基本圖形深探究 一題一課漸次開

摘要：從學生的一道易錯題談起，找出學生的易錯點、盲點和容易疏忽的細節，達到誤中悟！一題一課式是基于教師對教學內容的深入分析和解讀，對重點問題或圖形進行一般化、特殊化的重組與整合，轉換成符合學生實際的教學內容，形成對課程內容的整體把握和結構化處理，有利于提升課堂教學效率，引領學生深度學習，推動數學知識的結構化.

關鍵詞：一題一課；誤中悟；轉化倍角；中學數學

1 引言

面對學生在數學課堂上出現的錯誤，教師若能恰到好處地發揮教學機智，及時捕捉學生生成的錯誤，以獨特的視角去發現錯誤的價值，就能獲得錯誤資源.傳統復習方式習慣于知識梳理、例題講評、鞏固訓練式的流程，導致課堂存在“大容量、小問題，淺思考”的現象，學生對數學問題淺嘗輒止［1］.為此，筆者通過“一題一課”對問題不斷分析、不斷聯系、不斷深入，引發學生思考，激發學生討論，提供更多的機會讓學生發現和提出問題、分析和解決問題，培養學生整體性、系統性、綜合性的思維方式，從而讓深度學習真正發生.真正落實“雙減”！下面以一道學生易錯的轉化倍角的題目為例探討一題一課式的教學設計.

2 內容解析

如果題目中出現了一個角是另一個角的2倍（這是八年級下冊中常見的一種題型），那么該如何入手？

例 如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，BC=2AC，求證：∠A=90°.

很多學生甚至有些資料上給出的證法是這樣的：

證明：如圖2，在CB上截取CD=AC，連接AD.

因為BC=2AC，所以BD=CD=AC.

所以∠CAD=∠ADC，∠BAD=∠B.

因為∠ADC=∠BAD+∠B，

所以∠ADC=2∠B.

因為∠ACB=2∠B，所以∠ACB=∠ADC.

所以∠ACB=∠CAD.

因為∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°，

所以2（∠BAD+∠CAD）=180°.

所以∠BAD+∠CAD=90°.

故∠BAC=90°.

顯然BD=CD=AC，并無法推出∠BAD=∠B.此解法錯誤.那么，如何引導學生“以誤頓悟”？

核心關鍵是如何轉化這個倍角？這種證法的意圖是證明∠BAD=∠B，能否有所改進？題中給出的條件是∠ACB=2∠B，只需要讓∠ADC=∠C，即AD=AC.現做如下修改：

思考1：通過畫弧構造等腰三角形.

如圖3，已知條件：∠ACB=2∠B.

以點A為圓心，AC為半徑作弧，交BC于點D，則△ADC為等腰三角形.因為∠ADC=∠ACB=2∠B，所以∠BAD=∠B，即△ABD也為等腰三角形.

不少學生猜測∠B=30°，能否證明呢？

證法1：

以點A為圓心，AC為半徑作弧，交BC于點D，則AD=AC，所以∠C=∠ADC.

又∠ACB=2∠B，于是∠ADC=2∠B=∠B+∠BAD，則∠B=∠BAD，所以BD=AD=AC.

因為BC=BD+DC=2AC，所以DC=AC.

所以△ADC為等邊三角形.

所以∠C=60°，∠B=30°，故∠BAC=90°.

當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，就可以通過畫弧得等腰三角形，從而轉化倍角.

思考2：通過平分角構造等腰三角形.

如圖4，已知條件：∠ACB=2∠B.可作CD平分∠ACB，則△DBC是等腰三角形.

證法2：如圖5所示，作CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE⊥BC于點E.

因為∠ACB=2∠B，所以∠B=∠BCD.

所以△DBC是等腰三角形.

又DE⊥BC，所以BE=CE.

又BC=2AC，

所以AC=EC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

思考3：通過線段的垂直平分線構造等腰三角形.

