探尋圖形翻折之奧秘

1 翻折后角度問題

對于翻折后的角度變化問題，要在充分理解題意的基礎(chǔ)上，注意圖形翻折前后相等的角度或者邊長，根據(jù)這個等量關(guān)系作為問題的突破口，轉(zhuǎn)化為基本問題來解決.

例1 如圖1，E為長方形紙片ABCD的BC邊上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，將紙片沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處.若∠B′EC′=α，則∠AED=（" ）.

A.90°+α2

B.90°-α2

C.90°+2α3

D.90°-2α3

解析：由折疊的性質(zhì)可知，∠AEB=∠AEB′，∠DEC=∠DEC′.

由∠AEB+∠AEB′+∠B′EC′+∠DEC′+∠DEC=180°，

即2（∠AEB′+∠DEC′）+α=180°，可得

∠AEB′+∠DEC′=12（180°-α）=90°-α2.

所以∠AED=90°-α2+α=90°+α2.故選：A.

點(diǎn)評：本題主要考查了圖形翻折后的角度問題，這類問題的解決需要注意翻折變換（折疊問題）以及角的計算，根據(jù)各角之間的關(guān)系，結(jié)合折疊圖形的性質(zhì)，即可求出結(jié)論.

2 翻折后線段長度問題

翻折后圖形長度的求解問題，主要就是依據(jù)學(xué)過的有關(guān)圖形的性質(zhì)，比如軸對稱、全等三角形性質(zhì)、勾股定理等計算線段長度的方法，有的時候需要在翻折后的圖形中作出一些輔助線，以更方便地求解翻折后的線段的長度.因此，需要靈活掌握翻折前后圖形的變量與不變量之間的內(nèi)在聯(lián)系.

例2 在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B恰好與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)G為線段EF上一動點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM⊥AD，GN⊥FD，垂足分別為點(diǎn)M，N，以GM，GN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形GMHN，如圖2.若平行四邊形GMHN的周長為410，AE＝3，則EF＝.

解析：如圖3，連接DG，作FI⊥AD于點(diǎn)I，則∠DIF＝∠EIF＝90°.

因?yàn)樗倪呅蜧MHN是平行四邊形，且平行四邊形GMHN的周長為410，

所以GM＝HN，GN＝HM，且

2（GM+GN）＝410.

∴GM+GN＝210.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠DEF＝∠BFE.

由折疊得∠DFE＝∠BFE.

∴∠DEF＝∠DFE.

∴DE＝DF.

∵GM⊥AD于點(diǎn)M，GN⊥FD于點(diǎn)N，

∴12DE＼5FI＝12DE＼5GM+12DF＼5GN＝S△DEF.

∴FI＝GM+GN＝210.

∵∠DIF＝∠IDC＝∠C＝90°，

∴四邊形CDIF是矩形.

∴CD＝FI＝210.

∵∠A′＝∠A＝90°，DE＝DF，A′D＝CD，

∴Rt△A′DE≌Rt△CDF（HL）.

∴A′E＝CF＝ID＝3.

∴DE＝DF＝CD2+CF2＝2102+32＝7.

∴IE＝DE-ID＝7-3＝4.

∴EF＝FI2+IE2＝214.

點(diǎn)評：本題考查了翻折后求解線段長度問題，這類問題往往需要注意翻折后的圖形所具有的性質(zhì)，比如角度相等、線段相等以及是否可以利用等面積法或者圖形全等求解線段長度等.

3 翻折后面積或周長問題

對于翻折前后圖形的面積或周長問題，要注意翻折前后圖形的特點(diǎn)，注意圖形的性質(zhì)，抓住圖形關(guān)于折疊線對稱這一特性，就可以牢牢抓住這兩個圖形前后之間邊長之間的聯(lián)系，為求解圖形的面積或者周長奠定基礎(chǔ)，最后結(jié)合圖形翻折后的相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律和圖形性質(zhì)，即可解決問題.

例3

如圖4，已知長方形ABCD的邊AB=a，BC=b（bgt;a），將長方形ABCD沿直線EF折疊，求圖中折成的四個陰影三角形的周長之和（用含a，b的代數(shù)式表示）.

解析：

如圖5，由折疊可得GE=AE，GL=AB，LF=BF，

∴DE+GE=DE+AE=AD，CF+LF=CF+BF=BC.

∵AB=CD=a，AD=BC=b，

∴GL+CD+（DE+GE）+（CF+LF）=AB+CD+AD+BC=2a+2b.

∴四個陰影三角形的周長之和為2a+2b.

點(diǎn)評：對于翻折圖形的面積或者周長的問題，要注意折疊前后圖形的哪些邊長是相等的，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，判斷是否可以求得某些邊長的內(nèi)在聯(lián)系或者長度，從而快速解決問題.

4 翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)問題

對于翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)的求解問題，要從翻折后的圖形的特點(diǎn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)翻折前后圖形變化情況，尤其要注意從邊長、角度入手，尋找相等的關(guān)系，注意利用方程思想或者三角形相似和全等，構(gòu)造等式關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題快速突破.

例4 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸上，邊OC在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，6），D為AB邊上一個動點(diǎn)，把△OAD沿OD折疊，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在矩形的對角線AC上，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（" ）.

A.14425，4225

B.10425，7225

C.5625，4225

D.9625，7225

解析：如圖7，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在矩形的對角線AC上，過A′作A′E垂直x軸于點(diǎn)E.

由四邊形OABC為矩形及B（8，6），得

A（0，6），C（8，0）.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)A（0，6），C（8，0）代入，得b=6，8k+b=0.

解得k=-34，b=6.

所以直線AC的解析式為y=-34x+6.

設(shè)點(diǎn)A′（a，-34a+6）（0lt;alt;8），則

OE=a，A′E=-34a+6.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得OA=OA′=6.

在Rt△OA′E中，由OE2+A′E2=OA′2，得

a2+-34a+62=62.

解得a1=14425，a2=0（舍去）.

所以A′E=-34×14425+6=4225，則

A′14425，4225.

故選：A.

點(diǎn)評：對于翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)問題，在厘清翻折后圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)，以及角度和線段長度的基礎(chǔ)上，分析條件，充分利用折疊的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理等知識轉(zhuǎn)化為基本問題解決.

5 結(jié)語

翻折問題是最近幾年中考的熱點(diǎn)，往往出現(xiàn)在壓軸題的位置，但是這類題目的翻折變化種類比較多，題型也呈現(xiàn)多樣化，問題靈活性比較強(qiáng)，思維難度比較大，且對于學(xué)生的綜合解題能力要求比較高.因此，對于這類綜合性問題的解決，要在充分理解題意的基礎(chǔ)上，利用圖形翻折前后的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)真細(xì)致多角度地思考，多方面考慮問題解題思路，熟練掌握數(shù)學(xué)解題方法，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不斷提高解決這類問題的能力.