“雙減”政策背景下中數學非標準題型的解題思路

摘要：一次函數是初中數學教學的重點內容，學生要想全面理解一次函數的相關知識點、熟練利用一次函數知識解決實際問題，就需要掌握各種題型的特點和求解方法.非標準題型是指學生在日常訓練中不常見且有一定難度的題型，加強此類題型的訓練，可以

加深學生對一次函數相關知識的理解，確保學生熟練運用一次函數知識解決實際問題，對初中數學整體教學水平的提升大有裨益.

關鍵詞：“雙減”政策；初中數學；非標準題型；解題思路；一次函數

中圖分類號： G 632文獻標識碼： A 文章編號：1008-0333（2024）20-0020-03

收稿日期：2024-04-15

作者簡介：黃燦（1987.9—），女，安徽省亳州人，一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學教學中，提升學生對非標準題型的解題水平，可以有效增強學生的解題能力，讓學生從題海中掙脫出來，面對各種題型都能夠高效解答[1].在解題教學中，教師要注意避免學生按照傳統解題思路和模式解答非標準題型，而是要鼓勵學生另辟蹊徑，將非標準題型轉化為常見題型，從而培養學生獨特的解題思路，有效促進學生核心素養的發展.

1與函數概念有關問題的求解思路

在解決一次函數與實際問題相結合的數學問題時，教師要引導學生結合題意建立一次函數模型，然后借助方程或方程組解決問題.在解決與函數概念相關的非標準型問題時，由于一次函數知識相對抽象，如果學生缺少解題經驗，對一些常見的概念誤區缺少認知，就容易對函數概念造成誤判.

例1下列關系式中，y是x的正比例函數的是（）.

A.x=2y B .4y+9x=36 C . x²+25x+36-y=0 D .12xy=1

解析本題主要考查學生對常見函數定義的掌握情況.與傳統題型相比，本題中并未直接給出正比例函數、一次函數、二次函數、反比例函數等常見函數的一般形式，學生需借助具體函數定義轉化后再判斷. 對于選項 A，x=2y可轉化為y=0.5x，它是正比例函數；對于選項 B，其關系式可以變換成y=kx+b的形式，它是一次函數，且b不為0，因此它不是正比例函數；對于選項 C，其關系式可轉化成為y=ax²+bx+c的形式，它是二次函數；對于選項 D ，其關系式可轉化為xy=k的形式，它是反比例函數.綜上所述，只有 A 選項給定的關系式可轉化為正比例函數.由此可以看出，解答此類概念問題的關鍵是掌握常見函數的定義，并會利用轉換法和排除法對定義進行轉化，才能有效解決此類問題.

2與一次函數有關綜合題的求解思路

一次函數是初中數學中最基礎、最核心的知識，它是學生后續學習復雜函數以及解析幾何的基礎.因此，在初中數學學習中，經常會涉及與一次函數有關的綜合題.對于這類綜合題的解答，需要學生將題干中的信息與涉及的知識點聯系起來，分析其與一次函數的關聯，以整體視角解答實際問題.

例2如圖1所示，一次函數的圖象經過點A（2，4）和點C（-2，0）.解答下列問題：①求該一次函數的表達式；②求△AOC的面積.

解析 ①設該一次函數的表達式為y=kx+b.將點A（2，4）代入表達式，得2k+b=4；將點C（-2，0）代入表達式，得-2k+b=0.聯立方程組，解得k=1，b=2.故一次函數的表達式為y=x+2.

②由圖1易知，三角形面積為2×4÷2=4.

在解答本題的過程中，學生需充分掌握待定系數法求一次函數圖象表達式、二元一次方程組的解法等知識，將之前所學二元一次方程組與一次函數相關知識充分結合起來才能正確解答本題.

3與一次函數有關動點問題的求解思路

動點問題是學生一次函數學習中難度較大的題型，在解題中學生需要運用數形結合、方程思想、分類思想、數學轉化等多種數學思想方法.在初中數學教學中，教師要對動點問題進行針對性講解，為學生后續函數的學習夯實基礎.

例3如圖2所示，直線y=kx+6與x軸、y軸分別相交于點E、F，其中E點和A點的坐標分別為（-8，0），（-6，0）.解答下列問題：①求k的值；②如果點P是位于第二象限內該直線上的一個動點，分析P點運動過程中△OPA面積S與x之間的函數關系并寫出表達式及自變量x的取值范圍；③如果△OPA的面積為3.375，試確定點P的位置.

析①根據已知條件，易知點E（-8，0）在直線y=kx+6上，因此將點E的坐標代入函數表達式，可得-8k+6=0，解之得k=0.75.