由于垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因此產生等腰三角形.

如圖6，已知條件：∠ACB=2∠B.可作邊BC的垂直平分線DE，則△DBC是等腰三角形.

證法3：如圖6所示，作邊BC的垂直平分線交BC于點E，交AB于點D，連接CD.

因為DE垂直平分線段BC，所以BD=CD，∠B=∠BCD.

因為∠ACB=2∠B，所以∠BCD=∠ACD.

因為BC=2AC，所以CE=AC.

所以△ACD≌△ECD.

故∠A=∠DEC=90°.

證法4：當然也可以作AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E，連AD，如圖7，則△ADB是等腰三角形，所以∠C=∠ADC.

證明同方法1，就不贅述了.

思考4：通過外角構造等腰三角形.

在等腰三角形中頂角的外角等于其底角的兩倍，如圖8，若∠ACB=2∠B，所以如果延長BC至點D，使CD=AC，連接AD，則△ADC是等腰三角形.

證法5：可以延長BC至點D，使得CD=AC，連接AD.

易證∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D.

又∠ACB=2∠B，所以∠B=∠D.

所以AB=ＡD.

取BC的中點E，連接ＡE，如圖8.

所以BC=2BE=2EC.

又因為BC=2AC，所以BE=EC=AC.

所以BE=EC=AC＝CD.

所以∠EAD=90°，

△ABC≌△ADE.

故∠BAC=∠EAD=90°.

思考5：如圖9，若2∠B=∠ACB，有學生提出，在△ABC外作∠ABD=∠ABC，交CA的延長線于點D，則△DBC是等腰三角形.

那么，此題這種方法行不行得通？學生經歷了各種嘗試，都證不出來，根本原因是無法證明AC＝AD或BD＝CD.但通過不斷的嘗試，學生將知識點理解得更為透徹！

錯誤不是無情物，化作資源更護“花”.因為有錯，所以有點撥、引導和解惑；因為有錯，所以有反思、反省和修正；因為有錯，所以有研究、創新和超越.作為中學數學教師，我們要善于從學生的錯題中挖掘出寶藏，引導學生“以誤頓悟”［2］.

3 總結回顧

借助基本圖形采用一題一課的形式進行深入探究，簡潔高效，節省了讀題與審題的時間，減輕了學生課堂學習負擔，避免了題海戰術，不僅在探究、總結中鍛煉了學生的思維能力、發展智育，有利于減負增效，還提高了學生學習興趣；雖為一題多解，但本質核心都離不開構造等腰三角形.學而思，思而樂.由樂學到會學再到好學、由被動學習到主動學習，實現輕松愉悅的高效學習.同時，探究過程兼顧不同學生的學習需求，使得不同的學生在一節課中可以得到不同的收獲.對于一題一課的設計，首先要選取一個好的母題，其來源可以是教材中的例題與習題，也可以是從中提煉出的基本圖形.

課堂教學是一個動態生成的過程，學生的學習錯誤具有不可預見性，而這樣的錯誤又往往是學生思維的真實反映，蘊含著寶貴的亮點，讓學生充分展示思維過程，探求其產生錯誤的內在因素，則能有針對性地展開教學，有利于學生的自主建構［3］.因此，課堂教學過程是獲得生成性錯誤資源的肥沃土壤.

基本圖形深探究，一題一課漸次開.這不僅使學生的數學學習能力得到提高，而且會對學生將來的工作、生活產生積極影響，會受益終生.可謂，錯亦有情，誤中悟道！

參考文獻：

[1]洪順慶，程龍軍.深入探究基本圖形 漸次展開一題一課——以“相似三角形的判定”單元復習課為例[J].中學數學，2022（20）：52-54.

[2]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實驗探索[J].中國數學教育，2019（21）：43-48.

[3]張徐生.錯誤不是無情物——數學解題中的錯誤辨析與歸因分析[J].中學數學教學參考，2014（10）：39-42.