抓住基本問題?指向概念理解

概 念 教 學

概念教學在小學數學教學中占有重要地位，是基礎知識教學的重要組成部分，也是發展學生思維的基礎。數學概念教學的目的是使學生掌握數學概念，形成對數學基本的、概括性的認識。即明確概念的內涵、外延，熟悉其表述；了解概念之間的關系，會對概念進行分類，從而形成概念系統；了解概念的來龍去脈，能夠正確運用概念。正確理解數學概念是掌握數學基本知識和基本技能的基石。

新課程理念下，概念教學中仍然存在一些問題。本期我們推出姜榮富老師的一組文章，就如何有效地進行概念教學研究和探討，以饗讀者。姜榮富老師以循環小數、分數意義、長方形認識、平均數的理解教學為例，通過實施“抓住基本問題，指向概念理解”“抽象形成概念，運算演繹意義”“分類獲得概念，推理驗證特征”“創設合適的問題情境，滲透正確的統計觀念”教學策略，培養學生分析問題和解決問題的能力，以及邏輯思維，讓學生的核心素養真正落地生根。希望這些教學案例能給廣大教師帶來啟發與思考。

【摘 要】在小學數學中，從學習循環小數開始需要直面無限的問題。理解循環小數的目標包括對無限的想象、循環的理解和結果的表示。教學中可以抓住兩個基本問題：一是為什么會出現循環？二是如何表示計算結果？前者可以讓學生成為深入的思考者，通過深入地思考，發展更高級的思維認知；后者可以讓學生經歷再創造的過程，通過再創造，學習像數學家那樣分析與解決問題。

【關鍵詞】數學教學 循環小數 思維再創造 符號意識

小數是十進制記數向相反方向延伸的結果。分母是10，100，1000……的分數容易轉化為十進制小數，這類小數都是有限小數。有限小數只能表示一部分分數，大量分數的小數表示都是無限循環小數。在有理數的范圍內，分數與小數是等價的，任何一個分數都可以轉化為有限小數或無限循環小數。反之亦然。因此，在所有的小數中，循環小數是非常特別的，因為它們是分數。把小數定義為形如amam-1…a2a1，b1b2…bn-1bn的數叫作十進小數，簡稱小數，是很明智的。有限小數與無限小數都包含在內。

在小學數學中，從學習循環小數開始，不得不正面處理無限的問題。通常無限只是人們的一種想象，但是只有數學才真正面對無限，數學才是處理無限問題強有力的工具。

通常教學循環小數時，教師側重于介紹什么叫循環小數，如何表示循環小數，如何取近似值。這些當然都是重要的知識與技能。如果教學只是關注這些知識與技能，就沒有把學生當作主動的思考者。

對于特定主題的學習，關鍵是要抓住核心概念，圍繞核心概念提出可以解答的、有啟發性的基本問題。循環小數通常是在計算中發現和得到的，核心概念是“循環”。理解循環小數的目標包括對無限的想象、循環的理解和結果的表示。圍繞這些主要目標，教學可以抓住兩個基本問題：一是為什么會出現循環？二是如何表示計算結果？學生深入思考并經歷再創造的過程，不僅可以增進數學理解，而且可以獲得智力的成就感。

一、分數轉化為小數

除法與分數關系密切。從理論上講，一個除法算式的結果可以用分數表示出來，而且用分數表示的結果是精確的。如1÷3用分數表示就是，用小數表示，得到的是一系列近似值：0.3，0.33，0.333，…在這里，任何一個有限小數，只能表示近似的結果，而符號0.333…或0.3就是1÷3的精確值。

從這里可以知道，如果沒有循環小數，分數轉化為小數是不可能有精確的符號表示的。數學概念的產生都是有背景的，許多數學家的貢獻就是創造了必要的概念，進而極大地推動了數學的發展。為什么要有循環小數的概念？如果沒有循環小數的概念作為工具，就無法徹底地實現從分數到小數的轉化。

小數的除法都可以轉化成整數的除法，整數除法的結果都可以用分數表示。通常分數化成小數的方法是用分子除以分母，它的結果有三種情況：化為有限小數，化為純循環小數，化為混循環小數。到底屬于哪一種情況，取決于最簡分數的分母。如果最簡分數的分母不含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數就是有限小數，原因很簡單，這樣的分數很容易轉化為分母是10，100，1000，…的分數。如果最簡單分數的分母只含有2和5以外的質因數，這個分數就能化成純循環小數；如果最簡單分數的分母既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，這個分數就能化成混循環小數。

基于以上分析，教學中給學生提供計算的例子，被除數與除數可以都是互質數的關系，也就是用分數表示是最簡分數。算式可以分為四個層次：一是結果是純循環小數，如1÷3=0.3；二是結果是混循環小數，如5÷6=0.83；三是循環節超過兩位，如8÷37=0.216；四是可用于分析推理，如1÷7=0.142857。

二、結果的解釋與想象

對計算結果的解釋與想象，是學生構建循環小數理解的重要部分。圍繞“循環”這個核心概念，重點解釋商中為什么會不斷出現重復的數字，展開對計算結果的比較與想象，感悟無限逼近，初步滲透極限的概念。

