積累策略 合理轉化 推理分析

1 試題呈現

（2022年武漢市中考第23題）

問題提出：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE＝DB，延長ED交AB于點F，探究AFAB的值．

問題探究：（1）先將問題特殊化．如圖2，當∠BAC＝60°時，直接寫出AFAB的值.

（2）再探究一般情形．如圖1，證明（1）中的結論仍然成立．

問題拓展：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC＝1n（n＜2），延長BC至點E，使DE＝DG，延長ED交AB于點F．直接寫出AFAB的值（用含n的式子表示）．

2 解題探究

本題問題探究的第（1）問可以使用特殊三角形進行計算，比較容易，問題拓展在問題探究第（2）問的基礎上即可完成，不做探究.下面主要針對問題探究中的第（2）問展開探究.

2.1 分析條件，調動積累

本題中有兩個等腰三角形，自然聯想到使用等腰三角形“等邊對等角”和“頂角的角平分線與底邊中線、高線三線合一”的性質，比如，分別過點A或點D作底邊的垂線.同時給推導角的關系一定的啟示，由AB＝AC，DE＝DB，得∠ABC＝∠BCA，∠DBC＝∠E，再根據∠ABD＝∠ABC-∠DBC，∠EDC＝∠ACB-∠E，可得∠ABD＝∠EDC（結論①）.

另一個重要條件是“D是AC的中點”.中點的應用十分豐富，直接體現是AD=DC，進一步調動積累的解題經驗，會聯想到多種處理辦法.例如中線倍長，取中點構造中位線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，中線平分面積，等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高線也是頂角的角平分線，等等.

2.2 轉化結論，尋找策略

第（2）問是計算線段的比值，一般解決辦法是求出線段的具體長度，或者間接尋找線段與線段之間的數量關系.本題由于沒有線段長度的條件，所以應考慮后者.求AF∶AB也就是求AF∶BF或BF∶AB，即F是線段AB的幾等分點，于是會聯想到作平行線構造相似得對應線段的比的做法.例如，過點A作BC的平行線與EF的延長線相交的方法.再結合第（1）問特殊情況下的結論，可以猜想F仍是線段AB的四等分點.通過將目標問題逐步轉化為更明了的待證結論，解題思路也就逐漸“浮出水面”.

2.3 推而理之，分而析之

在充分調動積累的解題策略、分析已知條件和轉化問題結論的基礎上，進行邏輯推理，解題思路漸漸清晰，可以有多種嘗試，得到了不少于以下介紹的9種方法.這種前后聯系、推理分析的能力是對學生邏輯推理素養的考查.

方法1：由結論①，可得到△ADF∽△ABD，所以AFAD=ADAB.又D是AC中點，所以可得AF=12AD=14AC=14AB，則AFAB=14.

此方法不需要添加任何輔助線，通過角的關系就能發現相似三角形，從而找到AF與AD的數量關系，問題迎刃而解.這種解法體現出，條件的透徹分析和解讀對解題有很好的啟示作用.

方法1的兩種等價證法：如圖4，過點C作CM∥AB交EF于點M，可證△ADF≌△CDM，△CDM∽△ABD，所以AF=CM=12AD=14AB.

如圖5，過點E作EN∥AB交AC的延長線于點N，可證△ADB≌△NED，可得DN=AB=AC，所以AD=DC=CN=EN=12AB.又因為△AFD∽△NED，所以AF=12EN=14AB.

這兩種證法相對方法1需要多證一次全等三角形來轉化線段，第二種方法在推導邊的關系時稍微復雜點，但本質還是證明△ADF∽△ABD作為破題的關鍵點，所以倘若沒有直接想到解法1，可以在反思中優化解法.

方法2：如圖6，取BC中點H，連接DH，則可證得DH∥AB，△DBH≌△DEC，則EC=HC=BH，AB=2DH.根據△EDH∽△EFB，可得FBDH=EBEH=32，易得AF=14AB.

此證法過點D作DH∥AB交BC于點H，可類似證出.

方法3：如圖7，過點D作DH∥BC交BA于點H，可證△BDH≌△DEC，△ADH∽△ACB，則BC=2DH=2EC.由于可證△BCD∽△EBF，因此FBDC=EBBC=32，BF=32CD=34AB，易得AFAB=14.

此證法取BA中點H，連DH，亦可證出.

方法4：如圖8，過點A作AP∥BC交EF延長線于點P，過點D作DH∥BC交BA于點H，可以證得△APD≌△CEB，△BDH≌△DED，于是AP=EC=DH=12BC，再由△APF∽△BEF，易得FAFB=APBE=13，即AFAB=14.

