追本溯源，HPM視角下的科學(xué)記數(shù)法教學(xué)

摘要：數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文中以人教版七上“1.5.2科學(xué)記數(shù)法”教學(xué)為例，搜集歷史、文化素材，讓學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)追求簡潔的一慣性以及概念產(chǎn)生的必然性與合理性.

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)文化；科學(xué)記數(shù)法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對數(shù)學(xué)做了進(jìn)一步描述：數(shù)學(xué)是工具，是語言，同時承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，數(shù)學(xué)直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展.龐加萊說：“若欲預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀.”數(shù)學(xué)史具有回望與前瞻并存的特點(diǎn)，因而推動數(shù)學(xué)及其教育的發(fā)展.

“科學(xué)記數(shù)法”內(nèi)容在人教版、北師大版、蘇教版、冀教版、浙教版中位于七上“有理數(shù)”章節(jié)，雖然各教材給出的生活情境有所不同，但都是從如何簡便表示較大數(shù)出發(fā)開始概念學(xué)習(xí)，都沒有涉及科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)歷史，內(nèi)容呈現(xiàn)也未采用歷史的視角.在教學(xué)實(shí)踐中，這個知識點(diǎn)對于中考題而言相對容易，屬于易得分題.但是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生的情感需求，此節(jié)課知識點(diǎn)簡單，更利于數(shù)學(xué)史的滲透.數(shù)學(xué)史有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)；可以揭示數(shù)學(xué)作為人類文化活動的本質(zhì)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)背后的人文精神.

1 記數(shù)法的歷史

《周易·系辭》中記載“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契”，標(biāo)志著記數(shù)法由“結(jié)繩”發(fā)展到“書契”.隨著“書契”記數(shù)方法的逐漸推廣，各個國家和民族用不同的符號來表示數(shù)——數(shù)碼記數(shù)，如古巴比倫的楔形文字、埃及的象形文字和中國的籌碼數(shù)字等.數(shù)碼記數(shù)是通向文字記數(shù)的重要橋梁，隨著文字的不斷創(chuàng)造，記數(shù)走向文字化，中國的一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，這簡潔的十個數(shù)字為“十進(jìn)位值制”的產(chǎn)生奠定了文字基礎(chǔ).現(xiàn)在國際上通用的阿拉伯?dāng)?shù)字“0，1，2，3，……，9”是印度人對數(shù)學(xué)乃至整個人類文化發(fā)展的重要貢獻(xiàn).

人類在生產(chǎn)生活中遇到越來越大的數(shù)，無窮的數(shù)字要是沒有一種簡單的方法來表示，而是用獨(dú)立的名稱和記號，那在表達(dá)數(shù)量關(guān)系時所出現(xiàn)的困難是很難設(shè)想的.實(shí)際的需要促使了進(jìn)位制的產(chǎn)生.歷史上較為典型的進(jìn)位制主要有二進(jìn)位制、五進(jìn)位制、十進(jìn)位制、十二進(jìn)位制和六十進(jìn)位制，這些進(jìn)位制的產(chǎn)生與人類的天然記數(shù)工具——手，密不可分.

生產(chǎn)力的發(fā)展導(dǎo)致國家雛形的產(chǎn)生，生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大則刺激了人們對大數(shù)的需要，如“十”“百”“千”“萬”這些符號.在我國商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文，以后又出現(xiàn)了“億”“兆”這樣的大數(shù)單位.而在古羅馬，最大的記數(shù)單位只有“千”.他們用M表示一千，“三千”則寫成“MMM”，“一萬”就得寫成“MMMMMMMMMM”.在古印度，使用了一系列大數(shù)單位后，最后最大的數(shù)的單位叫做“恒河沙”.古希臘偉大的學(xué)者阿基米德，在他的文章《計(jì)沙法》提出的記數(shù)方法，同現(xiàn)代數(shù)學(xué)中表示大數(shù)的方法很類似，從古希臘的最大數(shù)字單位“萬”開始，引進(jìn)新數(shù)“萬萬（億）”作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的1億倍.印度數(shù)學(xué)家將這個估算值用一種簡潔的記數(shù)法表示了出來，并很快在天文、地理、物理、化學(xué)、氣象、宇航、經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)等近代科學(xué)技術(shù)中加以使用.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 預(yù)習(xí)任務(wù)

