初中幾何常見錯誤及應對策略

在解決幾何問題時，大多會將文字語言翻譯成圖形語言，借助圖形實現(xiàn)化抽象為具體、化繁為簡的效果.不過圖形雖然直觀、形象，但是其缺乏一定的嚴謹性，有時在解題時也會被圖形的“假象”所蒙蔽，從而影響解題思路和解題效果.以下筆者結合教學實際歸納總結初中幾何常見的錯誤類型，以期通過對錯誤的深入剖析加深對幾何內容的理解，訓練學生數(shù)學思維，提高學生解題能力.

1 負遷移錯誤

數(shù)學學習也可以理解為知識、方法、經(jīng)驗的遷移過程，培養(yǎng)學生數(shù)學遷移能力是數(shù)學教學的一項重要教學使命.數(shù)學知識是豐富多彩的，學校里不可能學完所有的知識和技能，因此教學中要重視學生遷移能力的培養(yǎng)，以此逐漸提升學生分析、解決問題的能力，讓學生獲得可持續(xù)學習的能力.不過在實際教學中，也存在負遷移的情況，進而影響解題效果.之所以學生在學習中產生負遷移的情況，其主要原因是學生對知識的理解和掌握不夠全面，并沒有將知識點學懂、吃透，從而影響了解題效果.

例1 如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，點F在AD延長線上，且DF=BE.

（1）求證：CE=CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請結合問題（1）的結論證明：GE=BE+GD;

（3）運用（1）（2）解答積累的知識和經(jīng)驗，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BCgt;AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求S梯形ABCD.

對于第（1）問和第（2）問，學生可以結合證明三角形全等的經(jīng)驗順利地證明結論，但是在證明第（3）問時，很多學生卻犯了難.前面兩個問題的設計其目的是讓學生發(fā)現(xiàn)圖形間的相似，這樣學生就可以過點C作CG⊥AD，交AD延長線于G，從而構造出正方形，以此結合第（2）問的結論得到ED=BE+DG，即可求得DG=6.在此基礎上根據(jù)勾股定理求得AB=12，問題即可獲解.不過從實際反饋來看，很多學生并沒有在問題（1）和問題（2）的解決中受到啟發(fā)，卻受到了線段不同、角度不同、圖形不同等信息的干擾，因出現(xiàn)負遷移的現(xiàn)象而造成思路混亂，影響解題效果.

應對策略：在實際教學過程中，教師要提供時間讓學生去觀察、去操作、去思考、去感悟，多讓學生畫一畫、量一量，并合理地進行啟發(fā)和指導，以此最大限度地發(fā)揮正遷移作用，克服定式思維的干擾，提高解題效果.

2 知識性錯誤

審題是解題的第一步，也是關鍵的一步.在平時解題時，要重視培養(yǎng)學生審題習慣，要明確條件，弄清題意，切勿憑空想象、主觀臆造.在解決幾何問題時大多會給出圖形，部分學生常常通過觀察直接猜想已知或結論，使得在證明過程中因依據(jù)不充分而引發(fā)錯誤.要知道數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，幾何的證明每步都要有理有據(jù)，以此進行科學的推理和論證.

例2 如圖4，l1∥l2，BF∥AE，DF=CE，下面四個結論中正確的是（只填序號）.

①DF∥CE；②AE=BF;③S四邊形DCEF=S四邊形ABFE；④S△DBF=S△ACE.

例2難度不大，但是具有一定的綜合性.在解題中需要理解三角形的定義、性質和平行四邊形的定義、性質、判定定理等內容，學生若基礎知識掌握不牢很容易出現(xiàn)錯誤.另外，題目中給出的圖形具有一定的特殊性，這樣學生在解題時會受其干擾而出現(xiàn)主觀臆斷，從而引發(fā)了錯誤.認真分析錯因不難發(fā)現(xiàn)，部分學生依據(jù)“l(fā)1∥l2”“DF=CE”這兩個條件直接判定四邊形EFDC是平行四邊形，從而認為①④結論也成立.要知道等腰梯形同樣具有一組對邊平行，另一組對邊相等的特征.可見學生在解題時受到了圖形的干擾，加之學生對平行四邊形的定義及判定定理掌握不牢而出現(xiàn)了論證不充分，從而引發(fā)了錯誤.

應對策略：基于以上問題，教師在平時教學中不僅要引導學生認真審題，還要注重基礎知識教學，以此有效規(guī)避解題中出現(xiàn)主觀臆造，提高解題準確率.

3 策略性錯誤

數(shù)學猜想雖然是以一定的數(shù)學事實為依據(jù)，但是也具有一定的主觀性，因此在解題的過程中需要進一步尋求證據(jù)，從而形成正確的解題策略.另外，受傳統(tǒng)“題海戰(zhàn)術”的束縛，學生在解題過程中容易產生思維定式，從而陷入誤區(qū)，難以形成正確的解答.教學中，教師應進行有效的啟發(fā)和指導，幫助學生跳出思維定式的干擾，學會解決問題的策略.

