借助幾何直觀，培養核心素養

摘要：幾何直觀是初中階段數學核心素養的重要表現.對初中數學知識進行梳理，尋找幾何直觀與數學知識的契合點，探尋相關的教學策略，對提高教學質量、助力核心素養培養意義重大.文章基于對幾何直觀內涵的理解，從“感知與分類圖形，繪制與分析圖形，立足“形”“數”聯系搭建模型，借助圖表分析、探索解決問題”四個方面展開論述，力求為核心素養培養提供參考.

關鍵詞：初中數學；幾何直觀；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）明晰了數學課程要培養的核心素養，給出了核心素養的內涵及表現，給核心素養培養工作的真正落地提供了理論指引.對于幾何直觀，《新課標》指出“幾何直觀主要是運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”，而意識與習慣的養成是漫長的，應滲透至教學實踐各環節，需長久堅持.

1 幾何直觀內涵的理解

《新課標》以表格的形式列出了核心素養的主要表現及內涵.對于幾何直觀，給出對應概念的同時從四個維度提出學習要求.四個維度由淺如深，從對圖形的基本認識逐漸提高要求至運用圖表解決問題.對幾何直觀的內涵從以下方面加以理解.

其一，體現數學學科特點.數學是一門古老且對人類社會發展起著重要推動作用的學科，研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念，涵蓋代數、幾何兩個重要分支.初中數學將兩個分支的內容混合編排，表明代數與幾何兩個分支的地位不分伯仲.其中幾何直觀重點強調學習幾何知識的必要性，凸顯幾何知識的價值，一定程度上體現數學學科特點.

其二，關注幾何知識的學科內運用.幾何直觀內涵中對圖形的描述無論是“感知”“分析”，還是用于“構建直觀模型”，均圍繞“圖形”展開，強調用于分析數學學科內的問題，需要學生深入理解、扎實掌握幾何知識.

其三，重視知識的實際應用價值.數學知識來源人類的生活實踐，又為人類的生產生活提供服務.為此，幾何直觀內涵中對“圖形”的高層次要求是解決實際問題，這表明僅僅借助“圖形”等一些幾何知識解決學科內的問題是不夠的，還應能夠面向解決人類生產生活中的問題.

2 借助幾何直觀培養核心素養的策略

借助幾何直觀進行學生核心素養的培養需要從整體上對初中幾何知識進行梳理，明確不同教學內容與核心素養的關聯，靈活運用多種授課策略，實現幾何知識傳授與核心素養培養活動的同步進行.

2.1 感知與分類圖形

感知與分類圖形是幾何直觀的內涵構成.解讀《新課標》可以看出，其中的“感知”對象包括幾何圖形以及幾何圖形的構成元素兩個方面.前者強調對幾何圖形的整體認識，后者關注對幾何圖形細節的把控.分類圖形顧名思義，按照一定的規則對圖形進行歸類.具體而言，需要明確圖形的“同”與“不同”，從而將圖形歸類到不同的類別中.由此可見，分類圖形建立在對圖形特征深刻認識與把握的基礎之上.

教學中，對圖形的感知可以通過對生活中常見實物輪廓的提煉，借助多媒體技術展示加以實現，指引學生從生活中抽象、獲取幾何圖形特征，建立對幾何圖形的初步認識.這種借助信息技術手段實現“真實實物”向“幾何圖形”的自然過渡，既給學生感知圖形帶來思路上的參考，也增強了學生的課堂學習體驗.當然，不同的幾何圖形在構成元素及構成元素的數量上存在一定差別.對圖形構成元素的感知，仍然可以借助多媒體技術實現，也可以通過要求學生繪制、對比幾何圖形，動手制作幾何圖形模型來完成.事實上，學生對幾何圖形及其構成元素深入感知的過程，就是學習以及獲得知識的過程.對于幾何圖形的分類，可以借助相關的習題訓練、幾何圖形模型的分類等來實施.

“幾何圖形初步”教學中，可以要求學生聯系生活中常見的實物，并在屏幕上進行展示.同時，通過對實物點、線、面等構成要素的提煉，繪制出其輪廓，如圖1所示.

對生活中實物的點、線、面進行提煉，形成相關的立體圖形.觀察可知，立體圖形的共同點是都由點、線、面構成，不同的是點、線、面的數量以及面的形狀.就面而言，有的是平面，有的是曲面.以此為基礎，要求學生繼續聯想生活中哪些實物的輪廓與圖1中的立體幾何圖形對應，要求學生填寫表1，檢驗學生能否對立體圖形進行正確分類.

