初中生“特殊與一般”數學思想的培養

摘要：“特殊與一般”是中學數學的基本思想之一，本文中結合幾個教學探究，從三個方面介紹了如何培養初中生“特殊與一般”的數學思想方法，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：特殊與一般；初中數學；數學核心素養；數學思想

《義務教育數學課程標準（2022年版）》［1］指出，核心素養導向的教學目標是對“四基”“四能”教學目標的繼承和發展.其中，“四基”指基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗.“特殊與一般”作為中學數學的一種重要的基本思想，指的是從特殊到一般、再從一般到特殊去探究數學問題.下面筆者從幾方面淺談如何在數學教學中培養學生“特殊與一般”的數學思想方法，提升學生的數學核心素養.

1 從公式推導中滲透思想

探究1：推導多邊形內角和定理“n邊形的內角和等于（n-2）·180°（n≥3且n為整數）”.

探究過程：教學中，教師可以先引導學生復習回顧三角形內角和.學生之前已經學過三角形的內角和是180°.教師在教學中帶領學生們把一個四邊形分割成2個三角形（如圖1），從而探究出四邊形內角和為2×180°=360°，接著又讓學生嘗試探究五邊形的內角和，并且及時讓學生說出分割的方法（如圖2）.學生的探究熱情油然而生.

教師順勢引導學生說出“從一個頂點出發進行分割”，把多邊形的內角和問題從特殊的四邊形、五邊形上升到一般的n邊形的情況進行探索總結，自然地把多邊形的內角和問題轉化為三角形內角和的問題.然后，教師大膽放手讓學生在合作中探究n邊形內角和公式，就這樣，讓學生感受從特殊到一般的探究過程.學生很快就探究出多邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n-2）·180°（n≥3且n為整數）.

總結：此探究中，教師靈活地設計教學環節，抓住機會對學生滲透“特殊與一般”的數學思想方法，充分發揮學生的主體作用，增強學生的合作意識，相信這種“觀察—概括”的探究過程一定能讓學生深刻理解定理的內涵并無形中已經記住了公式，從而大大提高了教學效果.在以上的探究過程中，教師可以向學生指出其中的思想是“特殊與一般”的數學思想方法，鼓勵學生學會把三角形知識遷移到多邊形的學習中.教師讓學生感受到定理的生成可以借助從特殊到一般的方法，不僅幫助學生更好、更深刻地掌握定理，還潛移默化地培養了學生“特殊與一般”的思維.

2 在解決規律題中形成思想

探究2：

已知

（x-1）（x+1）=x2-1，

（x-1）（x2+x+1）=x3-1，

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，

（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1，

（1）根據前面各項的規律可得：（x-1）（xn-1+xn-2+……+x2+x+1）=（其中n＞4，且n為整數）.

（2）根據（1），求1-2+22-23+……+230-231的值.

探究過程：此題是規律探究題，教學中教師讓學生觀察式子，從特殊到一般歸納出規律，把問題轉化為2個多項式相乘，其中第一個多項式是x-1，第二個多項式是xn+xn-1+……+x+1.學生從第二個多項式特殊的最高次數1，2，3，4幾種情況中輕松發現規律，從而得到（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+……+x2+x+1）=xn-1.

教師順勢說出這是從特殊到一般的思維.而第（2）問，教師引導學生學會從一般到特殊去解決問題.學生通過對比觀察發現，規律式中第二個多項式各項前面都是正號，而第（2）問中各項是正負交錯的.教師適當提示學生注意第（1）問中的x可為正數也可為負數或零，于是學生容易想到令x為-2，這樣是從一般到特殊自然地由第（1）問的結論，得到

（-2-1）［（-2）31+（-2）30+……+（-2）2+（-2）+1］=（-2）32-1.

然后化簡得到第（2）問的結果為

232-1-3即1-2323.當然，此題還有其他的解法.

總結：此探究能讓學生經歷從特殊到一般發現規律，又從一般到特殊地去靈活運用知識解決問題的全過程，從而真正形成“特殊與一般”的數學思想.其實對于其他規律題也一樣，不管是代數方面的，還是幾何方面的，往往都是先從特殊的幾種情況發現規律，實現從特殊到一般的抽象過程，然后又根據發現的規律運用從一般到特殊的思維解決個別情況.在規律題的數學中，往往需要教師適時引導學生積極地從特殊到一般發現規律，然后進一步鼓勵學生大膽地用一般指導特殊解決問題，提高學生發現規律以及運用規律的能力.

3 剖析題目，強化思想

探究3：如圖3，在△ABC中，∠BDC=90°，BE，CE分別平分∠ABD和∠ACD，BF，CF分別平分∠ABE和∠ACE，若∠A=40°，則∠F=.

探究過程：此題通過教師的引導，利用角平分線的定義及三角形內角和定理，學生不難算出

∠1+∠2=180°-90°=90°，

∠ABD+∠ACD=180°-40°-90°=50°.

所以∠F=180°-90°-50°2-50°2×12=52.5°.

此題并不難解決，教學中，教師可引導學生進一步剖析題目，從特殊到一般進行探究，舉一反三.若把題目中的條件一般化為∠A=n°，那么

∠ABD+∠ACD=180°-n°-90°=90°-n°，則∠F=180°-90°-90°-n°2-90°-n°2×12=34n°+22.5°

.

另外，在上述基礎上，教師可引導學生往更深一步進行剖析.

若題目中條件繼續一般化，把∠ABD和∠ACD的平分次數推廣到m次，即

∠ABF+∠ACF=12m＼5（90°-n°），

那么，則有

∠F=180°-90°-（90°-n°）×12-（90°-n°）×12×12-（90°-n°）×12×12×12-……

-（90°-n°）×12×12×…×12m個

=90°-90°-n°21+12+122+……+12m-1.

對于初中生而言，上述式子超出了他們的計算能力，但此題到這里已經讓學生很好地強化了“特殊與一般”的數學思想.

此題也可以從一般到特殊進行變式，做法是對條件中∠A=n°的n具體賦值，或者將∠ABD和∠ACD的2次平分推廣到m次的情況，對m具體賦值.

總結：從一般到特殊，能讓學生學會求解一類題目.若教師善于抓住機會，引導學生剖析題目，把條件更加一般化，往往能夠抽象出更多的結論，從而更深層次挖掘出特殊到一般的規律，真正強化學生“特殊與一般”的數學思想.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》［1］指出，數學課程要培養的學生核心素養，主要包括三個方面，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.“特殊與一般”的數學基本思想體現了“三會”的要求，教學中，若教師善于向學生滲透“特殊與一般”的數學思想，并幫助學生形成和強化此思想方法，這樣必能提高學生在一般與特殊之間轉化的能力，從而更好地發展學生的“四基”“四能”，提升學生的數學核心素養.

從特殊問題引申出一般性問題，通過探究學習，獲得解決方法并取得成果［2］.“特殊與一般”思想滲透于每章數學內容中，只有教師深刻體會其中內涵，并在日常教學中抓住一切機會挖掘相應素材，善于運用有效的方法進行點撥與引導，比如在日常教學中從公式推導中滲透思想、在解決規律題中形成思想、通過剖析題目來強化思想等方法，才能讓學生真正理解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，從而真正地學會“特殊與一般”這種數學思想，助力數學乃至多學科的學習.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］陳甬，蔣志華 .從特殊到一般的一個數學探究案例[J]. 數學通報，2007（3）：30-31.