圓周角定理的巧用妙解

摘要：圓周角定理是每年中考必考的一個基本知識點，在解決平面幾何的求值、判斷、證明、綜合等相關問題中都有著廣泛的應用.本文中結合實例，就圓周角定理的應用加以實例剖析，有效指導數學學習與復習.

關鍵詞：圓周角定理；應用；線段；判斷；證明

運用圓周角定理，可以將圓周角相等的問題轉化為弧相等、弦相等或者線段相等等問題，在圓中涉及角或線段的求值、圖形判斷與計算、綜合證明等問題，經常要用到圓周角定理及其推論.下面就圓周角定理的一些常見應用加以實例剖析.

1 角或線段的求值問題

結合圓周角定理，并綜合相似三角形等其他相關知識，可以用來破解涉及長度、比值以及面積等角或線段的求值問題，破解的關鍵是在綜合運用圓周角定理、平行截割中的相關性質與定理、相似三角形的判定與性質以及直角三角形射影定理等，有效考查與培養學生邏輯推理能力與代數運算能力等.

例1 如圖1所示，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點P，若AB=3，CD=1，則sin∠APD=.

分析：結合圓周角中的相關定理確定兩三角形相似，利用相似比并結合同角三角函數的基本關系式來求值.

解析：連接AD，結合題目條件并利用圓周角定理及推論，得△CDP∽△BAP.

于是cos∠APD=PDPA=CDBA=13.

所以sin∠APD=1-132=223.

故填答案：223.

點評：本題主要考查圓周角的相關定理與推論，以及同角三角函數的基本關系式等，充分體現數學中的轉化與化歸思想.在解題過程中注意探索，溝通已知與未知、條件與結論的聯系，不斷轉化，以獲得解題思路.

例2 如圖2所示，已知圓內接△ABC，∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，BD=3，CE=7，BC=5，則線段BE=.

分析：根據同弧、等弧所對的圓周角的特點可轉化為角與角的相等關系，利用相似三角形過渡，建立相應的關系式即可求解線段長度.

解析：由圓周角定理中同弧所對的圓周角相等，知∠EBA=∠ECA.又因為∠ECA=∠ECB，所以∠EBA=∠ECB.又因為∠BED=∠CEB，所以△BDE∽△CBE，則有BECE=BDBC.

所以BE7=35，解得BE=215.

故填答案：215.

點評：本題主要考查圓周角定理及兩個三角形相似的判定與應用等.這里解題的關鍵是圓周角與相似三角形知識間的聯系，圓中知識的綜合應用是對知識和能力的綜合考查，也是根本所在.

2 圖形判斷或綜合證明問題

結合圓周角定理，綜合相似三角形來解決圖形判斷或綜合證明問題等，相應方法很多，解題時應根據條件，結合圖形選擇恰當的方法.判斷相似的推理思路主要有：（1）先找兩組內角相等；（2）若只有一組角對應相等，再判斷這個角的兩鄰邊是否對應成比例；（3）若無角對應相等，則要證明三邊對應成比例.在圖形判斷與綜合證明問題中往往以圓為背景來設置.

例3 如圖3所示，點A，P，B在⊙O上，∠APB=90°，PC平分∠APB，交⊙O于點C，則△ABC的形狀為（" ）.

A.等腰非直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等邊三角形

D.無法確定

分析：結合圓周角的相關定理與推論加以分析，通過直徑與直角的關系及等弧對等弦進行轉化，進而判定三角形的形狀.

解析：因為圓周角∠APB=90°，所以AB為⊙O的直徑，從而∠ACB=90°.

又由于PC平分∠APB，則C為AB的中點，則有AC=CB，從而AC=BC.

所以△ABC為以∠ACB為直角的等腰直角三角形.

故選擇答案：B.

點評：本題主要考查圓周角定理及三角形的性質等.涉及圓中相關的弦、弧，以及直角等問題，往往考慮應用圓周角定理及其相關的推論求解.

例4 如圖4，PC切⊙O于點C，過圓心的割線PAB交⊙O于A，B兩點，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點D，F是PC上一點，且PF=AF，FA的延長線交⊙O于點G.

求證：（1）∠FGD=2∠PBC；（2）PCAG=POAB.

分析：（1）結合輔助線的構造及切線的性質確定OC⊥PC，進而根據條件得到兩直線平行，確定對應角相等，再利用圓周角定理轉化角之間的關系，結合三角形外角的性質，利用等量代換來證明；（2）結合輔助線的構造，利用圓的性質得到直徑所對的圓周角為直角，并通過線段相等來轉化對應的角的關系，進而判斷對應三角形相似，再結合三角形相似的性質來證明線段的比例關系.

證明：（1）連接OC，由于PC切⊙O于點C，則有OC⊥PC.

又BE⊥PE，可得OC∥BE，則有∠POC=∠PBE.

由圓周角定理中同弧所對的圓周角相等，可得∠PBE=∠FGD，則∠POC=∠FGD.

而∠POC=∠PBC+∠OCB=2∠PBC，所以∠FGD=2∠PBC.

（2）連接BG，因為AB是⊙O的直徑，所以可知∠AGB=90°.

又OC⊥PC，則可得∠PCO=90°，于是∠AGB=∠PCO.

又FP=FA，可得∠FPA=∠PAF=∠BAG，所以△PCO∽△AGB，于是PCAG=POAB.

點評：本題主要考查圓周角定理、圓的基本性質、三角形的性質以及相似三角形的判定與性質等相關知識.借助圖形的直觀，合理并巧妙地轉化，是證明問題的關鍵所在，也是在不斷化歸與轉化過程中尋找證明的突破口.

3 綜合應用問題

結合圓周角定理，以及平面幾何的相關知識，可以破解一些平面幾何中的創新應用、推理歸納、猜想總結類的綜合應用問題等.

例5 如圖5-1，5-2，5-3，……5-n，M，N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE……正（n+2）邊形ABCDE…的邊AB，BC上的點，且BM=CN，連結OM，ON.

……

（1）求圖5-1中∠MON的度數；

（2）圖5-2中∠MON的度數是，圖5-3中∠MON的度數是；

（3）試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系（直接寫出答案）.

分析：（1）通過輔助線的構造，結合圓周角定理及相關知識，借助全等三角形的判定與性質加以求解；（2）仿照第（1）小題的解法，合理歸納即可求出對應的角度；（3）進一步歸納總結，確定規律性的結論.

解析：（1）連接OB，OC，由于正三角形ABC內接于⊙O，則知∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°，又因為BM=CN，OB=OC，所以△OBM≌△OCN，則有∠BOM=∠NOC.

所以∠MON=∠BOC=120°.

（2）仿照第（1）小題的解法，可知圖5-2中∠MON的度數是90°，圖5-3中∠MON的度數是72°.

（3）由（1）（2）不難發現，∠MON=360°n.

點評：合理借助圓周角定理等圓的相關知識及全等三角形的判定與性質等，合理歸納，巧妙推理，得以破解此類創新性的綜合應用問題.

圓周角定理有效溝通了圓周角相等、弧相等、弦相等、線段相等等相關要素之間的關系，實現角與線段之間的合理變形與轉化.利用圓周角定理及其對應的推論，解決角或線段的求值、圖形判斷、綜合證明等相關的數學問題，很好地考查直觀想象、邏輯推理、代數運算等數學素養.