2.2 繪制與分析圖形

幾何直觀要求“根據語言的描述畫出相關的圖形，分析圖形的性質”.眾所周知，畫圖是數學學習需要掌握的一項基本技能.“畫圖”看似簡單，實則包含對“語言的描述”的正確理解以及圖形的精準輸出.其中的“語言”主要指一些數學術語，包括數學概念、數學符號等.理解和掌握初中數學術語既是學習活動的基本要求，也是畫圖的前置條件.“圖形的精準輸出”關鍵詞是“精準”，要求運用正確的畫圖工具、合理的畫圖思路，將圖形更加準確、美觀地呈現出來，如此才能為分析圖形性質奠定良好基礎.

初中數學中涉及的圖形非常之多，主要有線段、射線、三角形、平行四邊形、菱形、矩形、函數圖象等.教學中，教師既要重視圖形概念、性質的講解，又要指引學生做好圖形的縱橫向對比，厘清不同圖形之間的區別與聯系及圖形之間的所屬關系.如矩形、菱形以及正方形都可看作特殊的平行四邊形，均可由平行四邊形演變而來.對比矩形、菱形以及正方形的區別，即為縱向對比；而將三角形、平行四邊形的相關元素加以對比，即為橫向對比.另外，理解、掌握數學術語是正確繪制圖形的關鍵，教學中可以要求學生養成善于運用表格、思維導圖、概念圖等工具的習慣，對所學的圖形知識進行歸納、整理，形成知識網絡，系統掌握相關的數學術語.不僅如此，為使學生能夠“精準”地畫出相關圖形，應把握課堂教學契機進行畫圖技巧的傳授，通過預留空白時間要求學生加強自主訓練，熟練掌握常用的基本作圖思路，不斷鞏固學生的畫圖技能［1］.

“尺規作圖”是初中數學的重要知識，要求使用無刻度的直尺和圓規作圖，既能提供作圖的機會，又能很好地激活思維，鍛煉作圖能力.該部分內容教學中，應明確尺規作圖的特點，認真分析適合尺規作圖的情境，尤其在例題講解環節，注重提高例題難度，激勵學生先進行作答，通過“先做后講”，指引學生把握作圖細節，精準作圖.

例 已知A，B，C，D為平面上的四個點，如圖2.根據要求畫圖（保留作圖痕跡），并回答問題.

（1）連接CD，作直線AB；

（2）作射線BC，并在射線BC上找一點F，使得CF=CD；

（3）在線段BD上尋找一點O，使得其到A，B，C，D四點的距離之和最短，說明作圖理由.

該作圖題中的第（1）問較為基礎；第（2）問的難度也不大，只需以點C為圓心，CD的長為半徑畫弧，弧和射線BC的交點即為F.第（3）問在作圖時可以簡化成尋找到已知兩點距離最短的點，顯然兩點之間線段最短，以此便可以明確作圖思路，連接AC和BD，交點即為O.如圖3所示.

課堂上，教師可以通過提問的方式要求學生闡述三個問題的作圖思路，思考三個問題分別考查哪些基本作圖知識.而后再進行作圖過程的講解，強調作圖的關鍵以及注意事項等.

2.3 立足“形”“數”聯系搭建模型

“形”與“數”是描述、分析問題的兩個不同視角，在邏輯上有著緊密的聯系.基于二者的關系，融合數學學科特征形成了數形結合思想、數形結合方法.從“形”與“數”的內在聯系出發，構建數學問題的直觀模型，不僅可降低對數學問題的理解難度，使得數學問題變得易于解決，而且與幾何直觀的內涵相一致.

實踐發現，學生不擅長分析抽象的問題，這與他們的認知水平較低不無關系.而將抽象的問題轉化為可視化的直觀情境，更容易引發學生思考的興趣與熱情，使得問題得以創造性的解決.認識到這一點，教學中要增強學生對“形”“數”關系的深刻認識，提升“形”“數”的應用意識.具體到實踐中，教師應注重“形”“數”關系理論的自學，從“形”“數”角度審視相關的教學內容，探尋更為簡便、高效的教學方法.不僅如此，教師還應通過參與教研活動，吸取他人在“形”“數”應用中的成功經驗，實現自身應用水平的針對性提升.另外，立足“形”“數”聯系展開教學，一般通過構建直觀模型來實現，以提升學習體驗，使學生更好地理解數學問題的本質，促進其以后更好的遷移應用.教學中，教師既要給學生預留充足的思考時間，又要給予學生模型構建過程的啟發，使學生自覺探尋數學模型的構建思路，通過不斷的思考、嘗試畫出直觀的圖形，得出模型結論.當然，得出模型結論后，指引學生繼續深入思考，總結構建直觀模型的關鍵點，包括尋找哪些特殊的點、線段、角度等，使學生能夠真正理解.

例如，“圓”知識教學中，可以圍繞以下問題構建幾何直觀模型：如圖4，已知AB為圓O的直徑，長為8，點M在圓O上，且∠MAB=20°，N為弧MB的中點.點P在AB上運動，若MN=2，則△PMN周長的最小值為.

