中考尺規作圖常見題型解法例析

摘要：尺規作圖考查學生動手實踐能力和運用數學知識解決問題的能力.中考對作圖的考查，立足基礎，注重聯系實際，常與圖形的證明、計算等結合起來，既考查學生尺規作圖的動腦動手能力，又側重考查他們多方位、多角度、多層次探究問題的發散思維能力.

關鍵詞：基本作圖；作三角形；對稱作圖；網格作圖；作內切圓；作外接圓

尺規作圖就是用沒有刻度的直尺和圓規的作圖.《義務教育數學課程標準（2022年版）》對尺規作圖提出了明確的要求：①能用尺規完成以下基本作圖.作一條線段等于已知線段；作一個角等于與已知角；作一個角的角平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.②會利用基本作圖作三角形；已知三邊或兩邊及其夾角或兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.③會利用基本作圖完成“過不在同一直線上的三點作圓，作三角形的外接圓、內切圓，作圓的內接正方形和正六邊形”.④在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.由此可見，尺規作圖不僅是初中數學的必學內容，更是學習幾何、解決幾何問題的一種十分有效方法與技巧[1].

近年來，幾何作圖題在各地的中考中已成為高頻考點，值得我們高度重視.下面以2022年部分省市中考試題為例進行中考尺規作圖常見題型的剖析.

1 尺規基本作圖

例1 （2022年浙江省臺州市中考試題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點D，連接AD.用無刻度的直尺和圓規作出劣弧AD的中點E.

（保留作圖痕跡，不寫作法.）

解析：如圖2，E就是所要作的AD的中點.

本題除上述作法外還有如下兩種作法，圖3、圖4中的點E分別為所求.

方法與技巧：本題主要考查了根據等腰三角形、切線的性質用尺規作圖的基本方法作圖.本題的作圖用了3種方法，技巧主要體現在根據等弧所對的圓周角相等，可以作出AD的垂直平分線、∠ABD的角平分線和∠AOD的角平分線.

2 用尺規作三角形并證明

例2 （2022年浙江省杭州市中考模擬沖刺試題）

如圖5，已知△ABC，點D在邊BC上，

∠ADB＝2∠C.

（1）尺規作圖：作出點D.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）若∠A＝∠B+∠C，求證：D是BC中點.

（1）作法1：如圖6，點D即為所求.

作法2：如圖7，點D即為所求.

（2）證法一：如圖7，連接AD.

∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C，

∴∠C＝∠CAD.

∴AD＝CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C，

∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝90°.

∵∠DAB＝90°-∠CAD，∠B＝90°-∠C，

∴∠DAB＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中點.

證法二：同證法一，∠C=∠CAD，AD=CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD，

∴∠BAD＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中點.

方法與技巧：用尺規作三角形是最常見的中考作圖題型.本題第（1）問作圖的方法1，實際上就是過點D作出平行于△ABC邊AB的平行線；方法2是根據已知條件∠ADB=2∠C，實際上是運用了三角形外角定理（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）.第（2）問主要利用等腰三角形和直角三角形的性質，靈活運用了等量代換、線段相等的證明方法.

3 利用對稱特點作圖

例3 （2022年浙江省寧波市中考試題）圖8，圖9都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形.

（1）在圖8中畫出等腰三角形ABC，且點C在格點上.（畫出一個即可.）

（2）在圖9中畫出以AB為邊的菱形ABDE，且點D，E均在格點上.

解析：（1）如圖10、圖11（答案不唯一）.

（2）如圖12.

方法與技巧：本題考查了軸對稱圖形、中心對稱圖形的特點，只要熟練掌握特殊三角形與特殊四邊形的性質就能夠準確地在網格上畫出符合條件的圖形.

4 在網格上作圖

例4 （2022年哈爾濱市中考試題）如圖13，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上.

（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；

（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4.連接DH，請直接寫出線段DH的長.

解析：（1）如圖14.

（2）由圖14，可知

DH=32+42=5.

方法與技巧：網格內的作圖問題也是常見的中考作圖題，解題的關鍵是找準關鍵性的格點，挖掘出網格中隱含的數量關系.本題主要考查了考生利用軸對稱變換、平行四邊形的性質作圖的動手能力；求線段的長度又能檢測考生能否靈活運用勾股定理，準確畫出圖形是解答本題的關鍵.

