“喚醒”學生的題后反思

美籍數學教育家波利亞在《怎樣解題》中把解題過程概括為“審題—探索—表達—回顧”四個環節，明確指出解題回顧是解題過程的最后一個環節，然而我們的學生和老師往往重視前面三個環節，而忽略了“解題回顧”這一重要環節，沒有發揮反思這一重要的教育功能.新課程標準中的問題解決部分也明確指出：“通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經驗.”這句話說明了反思的重要性，數學的學習離不開反思.數學思維活動的核心和動力是反思，通過題后反思總結解題方法，明晰解題思路，提升解題能力.

1 反思的基本內涵及學生反思的主要特征

中國自古就有“吾日三省吾身”“捫心自問”等經典提法.反思的目的在于指導未來思維活動.反思是一種心理活動、一種認識論方法、一種思維活動、一種能力、一個過程.題后反思就是學生在解決問題之后，對問題解答過程中的思維活動和結果進行自我梳理、自我探索、自我調整、自我評價.

作為學生，他們為什么不會善于題后反思？從心理學的角度來分析，人體感覺器官接受到的刺激是非常多的，但人不可能清楚地感受到每一個作用于他的刺激，更不可能對作用于自己的眾多刺激都作出與之相對應的反應.人們往往把自己感興趣的事物作為感知對象，而將其他的事物則當作感知的背景.大多數學生把對解答過程的理解和問題的結果作為感知對象，從而被清楚地感知，但對于這個問題是如何解決的，解決問題的方法及思維過程往往被當作感知的背景，只是很模糊的感知.這就是大部分學生能聽懂但不會做的原因.

2 題后反思的內容

數學思維過程含有對象、過程、結果三個要素.解數學題后的反思也可以是對數學活動的對象、過程及結果進行反思.我們所說的題后反思可以分為：（1）總結性反思.對數學問題的通用解法進行總結、優化、提升，形成通用的解題思路或數學思想方法.（2）錯誤性反思.對解題過程中的思維障礙、錯誤點進行梳理、整改，找到錯誤產生的原因，進而整合自己的認知結構，防止今后碰到類似問題再次發生錯誤.（3）知識點反思.主要反思問題涉及的知識點、解題技能及思維方法.（4）生成性反思.旨在對數學問題的重新建構，以及對解題方法的優化、探究和引申.

3 培養學生解題反思的幾個方面

3.1 反思知識聯系，厘清知識結構

數學的學習是有序的，知識與知識之間是有聯系的.如，八年級的一次函數在本質上其實就是七年級的二元一次方程；九年級的二次函數與x軸的交點情況與八年級的一元二次方程的根的情況相同等.因此，從整體上把握知識的結構，有助于學生理解、領悟知識之間的固有聯系，從本質上理解和把握數學知識，真正提升解決數學問題的能力.

例1 如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，⊙O的半徑r=2，sin B=0.75，求弦AC的長.

本題很多學生的第一反應是過點A作BC的垂線，這樣構造的目的是聯想三角函數與直角三角形的關系，但是沒有把三角函數、直角三角形和圓周角定理三方面的知識緊密聯系在一起.事實上，連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD即可.因此，讓學生去反思并厘清同一個問題中的知識在結構上的相互聯系，對問題的解決有非常大的幫助.

3.2 反思一題多解，培養靈活思維

一道題做完以后，再引導學生探尋多種解法，從而確定最優方案，掌握解決問題的通法和優法.利用不同的方法解決同一類或同一個數學問題，可幫助學生深層次理解問題，培養學生的求異思維，拓寬學生的知識視野，開闊思路，使學生的思維朝著靈活多變、縝密和創新的方向進化，大幅度提升學生的解題能力.

例2 如圖2，已知A（2，2），B（-4，2），C（-2，-1），D（4，-1），試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

方法1：根據兩點間的距離公式，求出AB=CD，BC=AD.依據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

方法2：構造直角三角形，根據勾股定理求出BC=AD，并由坐標得出AB=CD，進而作出判斷.

