉(zhuǎn)實驗，實現(xiàn)了由“聽”知識到“做”運動的轉(zhuǎn)變，通過化靜為動、動靜融合，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)在同圓或等圓中，相等的圓心角、弧、弦之間的等量關(guān)系；通過思考分析，合作交流，容易找到為什么.這不僅有利于學(xué)生對概念和性質(zhì)的進一步理解，也讓思維過程清晰可見，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的重要方法.

2.2 通過翻折，發(fā)現(xiàn)圓中垂直于弦的直徑與對應(yīng)的弦、弧之間的關(guān)系

翻折是圖形變換的基本方式之一.通過圖形的翻折，往往可以找到解決問題的新路徑；利用幾何畫板輔助手工實驗，進行直觀演示，更有利于實現(xiàn)知識與思維的對接，培養(yǎng)學(xué)生動手“做”、用眼“看”和動腦思考的本領(lǐng)，有利于學(xué)生清晰、直觀、積極地學(xué)好數(shù)學(xué).

課前準(zhǔn)備：利用畫板畫⊙O和⊙O的直徑AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足為P（如圖3），并以AB為對稱軸，設(shè)計好翻折按鈕、還原按鈕和翻折路徑.

畫板操作：展示畫板界面（如圖3），點擊翻折按鈕，使直徑AB的右邊部分沿著對稱軸進行翻折（如圖4），再點擊還原按鈕，讓圖形恢復(fù)原狀.

觀察思考：

（1）在圖3中，哪些線段是相等的？哪些弧是相等的？

（2）請你用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)，并證明你的發(fā)現(xiàn).

教學(xué)分析：通過圖形的翻折，一方面實現(xiàn)了幾何的直觀性，有利于將隱性思維顯性化，在操作中發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生觀察與比較、分析與研討問題的本領(lǐng)；另一方面，畫板演示的動態(tài)效果，增強了課堂對美的創(chuàng)造，培養(yǎng)了學(xué)生的審美意識.

2.3 通過平移，發(fā)現(xiàn)圓與直線、圓與點、圓與圓之間的位置關(guān)系

康德說過：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的.”讓數(shù)學(xué)研究過程直觀呈現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)比較理想的境界.用幾何畫板模擬平移活動，實驗過程清晰明了、實驗步驟簡潔適用、實驗效果全面美觀，是突破難點的很好路徑.

課前準(zhǔn)備：利用畫板畫⊙O和直線AB（如圖5），根據(jù)模擬平移的需要，設(shè)計好直線AB自下而上的運動路徑，在動畫中添加平移、暫停、還原按鈕.

畫板操作：展示畫板界面（如圖5），點擊平移按鈕，

使直線AB緩慢向上運動，在運動過程中將會出現(xiàn)上、下相切時的兩次停頓，點擊還原按鈕，讓圖形恢復(fù)原狀，多次重復(fù)以上操作.

觀察思考：

（1）在運動過程中，直線AB與圓的位置關(guān)系會發(fā)生怎樣的變化？

（2）如何用數(shù)量關(guān)系來描述以上變化情況？

（3）如果直線不動，讓圓上下移動，以上對應(yīng)關(guān)系是否會發(fā)生變化？

教學(xué)分析：通過幾何畫板演示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、合作交流的能力，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系，理解圓心與直線的距離是直線與圓位置變化關(guān)系的關(guān)鍵因素.當(dāng)然，我們可以一以貫之地探究點與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系.

2.4 通過度量，發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓心角、圓周角的數(shù)量關(guān)系

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想，數(shù)學(xué)研究要經(jīng)歷數(shù)據(jù)、圖形和符號表達才能發(fā)揮出強大的價值.

課前準(zhǔn)備：在畫板中畫⊙O，構(gòu)造圓心角∠AOB和圓周角∠APB，分別度量∠AOB和∠APB.根據(jù)研究需要，通過操作按鈕中的動畫功能，將點P設(shè)計為運動點（如圖6）.

畫板操作：

展示畫板界面，點擊運動按鈕，使點P在圓周上運動，容易發(fā)現(xiàn)∠AOB與∠APB大小關(guān)系始終不變；移動點A，改變∠AOB的度數(shù)，再點擊運動按鈕，再讓點P在圓弧上運動.

觀察思考：

（1）在點P運動的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？請用數(shù)量關(guān)系來描述你的發(fā)現(xiàn).

（2）請同學(xué)們自己在紙上畫一個圓，并在所畫的圓中畫一個圓心角和其對應(yīng)的圓周角，用量角器驗證一下你的猜想，說說它們的數(shù)量關(guān)系成立的理由.

（3）請思考AB的度數(shù)與圓周角∠APB有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

教學(xué)分析：基于幾何畫板的動態(tài)演示，從數(shù)形結(jié)合入手，通過度量同弧所對的圓心角與圓周角的度數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察與猜想能力；讓學(xué)生動手實驗和動腦思考，實現(xiàn)在“做中學(xué)”，有利于學(xué)生對問題進行進一步的思考與分析.

3 結(jié)語

幾何畫板作為功能強大的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，是數(shù)學(xué)教學(xué)與研題的重要工具，它具有操作留痕、化靜為動、探源溯流的功效，是實現(xiàn)思維可視化的有效載體.在“對稱圖形——圓”的單元教學(xué)中，利用幾何畫板開展數(shù)學(xué)實驗，可以直觀生動地引導(dǎo)教學(xué)，給學(xué)生一種看得見思維生長的教學(xué)過程，有利于突破數(shù)學(xué)“難以意會，無法言傳”的障礙，久而久之，可以提高學(xué)生的直觀思維能力、深度學(xué)習(xí)的本領(lǐng)和解決問題的智慧.因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，合理地運用幾何畫板開展實驗，是數(shù)學(xué)教師提高教學(xué)質(zhì)量、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識的有效途徑，是驗證學(xué)生思維正誤的得力助手，更是目前落實數(shù)學(xué)學(xué)科“雙減”目標(biāo)的可靠手段.