中考數學探究性問題解題技巧初探

摘要：中考數學探究性問題是近年來出現的一種新題型，側重考查考生的歸納、猜想、探索和發現問題、解決問題的綜合能力.本文中結合浙江省部分地市最新中考試題，通過對題型的歸類與解析，探討和總結了探究性問題的答題方法與技巧.

關鍵詞：函數應用型；數字規律型；拓展延伸型；證明圖形關系；數形結合與轉化

近年來，浙江省各地的中考數學中出現了一些新穎別致、具有創新意識和創新思維的探究性題型，這類題型側重考查學生獨立思考、探索和探究問題、解決問題的綜合能力，充分體現了新課改“由知識向能力轉變”的改革精神.由于這類題型要求學生具有臨場閱讀、提取信息和進行信息加工、處理以及解決問題的綜合能力，試題既沒有固定的模式，也沒有現成的答題方法和套路可用，所以大多數考生都因一時找不到解題思路和突破口而產生了懼怕、放棄的心理[1].因此，幫助學生在熟悉探究性問題題型的基礎上，樹立信心，消除畏難情緒，能在考場上鎮定快速地找到解題思路和突破口，是我們初中數學教師急待探討和解決的問題.

1 函數應用型

例1 （2022年浙江省溫州市中考試題）根據以下素材（見表1），探索完成任務：

解析：任務1：以拱頂為原點，建立如圖4所示的平面直角坐標系，則頂點為（0，0），且經過點（10，－5）.

設該拋物線的函數表達式為y=ax2（a≠0），

則有－5=100a，解得

a=－120.

故該拋物線的函數表達式為y=－120x2.

任務2：由于水位再上漲1.8 m達到最高，燈籠底部距離水面至少1 m，燈籠長0.4 m，因此

懸掛點的縱坐標y≥－5+1.8+1+0.4=－1.8.

所以懸掛點的縱坐標的最小值是－1.8.

令y=－1.8，由－1.8=－120x2，解得x1=6或x2=－6.

故懸掛點的橫坐標取值范圍是－6≤x≤6.

任務3：有以下兩種設計方案.

方案一：從拋物線頂點處開始懸掛燈籠.

由于－6≤x≤6，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為1.6 m，若頂點一側掛4盞燈籠，則1.6×4gt;6；

若頂點一側掛3盞燈籠，則1.6×3lt;6.

因此頂點一側最多可掛3盞燈籠.又掛滿燈籠后成軸對稱分布，可以共可掛7盞燈籠.

故最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是－4.8.

方案二：從對稱軸兩側開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8 m.

若頂點一側掛5盞燈籠，則0.8+1.6×4gt;6；

若頂點一側掛4盞燈籠，則0.8+1.6×3lt;6.

因此頂點一側最多可掛4盞燈籠.

又掛滿燈籠后成軸對稱分布，所以共可掛8盞燈籠.

故最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是－5.6.

思路與技巧：本題考查了二次函數的應用，根據題意建立坐標系，熟練運用二次函數的有關性質是解題的關鍵.其中任務1，以拱頂為原點，建立平面直角坐標系，即可用待定系數法求出解析式；

任務2，根據題意求出懸掛點的縱坐標，再代入函數解析式即可求出橫坐標的范圍；

任務三，分情況討論，有“從頂點處懸掛”和“從對稱軸兩側開始懸掛”兩種設計方案.

2 數字規律型

例2 （2022年浙江省嘉興市中考試題）設a5是一個兩位數，其中a是十位上的數字（1≤a≤9）.例如，當a=4時，a5表示的兩位數是45.

（1）嘗試：

①當a=1時，152＝225＝1×2×100＋25；

②當a=2時，252＝625＝2×3×100＋25；

③當a=3時，352＝1 225＝；

…………

（2）歸納：a52與100a（a+1）+25有怎樣的大小關系？試說明理由.

（3）運用：若a52與100a的差為2 525，求a的值.

解析：（1）當a=3時，352=1 225=3×4×100+25.

（2）a52與100a（a+1）+25相等.理由如下：

a52=（10a+5）2

=100a2+100a+25

=100a（a+1）+25.

（3）由a52與100a的差為2 525，得

100a2+100a+25－100a=2 525.

整理得100a2=2500，解得a=±5.

又1≤a≤9，所以a=5.

思路與技巧：本題考查的是數字的規律探究，按照“嘗試—歸納—運用”的順序與思路，運用完全平方公式、多項式乘法、平方根的含義等來設方程、解方程，其中充分理解題意、列出運算式或方程是破解本題的關鍵.

3 拓展延伸型

例3 （2022年浙江省寧波慈溪市中考模擬試題）

【證明體驗】（1）如圖5，在△ABC和△BDE中，點A，B，D在同一直線上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求證：△ABC∽△DEB.