方法3：由點A與點B的縱坐標相等得出AB平行于x軸，同時計算出AB=6.同理可得CD平行于x軸，且CD=6.依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

方法4：構造Rt△BFC和Rt△AED，證明Rt△BFC≌Rt△AED，得到BC∥AD，BC=AD，即可作出判斷.

方法5：求出直線BC和直線AD的函數解析式，由解析式中k的值可得BC∥AD，進一步結合已知條件即可作出判斷.

方法6：求出AC的中點坐標和BD的中點坐標，發現AC與BD的中點重合，從而說明AC與BD互相平分.依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

教學中充分開展一題多解的教學后，再讓學生思考哪種方法最佳.這樣的反思過程能讓學生學會發散性反思，通過做極少的題目，達到復習鞏固的效果，能夠幫助學生從題海中解脫出來，并且解題思維更加靈活多變，解題方法也更加多種多樣.

3.3 反思問題本質，提高抽象思維

問題解決后再次重新剖析問題，適時引導學生將某些題目進行適當改變、延伸，促使學生抓住問題的本質，探尋問題之間存在的內在聯系，探索一般規律，從而重新認識數學問題，激發學生的學習興趣及求知欲望，培養學生自主探究的良好習慣，進而培養學生的創造能力，不斷提高思維的抽象程度.

例3 已知等邊三角形ABC，其邊長為a，兩個頂點A，B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，求OC長的最大值．

解：如圖3，連接OC，取AB的中點E，連接CE，OE，顯然OC≤OE+CE，當O，C，E三點共線時OC最大.

例4 如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點A從點O開始沿x軸的正方向移動，點B在∠xOy的平分線上移動，求點C到原點O的最大距離.

很多學生解答例4的時候跟例3的思考過程一樣，取AB的中點E，連接CE，OE（如圖5），當O，C，E三點共線時OC取得最大值.然而為什么此時OC最大學生都說不清楚，因為OE的長不是定值，究其原因沒有抓住問題的本質.如圖6構造△AOB的外接圓⊙H，因為圓周角∠AOB=45°，所以圓心角∠AHB=90°.因為AB=2，所以AH=BH=2.連接CH交AB于點E，進一步可得CH⊥AB，則EH=1，又CE=3，所以CH=1+3.因為OC≤OH+CH，而OH與CH的和是個定值，所以當O，H，C三點共線時，OC的長度最大，此時OC=OH+CH=1+2+3.

例4的這種方法才是例3和例4這兩道題的通法，也是真正抓住了解決這類問題的本質.例3中，點E和△AOB的外心重合，且E又剛好是AB的中點，由于思維定勢，因此做例4時學生也會先去找AB的中點.由于例3中可以根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”確定OE的長不變，因此沒有必要畫出輔助圓.所以解答例4時學生也就想不到要構造輔助圓，因而就不能像例3一樣將OC的長轉化成小于等于兩條固定線段的長度之和，找不到解決問題的突破口，抓不住問題的本質，從而也就說不清楚為什么O，C，E三點共線時OC取得最大值.

3.4 反思解題關鍵，精確概括思維

數學的問題是千變萬化的，但是數學知識是不變的，所以在數學中經常會碰到同一類型問題.如果能找到解決同一類問題的方法或規律，在解題上就能達到做一道、會一類、通一片的效果.

例5 如圖7，正方形OABC，ADEF的頂點A，D，C在坐標軸上，點F在AB上，點B，E在函數y=1x（xgt;0）的圖象上，求點E的坐標.

例6 如圖8，P1是反比例函數y=kx（k＞0）在第一象限圖象上的一點，點A1的坐標為（2，0），△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數的解析式及點A2的坐標.

例7 如圖9，正方形A1B1P1P2的頂點P1，P2在反比例函數y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A1，B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，求點P3的坐標.