5 作內切圓并求面積

例5 （2022年綏化市中考試題）已知△ABC（如圖15）.

（1）尺規作圖：用直尺和圓規作出△ABC內切圓的圓心O.（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明.）

（2）如果△ABC的周長為14 cm，內切圓的半徑為1.3 cm，求△ABC的面積.

解析：（1）如圖16所示，O即為所求作的圓心.

（2）如圖17所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分別為垂足.

∵內切圓的半徑為1.3 cm，

∴OD=OF=OE=1.3 cm.

∵AB+BC+AC=14 cm，

∴S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC=12×AB×OD+12×BC×OE+12×AC×OF

=12×1.3×（AB+BC+AC）=12×1.3×14=9.1（cm2）.

故△ABC的面積為9.1 cm2.

方法與技巧：本題考查了利用角平分線的性質用尺規作三角形內切圓的技巧及運用割補法求幾何圖形的面積等相關知識點，能夠將角平分線的性質與三角形的內切圓相結合是解決本題的關鍵.第（1）小題作圖的根據是“角平分線的交點即為三角形內切圓的圓心”，故只要作出兩個角的角平分線即可；第（2）小題利用割補法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個小三角形，這三個小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內切圓的半徑，利用提取公因式法即可將周長代入，進而求出三角形的面積.

6 作外接圓并求值

例6 （2022年甘肅省平涼市中考模擬試題）如圖18，圖19，已知銳角△ABC中，AC=BC.

（1）請在圖18中用無刻度的直尺和圓規作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O.（不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則sin B=.（如需畫草圖，請使用圖19.）

解析：（1）如圖20所示.

（2）連接OA.

∵AC=BC，

∠ACB的平分線為CD，

∴AD=BD=12AB=245，

CD⊥AB.

∵⊙O的半徑為5，

∴OD=OA2－AD2=52－2452=75.

∴CD=CO+OD=5+75=325.

∴BC=BD2+CD2=2452+3252=8.

∴sin B=CDBC=3258=45

.

方法與技巧：本題主要考查尺規基本作圖，涉及到等腰三角形的性質、勾股定理、銳角三角函數的定義等知識點，理解三角形外接圓的圓心是三角形各邊中垂線的交點，是解題的關鍵.

第（1）問，按照尺規作角平分線的步驟，即可作∠ACB的平分線CD，作出AC的中垂線交CD于點O，再以點O為圓心，OC為半徑，畫圓即可；第（2）問連接OA，根據等腰三角形的性質得AD=BD=245，由CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進而即可求解.

7 作幾何體的三視圖

例7 （2022年陜西省西安市鐵一中模擬試題）校園體育場的東側有一個由3個相同的立方塊搭建而成的升旗臺（如圖21），試畫出它的主視圖和俯視圖.

解析：圖21對應的主視圖及俯視圖如圖22所示.

方法與技巧：本題旨在考查考生對空間與平面之間相互關系的理解與把握，側重考查幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化能力.從正面看到的平面圖就是主視圖，從上往下看到的平面圖形則是俯視圖.

從全國范圍來看，與尺規作圖有關的題型有很多，近年來有些省市還推出了一些設計新穎、富有創意的新題型.尺規作圖考查的知識點多、范圍廣，涵蓋了各種題型，尤其是在解答題中，會作圖、準確地作出圖形已成為解題的必備條件和突破口.因此，教師在平時的教學和復習備考中，要強化學生作圖的基本功訓練，不僅要求學生會尺規作圖，還要求學生明白尺規作圖的道理[2].作圖的目的是為了解題，要引導學生在數形結合思想的指導下，激活思維，不斷開拓思路，通過作圖和推理分析，能夠順利地找到解題的突破口與最優方法.

參考文獻：

[1]吳春林.淺談初中數學畫圖、作圖教學[J].數理化解題研究（初中版），2010（11）：21-22.

[2]趙淵.運用尺規作圖培養學生的深度思維[J].新校園，2022（11）：19-20，38.