通過查閱資料了解古代人們都有哪些記數(shù)方法？中國古人又有哪些記數(shù)方法？

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)了解，記數(shù)法的歷史學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過，但是較為零散，大多學(xué)生只知道一些具體的實(shí)例.在核心素養(yǎng)的要求下，學(xué)生應(yīng)該具備通過書籍、網(wǎng)絡(luò)獲取信息的關(guān)鍵能力，可以較為系統(tǒng)地了解記數(shù)法，尤其是中國古代記數(shù)法的發(fā)展史，樹立民族自豪感，又可以提高課堂效率，解決數(shù)學(xué)史的引入占用過多課堂時間的矛盾.

2.2 自主學(xué)習(xí)

回顧有理數(shù)的乘方，計(jì)算：

101=，102=，103=，104=，105=，1010=，…….

問題 通過上面的計(jì)算，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：在乘方運(yùn)算中，感悟到10的n次方的簡潔書寫，可以得到很大的計(jì)算結(jié)果.從具體到一般歸納出10的指數(shù)與結(jié)果之間的關(guān)系，為大數(shù)簡潔的書寫作鋪墊.

2.3 情境引入

觀看視頻：數(shù)學(xué)大事——阿基米德數(shù)沙子的故事.

同學(xué)們，經(jīng)過幾年的堅(jiān)持探索，阿基米德終于計(jì)算出了宇宙中的沙子數(shù)量，但是遇到了和費(fèi)馬一樣的問題，黑板有點(diǎn)小，我寫不下來了.

問題1 數(shù)學(xué)是一門追求簡潔的學(xué)科，100個2相加我們寫成……，100個2相乘我們可以寫成……，那么1后面63個0可如何簡潔書寫？

設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)學(xué)家的故事滲透數(shù)學(xué)文化，了解科學(xué)記數(shù)法產(chǎn)生的必要性，激發(fā)求知欲.

2.4 課堂探究

問題2 “簡約之美是大多數(shù)人喜歡數(shù)學(xué)的原動力”，請嘗試將567 000 000進(jìn)行簡寫.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)家的角度思考，體會科學(xué)記數(shù)法產(chǎn)生的過程，在不同的表示中感悟數(shù)學(xué)定義人為規(guī)定的必要性.

問題3 這是一種新的記數(shù)方法，因?yàn)樵谔煳摹⒌乩?、物理、化學(xué)、氣象、宇航、經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)等近代科學(xué)技術(shù)中使用十分方便，故稱科學(xué)記數(shù)法.請嘗試給科學(xué)記數(shù)法下個定義.

設(shè)計(jì)意圖：站在制定規(guī)則高地，樹立“我也可以”的自信心，通過自己的語言與課本定義之間的比較，更深刻感悟到數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、簡潔性.

2.5 課堂練習(xí)

題1 用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

1 000 000， 57 000 000， -123 000 000 000.

歸納：用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示一個n位整數(shù)時，10的指數(shù)是.

針對練習(xí)：

（1）用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

10 000=；""" 800 000=；

56 000 000=；-7 400 000=；

-3.39萬=；123億=.

（2）今年參加我市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試的總?cè)藬?shù)約為56 000人，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（" ）.

A.5.6×103B.5.6×104

C.5.6×105D.0.56×105

（3）節(jié)約是一種美德，節(jié)約是一種智慧.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，全國每年浪費(fèi)食物總量折合糧食可養(yǎng)活約3億5千萬人.3億5千萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（" ）.

A.3.5×107B.3.5×108

C.3.5×109D.3.5×1010

題2 下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，原數(shù)分別是什么？

（1）3.4×104；"" （2）－6×103.

針對練習(xí)：

（1）下列求原數(shù)不正確的是（" ）.

A.3.56×104＝35 600

B.－4.67×106＝－4 670 000

C.2×102＝200

D.3×105＝30 000

（2）下列用科學(xué)記數(shù)法寫出的數(shù)，原來分別是什么數(shù)？

①地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度約是1.1×105 km/h；

②一個正常人一年的心跳次數(shù)約為3.679×107次；

③世界文化遺產(chǎn)——長城總長約6.7×106 m.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生經(jīng)歷定義的誕生后，通過適量的練習(xí)，鞏固基本知識與技能，采用自學(xué)與合學(xué)的方式，培養(yǎng)在具體問題中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)方法思路和歸納推理能力.