上述三道題，解題時首先都要緊緊抓住第一個特殊圖形的性質，先求出雙曲線上點的坐標，然后設所求點的橫坐標，借助特殊圖形的性質表示出該點的縱坐標，最后把該點的坐標代入到已知的解析式中即可.有了這樣的解題關鍵的反思，就可以解決相同類型的問題.

3.5 反思思維策略，掌握基本思想

當學生解完題后，引導他們對自己的解題過程進行反思，進一步明確解題過程中用到的數學原理，提煉或加工解題的具體方法，歸納出一般的數學思想方法.

例8 求代數式x2+4+（12-x）2+9的最小值.

筆者在教學中，引導學生回憶并利用兩點之間的距離公式，把需要求解的問題轉化為求x軸上的動點P到兩定點A（0，2）和B（12，3）的距離之和的最小值，如圖10，然后根據兩點之間線段最短解決這一幾何問題.為了加深數形結合的思維策略，在學生反思之后，筆者馬上給出了一道難度有所上升的變式題：

例9 求代數式12|x-1|+（12-x）2+9的最小值.

學生有了解答例8的經驗之后，依據數形結合思想，將這一問題轉化為求x軸上的動點P到點B（12，3）的距離與到點A（1，0）的距離一半的和的最小值，即求PB+PC的最小值，然后依據點到直線的距離中垂線段最短即可解決.

最后，再對這兩道題目進行反思，讓學生明白這兩題都是借助“形”的生動和直觀性來闡明“數”之間的聯系，即以“形”作為手段，以“數”為目的，用“形”解決“數”的問題，讓學生充分感受到數形結合思想在數學中的地位和作用.

3.6 創造性反思，拓展學生視野

一道典型例題解完以后，引導學生進行“一題多變”探索，可幫助學生更加系統、全面地掌握知識.教師應充分發揮典型例題在知識層面和能力層面的輻射功能，從原題中挖掘出與原題無關，但會讓學生從更深的層面了解題目，提高學生思維深刻性的問題，讓學生思維開闊起來.

例10 如圖12，正方形ABCD中，E，F分別是BC，DC上兩個動點，∠EAF=45°，請說明BE+DF與EF的數量關系.

通過證明，可知BE+DF=EF.原題的解答本來可以到此為止，但實際上這題還能作更大的文章，可以引導學生進行以下思考：

（1）若BE+DF=EF，則∠EAF的度數是45°嗎？（題設與結論互換，培養學生逆向思維的能力.）

（2）連接EF，線段EF的長度何時最小，最小值是多少？此時，CE和CF有什么關系？當點EF最短時，△AEF的面積為何值？△CEF的面積又是何值？此時△CEF的內切圓半徑是多少？

（3）如圖13，連接BD，交AE于點M，交AF于點N，以BM，MN，DN為邊的三角形是什么三角形？請說明理由.

（4）如圖14，延長AE交DC的延長線于點G，延長AF交BC的延長線于點H，判斷△CGH的面積是否為定值？請說明理由.

（5）如圖15，當點

E，F同時在直線CD上時，AE交BC的延長線于點P，連接PF，猜想DF，PF，BP三者的數量關系，并說明理由.

通過對上述問題的反思，學生的學習熱情會再次高漲.不僅讓學生從原題出發向內發展思考新問題，也可以從原題出發向外變化發展思考新問題，不斷猜想并提出新的問題.學生的探究欲望再次飛揚，思維水平進一步提高.這樣不僅能拓展學生的視野，更能培養學生改編試題的能力，大大提高學生的創造性思維.

總之，教師在教學中要重視對綜合性、典型性、解題思路獨特、解題過程中易發生錯誤的題目以及對學生創新能力和思維能力的培養有較大幫助的題目的反思.鼓勵學生反思，并巧妙利用反思，不斷思考解題過程中蘊含的數學方法、數學思想，并能作出新的判斷.這樣就能不斷提升學生思維的層次，大大提高學生的解題能力.