極值法在初中物理解題中的應(yīng)用

摘要：物理學(xué)習(xí)涉及許多復(fù)雜的概念和理論，學(xué)生需要通過解題來理解和應(yīng)用這些知識(shí).求取極值是中學(xué)物理中一種典型的問題，通常通過圖像、函數(shù)或數(shù)學(xué)公式來表示極值，使用極值法解題直觀明確，能夠?qū)?fù)雜的問題簡(jiǎn)化，使思路更加清晰.文章將通過分析典型的物理問題，展示極值法在解題過程中的靈活性和實(shí)用性，以供大家參考.

關(guān)鍵詞：極值法；解題方法；初中物理

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）20-0064-03

收稿日期：2024-04-15

作者簡(jiǎn)介：王萬鑫（1996.12—），男，本科，二級(jí)教師，從事初中物理教學(xué)研究.

極值法是一種數(shù)學(xué)方法，它基于物理規(guī)律和方程，通過對(duì)系統(tǒng)的相關(guān)量進(jìn)行推算和求導(dǎo)，找到使得相關(guān)量取極值的條件.極值法可應(yīng)用于各種物理問題，如力學(xué)、電磁學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，以解決最優(yōu)化或最優(yōu)控制的相關(guān)問題.在解答物理題的過程中，能夠靈活選用極值法進(jìn)行運(yùn)算，大大提高了解題速度和正確率[1].通過運(yùn)用極值法解題，學(xué)生需要分析問題、提取關(guān)鍵信息、建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解.這種解題方式培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力，讓他們能夠獨(dú)立思考和解決實(shí)際問題.

1極值法在力學(xué)類題目中的應(yīng)用

在初中物理中，力學(xué)知識(shí)點(diǎn)占據(jù)了相當(dāng)重要的地位，因?yàn)檫@些知識(shí)是理解物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ).通過對(duì)力學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以建立起對(duì)物質(zhì)世界的初步認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)的物理學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在力學(xué)題目中，經(jīng)常會(huì)遇到某些物理量在某一極值處取得最大或最小值的情況，此時(shí)運(yùn)用極值法可以快速準(zhǔn)確地求解.

例如，蘇科版八年級(jí)下冊(cè)物理第十章《壓強(qiáng)和浮力》中關(guān)于浮力的一些問題就可以運(yùn)用極值法來解決.如圖1所示，當(dāng)一個(gè)密度均勻的木板漂浮在水面上時(shí)，如果在水面下截去部分至虛線處，剩下的部分木塊在水中會(huì)發(fā)生什么樣的變化？根據(jù)常規(guī)的解題思路，不少學(xué)生結(jié)合題目中提供的信息分別對(duì)小木板鋸掉前后的受力情況展開分析.因?yàn)槟緣K漂浮，所以木塊所受到的浮力與重力相等，即F_浮=G_木. 木塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，利用浮力的計(jì)算公式F浮=ρ_水g V_排同木塊的重力相結(jié)合，可知ρ_水g V_排=ρ_木g V_木，則可以得到相應(yīng)的關(guān)系式，由于木塊和水的密度保持不變，所以木塊浸沒的體積與木塊的體積之比保持恒定.當(dāng)我們將木塊裁剪掉虛線以下的部分后，木塊浸沒的體積與此時(shí)木塊的體積之比會(huì)減小.因此，裁剪后的木塊上方剩余的部分會(huì)下沉一些.此方法雖然也能得到最終結(jié)果，但解題步驟繁瑣，如果教師提示學(xué)生運(yùn)用極值法，可適當(dāng)提高解題效率.首先要確定極值點(diǎn)，考慮木塊被完全鋸掉的情況，即剩余部分為木塊的最上面一小部分.由于木塊密度均勻，當(dāng)木塊被完全鋸掉后，剩下的部分密度不變，仍為ρ.將水下部分全部鋸掉后，排水量的體積就為0，所以此時(shí)小木塊只受到重力作用，而木塊密度大于水的密度，根據(jù)浮沉條件可知，木塊將下沉.綜上所述，當(dāng)浸入水面下的部分被鋸掉后，剩余部分的木塊在水中將會(huì)受到較小的浮力，即它在水中將會(huì)下沉更多.學(xué)生運(yùn)用極值法省略了冗雜的步驟以及計(jì)算，可以提高此類問題的解題效率.

極值法的運(yùn)用能夠提高學(xué)生的解題效率.在處理力學(xué)問題時(shí)，有時(shí)候需要經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算和分析才能得出結(jié)果，而極值法則提供了一種更加高效和準(zhǔn)確的解題方法.通過極值法，學(xué)生可以快速抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化解題過程.