②在△OPA中，頂點O和A是兩個定點，點P為動點.根據已知條件，動點P必須滿足兩個條件：一是在直線EF上；二是在第二象限.由問題①可知直線EF的表達式為y=0.75x+6，因此可令點P的坐標應為（x，0.75x+6）.對初中學生而言，動點問題比較抽象，對其邏輯思維能力要求較高，學生理解本題有一定的難度.在求解過程中，教師可引導學生結合圖形理解題意，將動點問題轉化為學生熟知的三角形面積問題.經過分析發現，欲求△OPA的面積，只需求得線段OA的長度及點P到x軸的距離即可.點P位于第二象限，且在直線y=0.75x+6上，根據三角形的面積公式，易得S=3（0.75x+6）=2.25x+18，其中-8≤x≤0.

③根據已知條件易發現，本題與問題②有很大差異.問題②主要確定△OPA面積S與x之間的函數關系，而且點P在第二象限.此問題給定了△OPA的面積，需求點P的坐標.因點P是直線EF上的動點，根據圖形特征，需考慮點P在x軸上方和x軸下方兩種情況，即要進行分類討論才能解答問題.

4與一次函數有關應用題的求解思路

在一次函數解題教學中，教師應針對一些非常規應用題型，通過滲透模型思想，讓學生感受學習數學知識的意義和價值.在解決問題的過程中，使學生能夠根據已知條件主動構建數學模型，從數學角度出發思考和解決實際問題，從而提升學生靈活運用數學知識解決實際問題的能力.

例4某水產養殖加工廠有工人200名，每名工人每天平均捕撈水產品50 kg .如果從事水產品精細加工，則每名工人每天可加工水產品40 kg .已知每千克水產品直接出售能夠獲得利潤6元，而對水產品精細加工后再出售，每千克水產品可獲得利潤18元，假設每天從事水產品精加工的工人為x名.

①如果每天水產品精加工獲得的總利潤為y，求y與x之間的函數關系式；

②如果該工程每天能夠將所有水產品全部出售，那么如何安排生產，可使這一天所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

解析 ①y=720x（0≤x≤200，且x為整數）；

②假設每天所獲得的利潤為W元，易得W=180x+60 000.

因為 50（200-x）≥40x，所以x≤

1 000/9.

因為W是x的一次函數，k=180＞0，所以W隨x的增大而增大，又因為x為整數，因此當x=111時，所獲得的利潤達到最大，且最大值W=180×111+60 000=79 980（元）.

由此可以看出，解決一次函數應用題的關鍵在于構建數學模型，滲透模型思想.無論何種復雜問題，只要能夠根據問題中的數量關系構建完整的函數模型，并確定自變量的取值范圍，就可借助函數的性質解決問題.

5與一次函數有關圖象問題的求解思路

閱讀能力是初中數學核心素養中的關鍵能力，其直接影響學生從問題中提取有用信息的效率，是學生解決問題成敗的關鍵因素.與一次函數有關問題的閱讀，不僅包括文字信息，還包括圖象信息.在解題過程中，只有學生充分理解函數的意義，才能高效讀圖，從而提升解題速度，進而有充足的時間獨立思考并自主總結解題經驗，這是“雙減”政策背景下減輕學生課業負擔的重要途徑.

例5如圖3所示，小明觀察鐘表，發現分針和時針每小時旋轉度數分別為360°和30°.為了深入探究二者旋轉的規律，小明于下午2點對鐘表變化進行了一小時觀察并記錄.為了方便觀察，小明將分針和分針起始位置OP的夾角記作y₁，如圖4所示，而時針與分針起始位置OP的夾角記作y2，鐘表的具體旋轉時間記為t.小明在觀察完成后搜集各項數據，繪制成關系圖象，如圖5所示，且求出y₁和t的函數關系式為y₁=6t（0 ≤ t ≤ 30），y₁=-6t+360（30＜t ≤ 60）.

①求出圖5中y₂與t的函數關系式；

②寫出A點和B點的坐標，并解釋A、B兩點所代表的實際意義；

③若觀察完成后繼續觀察1小時，畫出圖象.

圖3鐘表初始位置圖4 鐘表運動位置

解析 ①假設y2與t的函數關系式為y₂=kt+b，將（0，60），（60，90）代入，可得b=60，60k+b=90，聯立方程組，解得k=0.5，b=60.從而可得關系式為y₂=0.5t+60.

②易知A（120/11，720/11），B（600/13，1 080/13）.其中A表示分針與時針的第一次重合的情況；B表示經過600/13分鐘，時針與分針關于OP成軸對稱，且與OP的夾角為1 08013度.

③如圖6所示.

6結束語

在初中數學學習中，學生經常會遇到一些非標準、不具備常規題型典型特征的問題，如果按照傳統解題思路求解，很容易出現錯誤.基于此，有必要順應“雙減”政策要求，將一些非標準題型的作為重點教學內容，幫助學生掌握各種題型的解答方式，全面提升學生解題能力，避免學生盲目解題.

參考文獻：

［1］ 陳宇.以問題驅動解題方法的形成：以一道一次函數題的教學為例[J].中學數學，2022（18）：68-69.

［責任編輯：李璟］