巧設問題串 解“倍根方程”

摘要：在解題教學中，圍繞某一目標或中心問題按一定邏輯設置有梯度的問題串，可克服問題的隨意性，高效驅動學生思考，實現深度學習.文章以一元二次方程的“倍根方程”為例，設置階梯式問題串，由淺入深，環環相扣，促進學生深度解題，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：一元二次方程；新定義；問題串；深度學習

一元二次方程是每套中考試卷不可或缺的重點之一，也是“方程與不等式”板塊的核心.近年關于新定義——一元二次方程的“倍根方程”問題頻頻出現.此類問題不僅能考查學生的基礎知識與基本技能，還要求學生在新情境下理解新定義，自覺運用分類討論和轉化思想，進行代數變形與計算推理，考查學生的計算素養與分析綜合應變能力.

1 教學過程片段

如果關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個不相等的實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”.

問題1 若一元二次方程x2－3x＋c＝0是“倍根方程”，則c＝.

解法1：設方程的兩根為x1，x2，由“倍根方程”的定義，令x2＝2x1.

由韋達定理，得x1＋x2＝3，x1x2＝c，那么x1＋2x1＝3，2x21＝c，解得x1＝1，c＝2.

解法2：設一根為α（α≠0），另一根為2α，由方程的根的定義，得α2－3α＋c＝0 ，4α2－6α＋c＝0 ，兩式相減，得3α2－3α＝0，解得α＝0（舍去）或α＝1.所以α＝1.將α＝1代入c＝－α2＋3α，得c＝2.

點評：問題1是對新定義的逆向運用，已知“倍根方程”，求方程中參數的值.解法1，根據韋達定理和新定義的意義建立方程組求解；解法2，運用方程根的定義，將方程的根代入原方程，組成新的等式進行計算.

問題2 若mx2－（m＋n）x＋n＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式2m2－3mn+n2m2+n2的值.

解析：因式分解，得（mx－n）（x－1）＝0，則x＝1或x＝nm.由“倍根方程”定義，得nm=2或12.

記S=2m2－3mn+n2m2+n2＝（2m－n）（m－n）m2+n2.當nm＝2時，把n＝2m代入上式，得S＝0；當nm＝12時，把m＝2n代入，得S＝3n25n2＝35 . 所以代數式2m2－3mn+n2m2+n2的值是0或35.

點評：問題2設置成代數式求值問題，是對新定義的正向運用，利用新定義建立m，n之間的關系式，并代入所求代數式進行計算.考查十字相乘法、代數式變形、分類討論思想等.

問題3 若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關系.

解析：設ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為t和2t，則原方程可改寫為a（x－t）（x－2t）＝0，即ax2＋bx＋c＝ax2－3atx＋2at2，所以b＝－3at，c＝2at2.整理，得b2＝9a2t2，c=2at2.消去t2，得2ab2＝9a2c.又a≠0，

所以2b2＝9ac.

所以a，b，c之間的關系式是2b2－9ac＝0.

點評：問題3逆向探求“倍根方程”的字母系數的關系，需靈活運用待定系數法、代數式變形.

問題4 若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（ab≠0）的系數滿足2b2－9ac＝0，求證：方程ax2＋bx＋c＝0（ab≠0）是“倍根方程”.

證明：因為ab≠0，所以a≠0.

方程兩邊同乘9a，得

9a2x2＋9abx＋9ac＝0.

又9ac＝2b2，所以9a2x2＋9abx＋2b2＝0.

因式分解，得（3ax＋b）（3ax＋2b）＝0.

所以x1＝－b3a，x2＝－2b3a，則x2＝2x1.

故方程ax2＋bx＋c＝0（ab≠0）是“倍根方程”.

點評：此問是根據“問題3”提出的逆命題，涉及代數式變形、十字相乘等核心知識與技能，對學生的計算素養要求較高.

