由面積問題探析數學思維的培養

華羅庚說：“獨立思考能力是科學研究和創造發明的一項必備才能.在歷史上，任何一個重要的科學上的創造和發明，都和創造發明者獨立深入地看問題的方法是分不開的.”在平時課堂教學中，教師不僅要注重學生知識與解題技能的提升，更應在題型的選擇和分析講解中重視數學思維能力的滲透和引導，從而拓寬課堂維度，培養學生的核心素養.筆者以三角形面積問題為例，談談初中數學思維的培養.

1 什么是數學思維

數學思維，狹義上可以說是用數學方法去思考和解決問題，廣義上應該是用數學這門學科的內蘊邏輯去思考和解決問題.數學思維就是人們通常所指的數學思維能力，即能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力.可見，數學思維直接決定了學習者的數學學習能力.

2 可視化的數學思維

數學思維就是用數學觀點思考問題和解決問題的思維活動形式，思維指的是人腦對客觀現實的概括和間接反映，屬于人腦的基本活動形式.數學思維看不見、摸不著，筆者就以三角形面積問題為例讓抽象的數學思維可視化.

求三角形面積是初中數學常見的問題，它可以和很多知識點相結合，筆者以格點背景下幾種常見的三角形面積計算聯系到二次函數背景下三角形的面積最值問題，把其總結為如下四個成長階段.

嬰兒期：如圖1，三角形的底和高都是橫平豎直的線段，計算一目了然，可直接利用三角形的面積公式求解.

幼兒期：如圖2，三角形的底和高都是斜的線段，不容易求得，不能利用三角形面積公式，因此只能通過割補法，把三角形補成一個正方形，用正方形面積減去其余的三個三角形面積，得S=9-12×1×2-12×1×3-12×2×3=72.

青春期：如圖3，類型和圖2相似，不能用三角形面積公式求解，但是既可以用補的方法，把三角形補成一個長方形，得S=12-12×1×2-12×2×3-12×2×4=4，也可以用割的方法把三角形分割成上下兩個易求面積的三角形得S=12×2×2+12×2×2=4.由于兩個小三角形共底，因此亦可表示為S=12×2×（2+2）=4，為二次函數背景下三角形的面積最值問題作鋪墊.

成年期：已知二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸交于點A，B（點A在原點的左側），A（-1，0），B（3，0），點G（2，-3）是拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？并求此時點P的坐標和△APG的最大面積.

解：如圖4，過點P作PQ平行于y軸，過點G作GT⊥PQ于點T.設P（a，a2-2a-3），其中-1＜a＜2.

易求得AG：y=-x-1，則Q（a，-a-1）.

所以PQ=-a2+a+2.

所以S△APG=S△APQ+S△GPQ=12PQ·AO+12PQ·TG=12PQ（AO+TG）

=32（-a2+a+2）=-32a-122+278.

故當a=12時，△APG的面積最大，最大面積為278，此時P12，-154.

題中運用了“割”的方法，將目標三角形分割成兩個小三角形，這兩個三角形共用一條底，但是它們的高表示出來比較麻煩，類比圖3的情形，這里把兩條高看作一個整體，就方便求出三角形的面積，減少了計算量.這樣，通過平時課堂的分析和引導，把重難點各個擊破，讓學生的思維螺旋式生長.

3 怎樣培養數學思維

數學是培養學生思維的重要學科，但是學生在知識理解與應用上仍然是最薄弱的，在解決問題時缺乏聯系性思維和獨立思考的能力，過分依賴教師的提醒，難以運用已有的知識解決新問題.在新課程標準理念下，課堂是教師的主陣地，教師應深耕每一節課，在題目設置與講解引導上下功夫，使零散瑣碎的數學知識點能夠串聯成一條條主線，重點培養學生解決問題的能力.

3.1 循序漸進之實

數學思維能力的養成講究循序漸進、點滴積累，從已有基礎知識和問題條件出發，通過條件的聯想和知識的積累，在條件與結論之間搭建橋梁，逐步推演下去直到得到正確結果，實現跨越.循序漸進有助于學生形成扎實的數學基本功，培養分析問題、解決問題的能力，甚至在思維跳躍的題目中能夠找到方法.在教學過程中，教師應細化解題過程，根據學生已有的認知結構，設計合理的解題思路，厘清因果聯系，指導學生運用所學知識解決實際問題，培養學生的數學思維.

