中考統(tǒng)計(jì)與概率三大題型考查特點(diǎn)及解題路徑分析

初中數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)與概率是中考試題中的重要組成部分之一.統(tǒng)計(jì)與概率涉及數(shù)據(jù)的收集、整理、分析以及對未來事件的預(yù)測，是數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用之一，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和分析問題能力的重要手段.在中考試題中，統(tǒng)計(jì)與概率通常會(huì)涉及以下幾個(gè)方面：理解如何收集數(shù)據(jù)，使用圖表（如條形圖、折線圖、餅圖等）來表示數(shù)據(jù)，并能夠從圖表中提取信息；掌握基本的概率概念，如隨機(jī)事件的概率、互斥事件、獨(dú)立事件等，并能夠應(yīng)用概率公式進(jìn)行計(jì)算，解決與概率相關(guān)的問題；了解統(tǒng)計(jì)量的概念，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，以及它們在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用.此外，還需要能夠計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并進(jìn)行數(shù)據(jù)的比較和分析；能夠應(yīng)用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)解決實(shí)際問題.

1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)試題

1.1 真題再現(xiàn)

某初中學(xué)校為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，開設(shè)了勞動(dòng)技能培訓(xùn)課程.為了解培訓(xùn)效果，學(xué)校對七年級(jí)320名學(xué)生在培訓(xùn)前和培訓(xùn)后各進(jìn)行一次勞動(dòng)技能檢測，兩次檢測項(xiàng)目相同，評(píng)委依據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行現(xiàn)場評(píng)估，分成“合格”“良好”“優(yōu)秀”3個(gè)等級(jí)，依次記為2分、6分、8分.學(xué)校隨機(jī)抽取32名學(xué)生的2次檢測等級(jí)作為樣本，繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖（圖1）.

（1）這32名學(xué)生在培訓(xùn)前得分的中位數(shù)對應(yīng)等級(jí)應(yīng)為；（填“合格”“良好”或“優(yōu)秀”）

（2）這32名學(xué)生培訓(xùn)后比培訓(xùn)前的平均分提高了多少？

（3）利用樣本估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生中，培訓(xùn)后檢測等級(jí)為“良好”與“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)之和是多少？

試題分析：（1）32個(gè)數(shù)據(jù)排在最中間是第16個(gè)，第17個(gè)，這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，所以這32名學(xué)生在培訓(xùn)前得分的中位數(shù)對應(yīng)等級(jí)應(yīng)為“合格”.（2）32名學(xué)生在培訓(xùn)前的平均分為132（25×2+5×6+2×8）=3（分），32名學(xué)生在培訓(xùn)后的平均分為132（8×2+16×6+8×8）=5.5（分），這32名學(xué)生培訓(xùn)后比培訓(xùn)前的平均分提高了5.5-3=2.5（分）.（3）培訓(xùn)后檢測等級(jí)為“良好”與“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)之和是320×16+832=240（人）.

1.2 考查特點(diǎn)分析

中考數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)主要包括以下幾個(gè)方面：①考查基礎(chǔ)知識(shí).數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)試題通常會(huì)考查學(xué)生對基本統(tǒng)計(jì)概念的理解，例如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、頻率、概率等.②數(shù)據(jù)分析能力.試題可能會(huì)給出一組數(shù)據(jù)，要求學(xué)生進(jìn)行分析、整理和歸納.③圖表解讀.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)試題通常會(huì)涉及到圖表，如表格、柱狀圖、折線圖、餅圖等.④實(shí)際問題應(yīng)用.試題往往會(huì)結(jié)合實(shí)際生活中的問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題.⑤計(jì)算技能的考查.部分試題可能涉及到一些簡單的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，如求平均數(shù)、中位數(shù)等.

2 數(shù)據(jù)分析試題

2.1 真題再現(xiàn)

小明的爸爸準(zhǔn)備購買一輛新能源汽車，在爸爸的預(yù)算范圍內(nèi)，小明收集了A，B，C三款汽車在2022年9月至2023年3月期間的國內(nèi)銷售量（圖2）和網(wǎng)友對車輛的外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)等四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)（圖3）.

（1）數(shù)據(jù)分析：①求B款新能源汽車在2022年9月至2023年3月期間月銷售量的中位數(shù)；②若將車輛的外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務(wù)等四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)按2∶3∶3∶2的比例統(tǒng)計(jì)，求A款新能原汽車四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù).