2.6 知識拓展

2008年8月23日，美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家發(fā)現(xiàn)了迄今已知的最大梅森素?cái)?shù)2243 112 609－1，這個素?cái)?shù)有12 978 189位，如果用普通字號將它連續(xù)寫下來，長度可超過50 km.科學(xué)記數(shù)法中，10100表示這個數(shù)有101位.科學(xué)家們提出一個倡議，將比10100更大的數(shù)規(guī)定為“goolplex”，1goolplex=1010100，即1后面連寫10100個0，那么有12 978 189位的素?cái)?shù)可用多少goolplex表示？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)上下連貫、前后一致，了解了古代記數(shù)法，經(jīng)歷了科學(xué)記數(shù)法的由來及應(yīng)用，接下里應(yīng)該展望未來，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界.

2.7 課堂小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課你的收獲.

2.8 課后作業(yè)

通過查閱資料，完成下列各題：

（1）在現(xiàn)代科技發(fā)展中，還有哪些表示大數(shù)的記數(shù)法，并嘗試自己規(guī)定一種大數(shù)的記數(shù)方法.

（2）簡約之美是大多數(shù)人喜歡數(shù)學(xué)的原動力，通過記數(shù)法的發(fā)展，撰寫一篇你對數(shù)學(xué)追求簡潔看法的小文章.

設(shè)計(jì)意圖：改變學(xué)生對數(shù)學(xué)就是做題的印象，促使學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，最終樂于學(xué)數(shù)學(xué).

3 小結(jié)反思

（1）通過學(xué)生預(yù)習(xí)了解不同記數(shù)法，滲透了新記數(shù)法的產(chǎn)生總是伴隨著人類生產(chǎn)力的發(fā)展，數(shù)學(xué)參與人類文明進(jìn)程，隨著大數(shù)的產(chǎn)生而進(jìn)行不斷創(chuàng)新，促使學(xué)生感悟到科學(xué)記數(shù)法產(chǎn)生的必要性及合理性.通過回顧有理數(shù)乘方的計(jì)算，為學(xué)生解決情境引入中“宇宙中沙子問題”簡潔表示的自主發(fā)現(xiàn)提供可能.在解決了1后面多個0的表示后，推廣到任意含0較多的大數(shù)，由學(xué)生自主探索，合作分享，最后給出定義，經(jīng)歷了一個規(guī)則的產(chǎn)生，消除了數(shù)學(xué)概念的神秘感，埋下了自己也可以創(chuàng)新數(shù)學(xué)的種子.

（2）本節(jié)課以學(xué)生自學(xué)與合學(xué)為主，每個環(huán)節(jié)任務(wù)明確.用發(fā)展的眼光、成長的視角，去激勵、喚醒學(xué)生.尤其是“知識拓展”部分，極大激發(fā)了學(xué)生對大數(shù)的探索熱情.通過自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)去幫助、引導(dǎo)學(xué)生，成就每一位學(xué)生的精彩瞬間.十年樹木，百年樹人.教育是慢的藝術(shù)，教育更像農(nóng)業(yè)，我們能做的就是播下種子，小心呵護(hù)，精心培育，然后靜待花開.

（3）預(yù)習(xí)任務(wù)意在使學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，掌握適應(yīng)現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識和基本技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、好奇心與求知欲.但是筆者所在地區(qū)很少要求學(xué)生通過自主查閱資料去預(yù)習(xí)，學(xué)生對如何多渠道查找信息能力欠缺，大多是網(wǎng)上搜索直接抄用，所述缺乏權(quán)威性.學(xué)生不知道《數(shù)學(xué)辭?！?，手里沒有數(shù)學(xué)史相關(guān)的書籍，今后應(yīng)該在查閱數(shù)學(xué)資料方面加強(qiáng)指導(dǎo).對于學(xué)生預(yù)習(xí)任務(wù)完成情況只是教師了解，應(yīng)該讓學(xué)生間進(jìn)行交流分享，并相互對結(jié)果給予反饋.