△PMN由PM，PN，MN構成，其中MN已知，解題的關鍵在于求PM，PN的長.因點P的位置不固定，直接求解的難度較大.課堂上可以引導學生回顧所學的最短路徑知識，通過尋找對稱點構建直觀模型將問題變得直觀、易解.如圖5，

作點N關于AB的對稱點N′，連接MN′，與AB交于點P，此時△PMN的周長最短.連接AN′，ON′，PN.

由構建的幾何直觀模型，結合已知條件、圓的性質，容易得到△MON′為等邊三角形，又PN=PN′，則PM+PN=MN′=4，△PMN周長的最小值為4+2=6.

教學中，通過與學生一起構建直觀模型，既可以幫助學生順利找到解題突破口，又能給學生帶來啟發，使其在以后遇到圖形的最值問題能夠通過作對稱點構建直觀模型加以解決.

2.4 借助圖表分析、探索解決問題

圖表是一種記錄數據的常用工具.隨著社會的發展，圖表的樣式越發豐富，如條形圖、扇形圖、折線圖、直方圖等，不同的圖表給人們帶來的視覺效果不同，而且呈現的數據規律也存在一定差別.這些圖表給人們分析數據帶來更多的選擇.《新課標》將運用圖表分析、解決問題納入幾何直觀的內涵之中，凸顯了圖表在初中數學學習中的重要地位.

初中數學“數據的收集、整理與描述”以統計學知識為背景對相關圖表進行了較為系統的介紹，幫助學生真切地感受圖表在人們生產生活中的重要價值.教學中，應注重以實際的問題情境為切入點對圖表知識進行系統講解，與學生一起剖析不同圖表的形狀、展現數據的特征，通過建立數學知識與實際情境的聯系彰顯圖表價值，加深學生對相關概念的理解，激發學生的學習動力.為更好地體現圖表的工具性，增強學生運用圖表分析、解決問題的意識與能力，應在做好典型例題講解的基礎上及時進行課堂訓練，給學生提供表現自我、應用所學知識的機會.

例如，統計知識教學中，完成條形圖、扇形圖等知識講解后，教師可以展示以下習題，要求學生嘗試作答：為了解某校學生參加知識競賽的成績情況，選取部分學生的成績制作出對應的統計表與統計圖，如表2與圖6.請回答相關問題.

（1）求b的值以及抽取學生的數量；

（2）求扇形圖“C”對應的圓心角的度數；

（3）補全直方圖；

（4）若該校共有1 200名學生參賽，并且成績在80分（包括80分）以上為“優秀”，求全校成績“優秀”學生的數量.

該習題數據呈現的方式有表格、直方圖以及扇形圖，綜合性較強，考查了學生的讀圖、識圖以及運用統計學知識分析問題的能力.作答該題需要掌握頻數的概念、直方圖中橫軸與縱軸表示的含義、扇形圖的構成特點，理順圖表中數據之間的邏輯聯系，通過圖表的相互對照分析出答案.對于（1），b的值可從直方圖中直接看出為8，對照直方圖、扇形圖可以看出90～100分的頻數為14，對應35%，則可以計算出抽取學生的數量為14÷35%=40（人）；第（2）問較為簡單，結合扇形圖的結構特點，容易計算出“C”對應的圓心角的度數為108°.對于（3），由抽取人數的數量以及扇形圖中“C”部分的百分比可和對應的學生人數為12人，據此將直方圖補充完整；對于（4），結合直方圖、扇形圖得到超過80分（包括80分）學生的百分比為30%+35%=65%，容易求得當學生人數為1 200人時，過80分（包括80分）學生為780人.

該習題在幫助學生復習條形圖、扇形圖、統計表等知識的同時，增強了學生運用圖表分析實際問題的意識.不僅如此，也給學生帶來了良好的解題感悟，即，不同的圖表展示數據時可以通過相互對照求解未知參數.認識到這一點，在以后解答相關圖表問題也就不難找到正確的突破口.

3 總結

為了學生的更好發展，促進我國教育的高質量提升，我國進行了多次課程改革，取得了一定成效.其中，培養核心素養是最新一輪課程改革的顯著特點.初中數學教學中，教師應與時俱進，積極響應新一輪課程改革，自覺進行相關文件內容的學習，將核心素養培養納入教學的重點，注重以幾何直觀為發力點，通過正確、深入理解幾何直觀內涵，探尋符合數學學科特點及符合學生學習實際情況的教學策略，并注重教學效果的評估、教學細節的優化.

參考文獻：

［1］魯艷.初中數學教學中幾何直觀能力培養探析［J］.求知導刊，2023 （31）：95-97.