（2）如圖6，圖7，AD＝20，B是線段AD上的點，AC⊥AD，AC＝4，連接BC，M為BC中點，將線段BM繞點B順時針旋轉90°至BE，連接DE.

【思考探究】①如圖6，當DE=22ME時，求AB的長.

【拓展延伸】②如圖7，G是CA延長線上一點，且AG＝8，連接GE，∠G＝∠D，求ED的長.

（1）證明：∵∠A＝90°，

∠CBE＝90°，

∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°.

∴∠C＝∠DBE（同角的余角相等）.

又∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC∽△DEB.

（2）解：①因為點M繞點B順時針旋轉90°至點E，M為BC中點，

所以△BME為等腰直角三角形，且BEBC=BMBC=12，

則BE=22ME.又DE=22ME，所以BE=DE.

如圖8，過點E作EF⊥AD，垂足為F，則BF＝DF.

由∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，結合（1）得△ABC∽△FEB，則BFAC=BEBC=12.又AC＝4，則BF＝2.

故AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16.

②如圖9，過點M作AD的垂線交AD于點H，過點E作AD的垂線交AD于點F，過點D作DP⊥AD，過點E作NP⊥DP，交AC的延長線于點N.

由M為BC中點，MH∥AC，得MHAC=BMBC=BHAB=12.

所以MH=12AC=2，BH＝AH.

由∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，結合（1）可得△HBM∽△FEB.

又MB＝EB，所以

△MHB≌△BFE.

所以BF＝MH＝2，EF＝BH.

設EF＝x，則DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x，GN＝x＋8，NE＝AF＝2x＋2.

易證得△NGE∽△PED，則有

PENG=PDNE，即18－2xx+8=x2x+2，解得x1=6，x2=－65（舍去），所以FD＝18－2x＝6.

故ED=EF2+FD2=62+62=62.

思路與技巧：本題是解三角形問題的拓展延伸，解題時要用到相似三角形的性質與判定、同角的余角相等、旋轉、等腰三角形、全等三角形的性質與判定等相關知識，牢固掌握并靈活運用這些知識點，通過分析題目的已知條件恰當地作出輔助線，能根據三角形相似的性質列出方程是解題的關鍵.

4 研究證明圖形關系型

例4 （2022年浙江省臺州市中考試題）圖10中有四條優美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖11，在正方形ABCD各邊上分別取點B1，C1，D1，A1，使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，依次連接它們，得到四邊形A1B1C1D1；

再在四邊形A1B1C1D1各邊上分別取點B2，C2，D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1，依次連接它們，得到四邊形A2B2C2D2；……如此繼續下去，便得到四條螺旋折線.

（1）求證：四邊形A1B1C1D1是正方形；

（2）求A1B1AB的值；

（3）請研究螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段之間的關系，寫出一個正確結論并加以證明.

解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=90°，又AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，

∴AA1=BB1=15AB.

∴△AB1A1≌△BC1B1.

∴A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1.

又∠BC1B1+∠BB1C1=90°，

∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.

∴∠A1B1C1=90°.

同理，可證B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.

∴四邊形A1B1C1D1是正方形.

（2）由AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，設AB=5a，則AB1=4a.

∴B1B=AA1=a.

∴由勾股定理，得A1B1=17a.

∴A1B1AB=17a5a=175.

（3）結論1：螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段的比均為51717或175.

證明：因為AB1=45AB，所以BB1=15AB.

同理，B1B2=15A1B1，故B1BB1B2=ABA1B1=51717.

同理，可得B1B2B2B3=51717，……

故螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段的比均為51717或175.

結論2：螺旋折線BB1B2B3…中相鄰線段的夾角的度數不變（證明略）.

思路與技巧：本題考查了圖形變化關系的探究證明，涉及到正方形、三角形（相似與全等）的性質與判定、勾股定理等知識，按照作圖方法的提示來研究和證明相鄰線段之間的關系是解題的突破口.

綜上所述，浙江省的中考數學探究性題型具有明顯的特征，大多是以“提出問題-探究問題-解決問題”為主線來設計的，解題也可以采用“操作-猜想-分析-實驗-推理-歸納-發現”這樣的思路來考慮.當然，探究性問題中往往涉及代數與幾何交叉的多個知識點，綜合性很強[2]，這就要求我們在解題時要運用數形結合和轉化的思想來研究問題，把相關的知識點串聯、貫通起來，這樣才能做到思路豁然，左右逢源，快速地找到解題的突破口.

參考文獻：

[1]趙亞軍.數學探究中彰顯問題意識[J].數學之友，2022（7）：36-37.

[2]周曉瑜.初中數學探究性問題開放性教學實踐與反思——以中考第一輪“圖形與幾何”復習為例[J].中學數學，2021（6）：39-40.