方法5：如圖9，過點A作PH∥BC交EF的延長線于點P，交BD的延長線于點H，可證△APD≌△CED，△ADH≌△CDB，則AP=EC，BC=AH.由結論①可證△ABH∽△CDE，則CEAH=CDAB=12，于是AP=12BC，AP=13BE.所以FAFB=APBE=13，即AFAB=14.

解法2～5構造的全等三角形和相似三角形不完全相同，但是核心思想接近，都是通過等腰三角形“等邊對等角”的性質得到角的關系，從而證明出有用的全等和相似三角形，進而得到邊之間的數量關系.同時都是從待解決的問題入手，進行合理轉化，明晰需要的相似三角形，形成正確的解題思路.其中方法2和方法3將問題中的目標線段AF和AB之間的比例關系，轉化為求BF和AB之間的比值，方法4和方法5則是轉化為求AF∶BF.

方法6：如圖10所示，過點A作AH⊥BC于點H，連接DH，過點C作CP∥AB交EF于點P，易證△BDH≌△EDC.由等腰三角形“三線合一”的性質，可得BH=HC=CE，DH∥AB，再根據△AFD≌△CPD，得AF=CP，則CPBF=CEEB=13，所以BF=3AF，即AFAB=14.

方法7：如圖11，過點A作AM∥BC交EF的延長線于點M，過點A作AG⊥BC于點G，過點D作DH⊥BC于點H，易證△AMD≌△CED，GH=HC=14BC，BH=HE=12BE，則AM=CE=13BE，所以FAFB=AMBE=13，則AFAB=14.

方法8：如圖12，過點A作AH⊥BC于點H，過點A作AP∥BC交EF的延長線于點P，連接BP，易證△APD≌△CED，則PD=DE=BD，可得∠PBE=90°，所以四邊形PBHA是矩形，則AP=BH=HC=CE=13BE，易得AFAB=14.

方法6～8都通過作垂線的辦法，很好地運用了等腰三角形“三線合一”的性質，這是不同于前面幾種方法之處，因此，對條件進行不同的解讀和分析，會有不一樣的解題思路.其中方法8十分巧妙地運用“等邊對等角”判定出直角進而得到矩形，進一步利用矩形對邊相等的性質解決問題.

方法9：如圖13，在BF上取點P，使得PF=AF，連接CP，則CP∥EF，可證△PBC≌△DCB（ASA），因此AF=PF=14AB.

此方法從中點出發，構造中位線，已知D是線段AC的中點，將點F創造為中點，從而得到平行，進一步證明出全等三角形，線段的數量關系即刻擊破.

同樣是中點，使用不同的策略形成不同的解法，足以體現解題者對平日常見的數學解題策略的積累沉淀，使得解題方法異彩紛呈.

3 解題反思

通過對一道中考題問題探究第（2）問的一題多解，可以看出之所以產生百花齊放的精彩解法，源于解題者對解題策略的積累，否則無法形成解題策略，其次是對條件的個性化解讀與分析，另外如何轉化結論，對尋找適當解題思路也有一定的指引作用.

3.1 注重積累常規解題策略

數學需要思維的訓練，同時也需要基礎知識與基本技能的夯實和積累.面對常規概念或條件信息，有正確常規的“條件反射”是打開思路的第一把鑰匙，否則寸步難行.積累多樣的解題策略可為解題者提供更多思考路徑，即使思考方向并不正確也能及時調整改換策略.基于此，教師在教學中應注重對基礎知識和基本技能的落實，重視一題多解，開拓思路，并且歸納總結常規解題策略，以便學生在解題時迅速調取需要的技能、技巧.

3.2 重視分析轉化能力的培養

有了基本技能，而沒有邏輯推理、分析轉化的數學能力，在解題過程中亦是舉步維艱.對于條件提供的已知信息，往往需要做適當的加工和解析，而題目的問題結果，是思考的方向，所有的努力都要圍繞所求問題展開.只有做到目標清晰明確，才不會思路混亂.因此，教師在平時教學中，要指導學生深入問題情境，成為解決問題的主人翁，鍛煉他們的邏輯推理和分析轉化的能力，重視思維連貫性、多樣性的訓練，提升思維品質.

基于一道幾何中考題的一題多解，體會到思維具有多樣性，成功解題需要解題者積累一定的解題策略，并能夠合理轉化、推理分析.這啟發教師在教學中要注重落實基礎知識與基本技能，注重培養學生的數學思維能力.