2極值法在壓強(qiáng)類題目中的應(yīng)用

在初中物理教學(xué)中，壓強(qiáng)類題目有助于培養(yǎng)學(xué)生的物理思維和解決問題的能力，同時(shí)也是學(xué)習(xí)物理知識(shí)的重要組成部分.學(xué)生利用壓強(qiáng)的相關(guān)公式進(jìn)行解題，不但會(huì)延長(zhǎng)解題時(shí)間，而且也使解題思路不夠清晰，而采用極值法解決壓強(qiáng)問題，可以有效避免常規(guī)解題發(fā)生的錯(cuò)誤[2].

以蘇科版八年級(jí)下冊(cè)物理第十章《壓強(qiáng)和浮力》中關(guān)于壓強(qiáng)的問題為例，一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面積為0.01 m²，高為0.2 m，裝有10 m高的水，現(xiàn)將一個(gè)體積為0.001 m³的小球慢慢浸入水中，求水對(duì)容器底部壓強(qiáng)的增加量.根據(jù)傳統(tǒng)解題方法，學(xué)生一般會(huì)根據(jù)題目條件進(jìn)行受力分析：小球浸入水中后，受到水的浮力作用.同時(shí)，水對(duì)容器底部的壓力會(huì)增加，接下來計(jì)算小球浸入水中的體積，由于小球慢慢浸入水中，可以認(rèn)為水的體積增加量等于小球的體積，即0.001 m³.根據(jù)液體壓強(qiáng)公式P =ρgh計(jì)算壓強(qiáng)的增加量，壓強(qiáng)的增加量就等于ρg△h，其中△h為小球浸入水中導(dǎo)致水位上升的高度.由于容器的底面積已知，可以計(jì)算出水位上升的高度△h =△V/S=0.001/0.01=0.1 m.其中水的密度ρ=1×10³ kg/m³，g=10 m/s²，最終計(jì)算出壓強(qiáng)的增加量.此方法計(jì)算量較大，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而運(yùn)用極值法則可以較快解決此類問題.首先要確定極值點(diǎn)，考慮極端的情形，當(dāng)小球浸入水中后，水位上升到最高點(diǎn)，即容器的高度0.2 m.此時(shí)，水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)增加量等于ρg（H-h），其中H為容器的高度，h為初始水的高度.最后代入具體數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，就可以迅速得到壓強(qiáng)的增加量.將計(jì)算得到的壓強(qiáng)增加量與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)比，由于小球浸入水中后水位上升的高度不可能達(dá)到容器的高度，所以這個(gè)極值只是一種理論上的最大值，實(shí)際中可能無法達(dá)到.一般方法和極值法在解決壓強(qiáng)問題時(shí)各有優(yōu)劣，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)和要求選擇合適的方法.

極值法可以幫助學(xué)生破解一些難以直接求解的壓強(qiáng)問題.在解決這類問題時(shí)，學(xué)生可以將問題構(gòu)造為問題的極端，運(yùn)用物理知識(shí)分析、判斷極端時(shí)的特殊規(guī)律，根據(jù)這個(gè)特殊規(guī)律篩選答案，從而使問題迎刃而解.這種方法可以幫助學(xué)生找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)，簡(jiǎn)化問題的復(fù)雜度，提高解題效率.

3極值法在杠桿類題目中的應(yīng)用

杠桿問題在初中物理中占據(jù)著重要的地位，涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)能力都有一定的要求.而極值法作為一種常見的解題策略，可以幫助我們更直觀、簡(jiǎn)便地解決一些涉及杠桿的問題.

例如，蘇科版九年級(jí)上冊(cè)物理第十一章“簡(jiǎn)單機(jī)械和功”中關(guān)于杠桿知識(shí)的內(nèi)容，在這類問題中，我們常常會(huì)遇到要尋找某個(gè)力的最大值或最小值的情況，這時(shí)就可以運(yùn)用極值法進(jìn)行分析.有一根質(zhì)量均勻的木棒，一端懸掛，另一端用手指支持，使其平衡在水平位置.現(xiàn)在，手指稍微移動(dòng)，木棒開始傾斜.求木棒與地面接觸點(diǎn)受到的壓力最大時(shí)，木棒與地面所成的角度.此類問題學(xué)生的一般思路是先進(jìn)行受力分析：木棒受到重力、地面支持力和手指的支持力，當(dāng)木棒與地面接觸點(diǎn)受到的壓力最大時(shí)，木棒與地面所成的角度即為θ.根據(jù)杠桿平衡條件，當(dāng)木棒受到的重力力矩等于支持力力矩時(shí)，木棒保持平衡.即G×L/2=N×（L/2×cosθ）.解方程得到N=G/cosθ，為了使N最大，就需要找到cosθ的最小值.因此，當(dāng)θ=90°時(shí)，cosθ取得最小值0，此時(shí)N取得最大值.如果運(yùn)用極值法，學(xué)生可以簡(jiǎn)化問題，快速得出答案.為了找到壓力最大的角度θ，首先需要考慮木棒的平衡狀態(tài).根據(jù)杠桿平衡條件，當(dāng)木棒受到的重力力矩等于支持力力矩時(shí)，木棒保持平衡.即G×L/2=N×（L/2×cosθ）.將上述方程化簡(jiǎn)得到N=Gcosθ.為了使N最大，cosθ應(yīng)最小，即θ應(yīng)為90°.最后驗(yàn)證答案，將θ=90°代入原方程驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)滿足條件.在杠桿類問題中，運(yùn)用極值法一般可以根據(jù)物理原理，建立平衡條件的方程，將建立的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)并解出未知數(shù).