例3 已知圓O的半徑為r，A，B，C為圓O上的點，直線AD⊥直線BC于D，直線BE⊥直線AC于點E，直線AD與直線BE相交于點H.若BH=3AC，則∠ABC所對的弧長是多少？

例3具有一定的綜合性，既考查學生的基礎知識，又考查學生數(shù)學語言的轉化能力.在解題的過程中，學生首先要根據(jù)已知畫出草圖，然后根據(jù)草圖尋找解題策略.這樣若學生畫草圖時出現(xiàn)錯誤，很可能會思維受阻，從而影響解題效果.在畫草圖的過程中，大多學生是先畫出A，B，C三點在圓上的大概位置，然后根據(jù)題設信息畫出相關的垂線或相交線等，即得到如圖5所示的草圖.

圖5中忽視了BH=3AC這一條件，顯然圖形是錯誤的，這樣在錯誤的圖形上探究也很難形成正確的解題策略.出現(xiàn)錯誤后，教師預留時間讓學生繼續(xù)觀察，尋求解決策略.學生提出嘗試移動BC的位置，通過移動發(fā)現(xiàn)，BC越往下移，BC越短，AC越長，顯然不符合題意，從而達成共識，將BC向上移，從而得到了如圖6所示的草圖.大多學生得到圖6后就草草了事，其實認真分析不難發(fā)現(xiàn)，作圖時不僅可以以BC為底，也可以以AC為底，顯然以AC為底的圖7也符合題意.另外，在作圖時發(fā)現(xiàn)，也有部分學生審題不清，將題設中的直線看成了線段，因而畫圖時出現(xiàn)錯誤，影響解題效果.在解題的過程中，要準確把握題設信息，并結合題設信息把圖畫全，這樣才能有效避免出現(xiàn)錯解或漏解的情況，有效提高解題準確率.

應對策略：畫圖是解決幾何問題的關鍵一步，其在解題中的價值是不言而喻的.在日常教學中，教師要重視學生畫圖能力的訓練，以此培養(yǎng)學生畫圖、識圖能力，提高學生直觀想象素養(yǎng)，提升解題效率.

4 邏輯性錯誤

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科，能夠充分鍛煉學生的邏輯思維能力.受傳統(tǒng)教學模式的影響，初中數(shù)學教學大多以“講授＋練習”的方式呈現(xiàn)，使得學生對公式、定理等基礎知識的理解不夠深刻，容易忽視它們的適用范圍及隱含條件，從而出現(xiàn)“想當然”的情況.另外，受“題海戰(zhàn)術”的影響，學生在解題的過程中容易出現(xiàn)生搬硬套，從而因違反邏輯關系而造成錯誤.

例4 如圖8，在矩形ABCD中，AD=2DC，點E在BC上，且AE=AD，求∠EDC的度數(shù).

從學生解題反饋來看，部分學生給出了這樣的解題過程：由AE=AD，可知△ADE為等腰三角形，所以∠EDC=∠DAE.又AD=2DC，∠B=90°，所以∠AEB=30°，則∠EDC=30°.

從以上解題過程中可以看出，學生直接得到∠EDC=∠DAE這一關系顯然有些突兀，應該給出詳細的說明.課后通過追問了解到，學生根據(jù)已知得∠EDC+ADE=90°，而∠ADE+EAD=90°，所以∠EDC=∠DAE.繼續(xù)追問學生是根據(jù)什么得到∠ADE+∠EAD=90°，學生卻說根據(jù)觀察得到的，解題時出現(xiàn)了“想當然”的情況，使得問題的解決缺少邏輯性和嚴謹性，影響解題效果.

應對策略：基于解題時“想當然”的情況的發(fā)生，教師要重視加強學生的邏輯思維訓練，以此有效規(guī)避“假象”的干擾，培養(yǎng)思維的嚴密性，提升數(shù)學推理能力.

5 心理性錯誤

在教學中常常會遇到這樣的情況：有些學生在平時練習和考試時成績非常突出，但是大考時卻發(fā)揮失常.其實以上現(xiàn)象的出現(xiàn)是與學生的心理素質息息相關，大考時學生因壓力大而緊張，因而在解題時大腦中或是思路混亂，或是一片空白，影響解題效果.

應對策略：在日常教學中，教師要關注學生的心理變化，要多給學生一些鼓勵，多給學生一些自主思考、合作交流的時間，鍛煉學生抗干擾和耐挫折的能力，培養(yǎng)學生良好的心理素養(yǎng)，消除學生的急躁、焦慮等負面情緒，讓學生茁壯地成長.

總之，在日常教學中，教師要重視基本功訓練，讓學生學會理性分析、周密思考，幫助學生養(yǎng)成良好的審題習慣、畫圖習慣，重視引導學生揭示問題的本質，幫助學生消除負面情緒，切實提高學生解題能力.