對發展初中生直觀想象素養的思考與實踐

直觀想象是學生數學核心素養的重要組成部分，是學生認識事物的重要途徑.在初中數學教學中，教師要提供時間和空間讓學生去操作、觀察，直觀感知數學知識的奇妙，以此激發學生學習的積極性，發展直觀想象素養［1］.筆者以“正方形的軸對稱性”教學為例，談談直觀想象的價值和培養策略.

1 動手實踐，抽象基本圖形

活動1：請用正方形紙片折一折，說一說它有幾條對稱軸？

教師讓學生動手折，然后投影展示折痕（如圖1），以此通過動手操作找到正方形的4條對稱軸.折疊是學生發現、理解和掌握軸對稱性的有效方法，為此在實際教學中，教師應創造機會讓學生動手操作，以此幫助學生獲得豐富的感知.在此基礎上，教師讓學生按照如下步驟操作：

（1）將正方形沿對角線對折，在折痕上任取一點，沿該點與直角頂點所在直線對折.

（2）將正方形沿一組對邊的中點對折，然后在折痕上任取一點，沿該點與任一直角頂點對折.

學生積極操作，得到如圖2和圖3所示的折痕圖.在此基礎上，教師引導學生觀察圖2、圖3，由此讓學生通過觀察、推理得到三角形全等，如圖2中△ABF≌△CBF，△ADF≌△CDF，圖3中△BEF≌△CEF.以此通過觀察、推理積累豐富的活動經驗，為接下來的探究作鋪墊.

設計意圖：通過折疊幫助學生積累豐富的感性素材，為后期的應用打下堅實的基礎.在此過程中，教師引導學生操作、觀察、推理，為發展“直觀想象”作鋪墊.

活動2：如圖4、圖5，結合以上折疊經驗，說說你有什么發現.

教師先讓學生動手折一折，然后說一說蘊含其中的相等關系，以此發展學生的直觀想象素養.

師：將圖2與圖4相對比，說說你的發現.

生1：若四邊形ABCD為正方形，連接AF，易證△ABF≌△CBF，則AF=CF.

師：很好，現在我們來看一下這道題.（教師PPT出示例1.）

例1 如圖4，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，其中E是BC邊的中點，F是BD邊上的動點，連接EF，CF，則EF+CF的最小值是.

問題給出后，學生結合已有經驗將問題轉化為求EF+AF的最小值，由此判定當A，E，F三點共線時其長度最小，分析至此問題得以獲解.

師：觀察圖5和圖3，你又有什么發現？

生2：若圖5中的四邊形為正方形，且E，F分別為邊BC和AD的中點，連接PC，則易證BP=PC.

師：很好，非常棒的發現.若連接AP，DP，你又發現了什么呢？

生齊聲答：AP=DP.

師：非常棒，根據以上發現，看看例2該如何求解？（教師PPT出示例2.）

例2 如圖5，在正方形ABCD中，E，F分別為邊BC和AD的中點，P為EF邊上一動點，點G在AB邊上，若AB=4，AG=1，則PG+PB的最小值是.

問題給出后，學生結合以上經驗，很快利用軸對稱將BP轉移到PC，由此可知，當P，C，G三點共線時，PG+PB取最小值，由此問題輕松獲解.

設計意圖：教學中，教師引導學生通過動手折直觀感知軸對稱，并通過取點獲得基本圖形，為后期的應用奠定基礎.緊接著，教師對圖形進行變形，引導學生多角度辨析，進一步加深學生對基本圖形的理解.在此過程中，沒有生搬硬套和機械灌輸，而是通過觀察、探索、應用等過程逐層深入，讓學生在比較中發現基本圖形的不同形態，激活學生的數學思維，點燃學生的學習興趣，促進學生直觀想象素養的培養.

2 分解組合，促進深化

在環環相扣的問題的引領下，學生對正方形的軸對稱性已經有了一定的認識，接下來教師通過應用進一步強化，讓學生的思維逐漸走向有序，切實提高學生思辨能力，發展學生的識圖、用圖能力.

例3 如圖6，在正方形ABCO中，AB=4，OP=32，點Q（3+10，3）.試探究∠PQA，∠BCP，∠BAQ這三個角之間存在怎樣的數量關系？

題目給出后，學生認真觀察圖形，主動挖掘圖形中的“秘密”，探索解題思路.學生根據正方形對稱性易想到連接PA，繼而得到∠BCP=∠BAP.通過直觀觀察，猜想∠BCP+∠BAQ=∠PQA，繼而將問題就轉化為證明PA=PQ.分析至此，教師鼓勵學生將圖形進行拆分，即可得到如圖7（1）所示的基本圖形和如圖7（2）所示的可解的△POA.

這樣根據已有知識和已有經驗，易求得PA和PQ的長都為10，即可證明PA=PQ，所以有∠BCP+∠BAQ=∠PQA，問題得以獲證.

例3的綜合性較強，涉及正方形的軸對稱、兩點間的距離公式、勾股定理等多個知識點.教學中教師引導學生逐層分析，讓學生逐漸從復雜圖形中分離出基本圖形，提高解題效率.

設計意圖：在培養學生直觀思維的過程中，教師需要提供時間讓學生思考，引導學生經歷操作畫圖、例題探究等過程，通過由淺入深、循序漸進的指導讓學生的思維逐漸走向深入，繼而提高學生的數學應用水平.同時，在此過程中，教師要引導學生透過現象認清問題的本質，培養學生的識圖、用圖能力，發展學生的直觀想象素養.

3 拓展應用，實現升華

通過經歷簡單應用和綜合應用等階段，學生對基本圖形已經有了深刻的認識，在此基礎上，教師將問題進行拓展延伸，將正方形的軸對稱遷移至矩形、菱形中，從而通過對比分析幫助學生建構完善的知識體系，拓寬學生的視野，升華學生的認知，提高學生分析和解決問題的能力.

例4 如圖8，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F.

求證：（1）△DAE≌△DCF；

（2）∠FEB=∠EFB.

（答案略.）

設計意圖：數學知識是一門邏輯性較強的學科，數學知識之間有著密切的聯系.在實際教學中，教師應關注知識間的內在聯系，指導學生從整體視角去分析問題，建構完善的知識體系，提高學生的綜合應用能力.本環節，教師將正方形的軸對稱遷移至矩形、菱形的軸對稱，通過多角度分析促使學生理解基本圖形的本源，加深對軸對稱的理解.在數學教學中，尤其在基礎知識的教學中，不要局限于知識的理解和識記，應將其進行拓展延伸，豐富知識的內涵，提高學生分析和解決問題的能力.

從以上實例可以看出，直觀思維在解題中發揮著重要的作用，其可以幫助學生找到解題的突破口，形成解題策略［2］.不過，直觀想象具有一定的主觀性，并不能直接加以應用，需要進行推理驗證.扎實的基礎儲備、豐富的活動經驗、完善的知識結構是解題的關鍵.因此，在實際教學中，教師要關注學生基礎知識、基本方法和基本活動經驗的積累，以此提高解題能力.

總之，在日常教學中，教師要提供時間讓學生經歷觀察、猜想、驗證等環節，由此讓學生的認知由直覺走向本質，切實提高數學能力和數學素養.

參考文獻：

[1]張碧鏗.基于核心素養理念下“圖形的變化”數學教學實踐探索[J].課程教學研究，2022（7）：68-71.

[2]孫雪玉.借助直觀想象 提升核心素養——以“正方形軸對稱性”的教學為例[J].初中數學教與學，2021（15）：4-6，38.