在解決杠桿問題時(shí)，極值法的基本原理是利用杠桿平衡條件，通過分析力和力臂的關(guān)系，找到使得某力最小時(shí)的平衡位置，或者使得某力最大的位置.在解決一些復(fù)雜的杠桿問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到困難.極值法能夠幫助學(xué)生更直觀地分析問題，找到關(guān)鍵點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化解題過程.

4極值法在電路類題目中的應(yīng)用

在初中物理的學(xué)習(xí)中，電路類問題既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).如何有效地解決這類問題，不僅需要學(xué)生掌握基本的電路知識(shí)和理論，還需要他們能夠運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕忸}方法.在物理電路類問題中，極值法可以幫助學(xué)生快速找到電路中的最大電流、最小電壓等關(guān)鍵信息，進(jìn)而解決一系列物理問題.

以蘇科版九年級(jí)上冊(cè)物理第十四章“歐姆定律”中的相關(guān)例題為例，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用極值法解決此類電路問題.在所示的電路圖中（圖2），電源的電壓保持穩(wěn)定為6 V.電阻R1的阻值為10 Ω，而R2是一個(gè)滑動(dòng)變阻器，其最大阻值為200 Ω，最高電流為1 A.現(xiàn)在我們來討論一下在撥動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片過程中，電流經(jīng)過電阻R1的變化情況.在解答這種電路類試題時(shí)，由于滑動(dòng)變阻器的存在，學(xué)生可以方便地直接使用極值法來求解.首先，需要學(xué)生理解極值法的原理，極值法是一種通過分析數(shù)學(xué)函數(shù)的最值來解決問題的思維方式.在這個(gè)問題中，有一個(gè)滑動(dòng)變阻器R2，它的最大阻值是200 Ω，電流的最大值是1 A，電源的電壓始終穩(wěn)定為6 V.根據(jù)歐姆定律，電流I與電阻R和電壓U的關(guān)系是I=U/R.當(dāng)R2的阻值為0時(shí)，電路中的電流最大，為1 A.此時(shí)，通過R1的電流也為1 A.當(dāng)R2的阻值最大時(shí)，電路中的電流最小.此時(shí)，通過R1的電流可以通過歐姆定律計(jì)算I1=U/R₁=6V/10 Ω=0.6 A.因此，在撥動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片過程中，經(jīng)過電阻R1的電流變化情況是在0.6 A～1 A之間變化.

與代數(shù)運(yùn)算、圖像法等其他方法相比，極值法在處理物理電路類問題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì).它能夠直接找到物理量的最值，避免了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算和圖像分析過程.通過學(xué)習(xí)并掌握極值法，學(xué)生可以更加高效地解決電路類問題，提高自身的學(xué)習(xí)能力和實(shí)踐操作能力.

5結(jié)束語

綜上所述，極值法在初中物理教學(xué)中具有重要的作用，能夠培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，加深對(duì)物理概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高實(shí)際應(yīng)用能力.在解答初中物理試題時(shí)，關(guān)鍵在于確定適當(dāng)?shù)摹包c(diǎn)”來設(shè)立極值，巧妙運(yùn)用極值法確定解題思路和流程，以降低物理題目的難度，使學(xué)生能夠高效地解答物理試題.因此，教師在物理教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的極值法運(yùn)用能力，并將其融入教學(xué)中，以促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王波.巧用極值法 增強(qiáng)初中物理解題的有效性［J］.理科考試研究（物理版），2013（6）：40-41.

［2］ 盧燕.極值法在初中物理解題中的啟用［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2020（49）：73-74.

［責(zé)任編輯：李璟］