（2）合理建議：請按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的比例，并結(jié)合銷售量，以此為依據(jù)建議小明的爸爸購買哪款汽車？說說你的理由.

試題分析：（1）①由中位數(shù)的概念可得，B款新能源汽車在2022年9月至2023年3月期間月銷售量的中位數(shù)為3 015輛；②x1=（72×2+70×3+67×3+64×2）÷（2+3+3+2）=68.3（分）.故A款新能原汽車四項(xiàng)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為68.3分.（2）給出1∶2∶1∶2的權(quán)重時(shí)，xA=（72×1+70×2+67×1+64×2）÷（1+2+1+2）≈67.8（分），xB=（70×1+71×2+70×1+68×2）÷（1+2+1+2）≈69.7（分），xC=（75×1+65×2+67×1+61×2）÷（1+2+1+2）≈65.7（分），結(jié)合2023年3月的銷售量，可以選B款.

2.2 考查特點(diǎn)分析

①數(shù)據(jù)理解和分析能力：試題可能給出一組真實(shí)或虛擬的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生理解數(shù)據(jù)的含義，并進(jìn)行分析和推斷.②圖表解讀和應(yīng)用：試題常常包括各種形式的圖表，如表格、柱狀圖、折線圖、餅圖等.③實(shí)際問題應(yīng)用：試題往往結(jié)合實(shí)際生活中的問題，要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)據(jù)分析方法解決實(shí)際問題.④統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：部分試題可能涉及到統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等.⑤推理和判斷能力：試題可能會(huì)涉及到一些推理和判斷題型，要求學(xué)生根據(jù)給定的數(shù)據(jù)和條件進(jìn)行推理和判斷.

3 概率試題

3.1 真題再現(xiàn)

中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分.若從這四部著作中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回，再隨機(jī)抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是.

試題分析：用樹狀圖（圖略）把所有情況列出來，即可求出答案.共有12種組合，所以抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率212=16.

3.2 考查特點(diǎn)分析

①基礎(chǔ)概念理解：試題會(huì)考查學(xué)生對概率基本概念的理解，例如事件、隨機(jī)事件、概率等.②概率計(jì)算能力：試題可能涉及到概率的計(jì)算，包括經(jīng)典概率計(jì)算、幾何概率計(jì)算等.③概率模型應(yīng)用：試題可能會(huì)要求學(xué)生根據(jù)給定的情境建立概率模型，并據(jù)此進(jìn)行問題分析和計(jì)算.④概率問題解決能力：試題會(huì)給出一些具體的問題情境，要求學(xué)生利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題.

4 解題路徑

①理解問題：仔細(xì)閱讀題目，確保理解題目所涉及的概念和要求，確定題目中給出的數(shù)據(jù)、圖表或條件.②分析題目類型：確認(rèn)題目是屬于統(tǒng)計(jì)問題、概率計(jì)算問題還是圖表分析問題.對于統(tǒng)計(jì)問題，確定是頻數(shù)統(tǒng)計(jì)還是統(tǒng)計(jì)規(guī)律問題；對于概率計(jì)算問題，確定是概率計(jì)算還是概率推斷問題；對于圖表分析問題，確定是數(shù)據(jù)比較還是數(shù)據(jù)預(yù)測問題.③制訂解題計(jì)劃：根據(jù)題目類型和要求，制定解題的計(jì)劃和步驟.④整理數(shù)據(jù)或圖表：將題目中提供的數(shù)據(jù)或圖表整理出來，以便更好地進(jìn)行分析和計(jì)算.⑤確定解題方法：根據(jù)題目要求和所給數(shù)據(jù)，選擇合適的解題方法.⑥計(jì)算或分析：進(jìn)行具體的計(jì)算或分析，根據(jù)題目要求進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)、概率計(jì)算或圖表分析.⑦檢查答案：回顧整個(gè)解題過程，確保沒有計(jì)算錯(cuò)誤或邏輯錯(cuò)誤，檢查答案是否與題目要求相符，是否符合常識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律.⑧補(bǔ)充解釋（可選）：如果題目要求提供解題過程或解釋，可在最后補(bǔ)充解釋解題思路和方法.⑨寫出完整答案：將計(jì)算結(jié)果或分析結(jié)論寫成完整的答案，確保清晰明了，以便閱卷老師理解和評(píng)分.