例如，在上述三角形面積問題中，學生第一次遇到圖4的問題肯定不知所措、無從下手，直接利用公式無法求出來，用割補法也缺乏條件，如果在解決圖3問題時就稍加點撥，引導學生用整體思維解決三角形的高難以求解的題型，那么學生就會聯想到分割三角形整體求高，不僅解決了問題還簡化了計算.因此，在平時的教學過程中，教師應注重引導學生明確各個基本知識點之間的聯系，打好思維基礎，讓其內化到自己的思維中，尤其是利用所學知識解決復雜問題.實踐證明，良好的數學思維能夠增加學生的數學經驗與直覺思維，優化解題思路，提高解題速度，于高處思考問題.

3.2 雙管齊下之活

初中數學學習是從形象思維到抽象思維的發展階段，其難度不僅在于抽象思維，更在于其題型的靈活性.學生對數學概念、定理和各種題型有了基本的認識，但在解決問題時容易思維固化形成思維定式，難以拔尖.在核心素養的大時代背景下，應以培養學生的逆向思維為突破口，打破思維定式，提高靈活解決問題的能力.逆向思維貫穿于整個初中數學，在數學公式定理應用上非常廣泛.

例如，在學習經典的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2時，讓學生死背公式容易和完全平方差公式混淆，若逆向推導（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，讓學生自主探究從已知知識點出發，更容易記憶公式，也掌握了知識點的來源.因式分解就是整式乘法的逆向思維，利用完全平方公式時，如果引導學生用逆向思維，把公式反過來記憶，不僅容易記住還減少了知識量，讓學生感悟逆向思維的重要性.

逆向思維在幾何推導方面也很常見.如圖5，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點E，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC是線段BD的垂直平分線.本題若從條件分析的話，幾何薄弱的學生可能會無從下手，如果從結論逆向分析，要證AC是線段BD的垂直平分線，只要證AB=AD，CB=CD.已知∠1=∠2，∠3=∠4，只要證△ACD≌△ACB.這樣理清了解題思路，能夠幫助學生迅速找到突破口，證明的方向也更明確.幾何證明是初中生學習的一大難點，在分析過程中很多題目既需要從條件出發，也要從結論反推，正向與逆向雙管齊下，善于多角度分析問題，避免思維局限和僵硬，培養學生的邏輯思維和靈活解決問題的能力.

3.3 一題多解之變

變則通，解題思路需要變通，變通是數學思維發展的顯著特征.在教學中我們發現，很多時候當學生熟練掌握一類基本題型的解決過程和技巧后，需要從不同角度幫助學生分析解題思路，因為一道題目可能有多種解法，解法不同意味著學生的思維方式是發散的，發散思維對于數學學習的重要性可見一斑.發散思維是指不只用一種思維解決問題，也不會只從一種角度尋找答案，教師平時應注重學生發散思維的培養，引導學生多角度進行分析與探討.在教學時可采用一題多解的教學方式，培養學生的發散思維.

例如，已知a+b=5，ab=2，求a-b.初三的學生往往會聯立a+b=5與ab=2，建立二元二次方程組，通過消去未知數b得到一個一元二次方程a2-5a+2=0，但是這個方程的解含有根號，答案較復雜，這為后面的計算增加了難度.同時，教師可指導學生觀察a+b，ab和a-b的特征，引導學生聯想到兩個完全平方公式的數量關系，利用公式（a+b）2=（a-b）2+4ab，把條件代入即可快速簡便地求出a-b的值.通過一題多解的引導，學生的思考方式能夠更加變通，思維愈加發散.因此，在學生牢固掌握基礎知識的前提下，教師應引導學生進行不同層次的思維發散，啟發他們從更多維度探尋數學的本質，適應新時代背景下的教育目標.

總而言之，數學思維是幫助學生學好數學的關鍵因素之一，培養學生良好的數學思維更是教師教學的重中之重，也是數學教學中永遠值得探尋的主題.教師應立足課堂，循循善誘，將數學思維滲透到每一節數學課中，不斷提高學生的核心素養，為培養中國特色社會主義建設者和接班人打下堅實基礎.