問題5 若點（p，q）在反比例函數y＝2x的圖象上，判斷關于x的方程px2＋3x＋q＝0是否為“倍根方程”？

解析：若點（p，q）在反比例函數y＝2x的圖象上，

則pq＝2，把q＝2p代入方程px2＋3x＋q＝0中，得px2＋3x＋2p＝0.又p≠0，則p2x2＋3px＋2＝0，即（px＋1）（px＋2）＝0，解得x1＝－1p，x2＝－2p，所以x2＝2x1.

故關于x的方程px2＋3x＋q＝0是“倍根方程”.

點評：此問與反比例函數相結合，設置“倍根方程”的判斷題，解題核心是，利用反比例函數定義得出p，q的關系式，并將代數式變形，再解方程求得方程的解.

問題6 若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“倍根方程”，且不同的兩點M（k＋1，2 025），N（3－k，2 025）都在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根.

解析：因為M（k＋1，2 025），N（3－k，2 025）是不同的兩點，且縱坐標相等，所以拋物線的對稱軸為直線x＝k+1+3－k2＝2，即x＝2.

設拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩交點分別為（x1，0），（x2，0），則對稱軸為直線x＝x1+x22.

所以x1+x22＝2，即x1＋x2＝4 .

由“倍根方程”的定義，設x2＝2x1，則3x1＝4，即x1＝43，x2＝83.

故方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根是43或83.

點評：此問將二次函數與二次方程有機結合，有較強綜合性.解題核心是，根據二次函數圖象上點的坐標特征，建立與拋物線對稱軸的等量關系.

問題7 若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“倍根方程”，當x取兩個不相等的數值1＋t和4－t時，二次三項式ax2＋bx＋c的值都等于S（S≠0），求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根.

解析：當x取兩個不相等的數值1＋t和4－t時，二次三項式ax2＋bx＋c的值相等，

所以函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的對稱軸是x＝1+t+4－t2＝52.

設函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于點（x1，0），（x2，0），則x1+x22＝52，即x1＋x2＝5.

又方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“倍根方程”，設x2＝2x1，

由x1+x2=5，x2=2x1，解得x1＝53，x2＝103.

故方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是53或103.

點評：此問題表面看起來是方程問題，實質是二次函數問題.根據二次函數與二次方程的關系，利用二次函數圖象對稱軸的性質及“倍根方程”的定義，建立方程組即可求得結果.此問類比“問題6”設置問題，有較強綜合性，但有了“問題6”的鋪墊，解答起來，思維自然流暢.

問題8 已知方程x2＋x－1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解法1：設x2＋x－1＝0的兩根分別是α，β，則由韋達定理得

α＋β＝－1，αβ＝－1.

于是所求方程的兩根分別為2α，2β，那么

2α＋2β＝2（α＋β）＝－2，

2α·2β＝4αβ＝－4.

所以所求方程為y2＋2y－4＝0.

解法2：設所求方程的根為y，則y＝2x，即x＝y2，把x＝y2代入x2＋x－1＝0，得y22＋y2－1＝0.

化簡，即得所求方程為y2＋2y－4＝0.

點評：本題不是“倍根方程”問題，但所求方程的根是原方程根的2倍.采用聯系的觀點，加強知識間的對比與聯系，靈活運用所學知識，防止思維固化，避免思維定式.

2 練習設計

（1）若mx2－（2m＋n）x＋2n＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式2mnm2+n2的值.答案：1或817.

（2）已知關于x的兩個方程x2－x＋3m＝0，x2＋x＋m＝0（m≠0），若前一個方程中有一個根是后一個方程的某個根的3倍，則實數m的值是.（答案：m＝－2.）

（3）如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是倍根方程，且k＋1與3－k是方程ax2＋bx＋c＝5（a≠0）的兩根，求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根.答案：43或83.

“思維永遠從問題開始”.因此，在習題教學中，圍繞某一主題設計有梯度的問題串進行專題學習，可以調動學生的學習興趣，由淺入深，逐步深入題目本質，引發學生思考與探究，開發學生思維，促進深度學習.同時，通過“一題一課”的問題串學習，節約時間和解題成本.較之零散無序的“題海”刷題，更易吸引學生進行探究與思考，朝一定的方向前進，獲得事物間的內在關聯，或事物的新規律與結論，達成良好的學習效果，提升學生的數學核心素養.