師：先請大家計算1÷3。這道題簡單嗎？

生：簡單。

師：重點不是計算，而是要在計算過程中思考遇到了什么問題，發現了什么規律。

（學生獨立計算。）

師：你們遇到了什么問題？

生：這道題是除不盡的。

生：永遠也除不完。

師：我收集了兩個同學的算式，我們一起討論一下。

師：比較兩個同學的計算過程，它們有什么不同？

生：一個是除了兩次就停下來了，一個是除了四次才停下來。

師：為什么除了兩次就停下來，不再繼續除下去了？

生：因為繼續除下去，商都是一樣的。

師：你們發現了什么規律？

生：每一次都商3。

師：你們想到了什么問題？

生：為什么每一次都是商3？

師：好問題！誰來回答？

生：因為余數總是1。

生：因為每次算的都是10除以3。

師：雖然你們的說法不一樣，意思卻是相同的。你們能從不同的角度看問題，非常好！

師：第一個同學除了兩次，得到的結果是0.33，第二個同學除了四次，得到的結果是0.3333。誰做得對？

生：都對。

生：都不對。

師：截然相反的意思，在小組討論一下好不好？

（學生小組討論。）

師：認為對的同學的意見是什么？

生：除下去商都是重復的，就沒有必要再除下去了。

生：既然結果都一樣，多除兩次或少除兩次都沒有關系的。

師：認為都不對的同學的意見是什么？

生：還可以繼續除下去呀，沒有除完結果肯定是不精確的。

師：他的意見你們聽懂了嗎？同意嗎？

師：我們把1÷3得到的不同結果放在一起比較—0.3，0.33，0.333，0.3333，這四個答案有什么規律？哪個更準確？

生：小數部分3的個數依次增加。0.3333更準確。

師：還能說出比0.3333更準確的結果嗎？

生：0.3的后面有5個3。

生：0.3的后面有10000個3。

生：0.3的后面有無窮多個3。

師：“無窮”是一個不太好理解的概念，需要依靠想象。借助0.3，0.33，0.333，0.3333，…，這些有規律的數展開想象，你們想到了什么？

生：3的個數越多就排在越后面。

師：排在越后面的數怎么樣？

生：就越準確。

師：我們直接說到底有幾個3的時候是最準確的，但我們說出了一個變化的趨勢—3的個數越多，就越準確。這種思考問題的方法是以后要學習的非常重要的數學方法。

在計算1÷3的過程中首先遇到的問題是永遠除不盡，然后是每次都商3。這兩個問題在本質上是一樣的，都是因為余數重復出現。無限是一個想象中的概念，小學生要理解無限的概念是比較困難的，通過對數列的觀察與比較，讓學生想象“數列的極限”，感悟有限小數不能精確表示計算的結果，體會數學概念產生的必要性。在0.3，0.33，0.333，0.3333，…這個數列中，如果n表示3的個數，當n→∞時，這個結果與除法的準確值的距離越來越小，在這樣的情況下，直觀的解釋就是它與在數軸上的距離趨近于0。

三、循環的符號表示

在數學教學中，如果讓學生經歷數學符號再創造的過程，不僅可以增進符號的意義理解，還能分享數學符號的智力表示。循環的符號表示，就是把循環小數的周期用循環節表示出來，教師教學時可以抓住“如何表示計算結果？”這個基本問題，討論模式的識別與記號的規則。

師：再請大家計算5÷6、8÷37這兩道題，一邊算一邊思考，除到什么時候就可以“適可而止”了？

（出示學生的算式）

師：如果繼續往下除，結果會是怎樣的？

生：5÷6的答案是0.8333…，后面還有很多3。

生：8÷37的答案是0.216216216，后面還是216。

師：剛才我們已經計算了3道題，結果都是除不盡的。以1÷3為例，得數怎么寫比較好呢？

生1：1÷3=0.333（很多個3）。

生2：1÷3=0.333（在3的下面加大括號，注明n個）。

生3：1÷3=0.333…。

生4：1÷3=0.3。

師：現在有四種記錄結果的方法，你們都看得懂嗎？有什么問題要問的？

生：第四種方法在3上面加一個點是什么意思？

生：就是這個3會反復出現，它的意思跟第三種方法差不多。

師：在3的上面戴個“小帽子”，表示它會不斷地重復出現，這個想法怎么樣？

生：比較簡潔。

師：這是你的評價。其余三種表示方法你們怎么看？

生：前面兩種太麻煩了，要寫這么多的字。

師：你們的意思是比較喜歡用第三種或第四種表示方法，對嗎？

生：對。

師：選擇自己喜歡的方法，把5÷6的計算結果也表示出來。

生1：5÷6=0.83…

生2：5÷6=0.83。

生3：5÷6=0.83。

師：比較這三種方法，有什么評價，或有什么問題？

生：第一種方法后面重復的是什么呢？

師：對呀，是什么呢？重復的是83還是3？

生：是3。

師：這就說明這樣記錄，沒有把哪些數字會重復清晰地表示出來。像上面這樣，用省略號表示除不盡或寫不完，但不能清楚地表示哪些數字重復出現。

師：比較第二種與第三種方法，有什么評價？

生：第二種表示方法是錯的，因為重復出現的是3，而不是8和3。第三種方法是對的。

師：在數字上記一個小圓點，這個小圓點在哪個數字上，就表示這個數字會重復出現。

師：8÷37的結果怎么表示呢？

生：8÷37=0.216。

生：8÷37=0.216。

師：如果繼續往下寫，小數部分2、1、6這三個數字依次不斷重復出現，依次不斷重復出現的數字，就是這個循環小數的循環節。數學上，我們采用第二種表示方法。寫循環小數時，可以只寫第一個循環節，并在這個循環節的首位與末位數上面各記一個圓點。

學生應該自己建立數學知識，而不是從教師或課本上接受知識結論。循環的符號表示，其核心是意義的聯系與模式的辨認。教學的關鍵是把它當作一個再創造的思維過程與成果，而不是一個記憶與模仿的對象。為了使符號表示獲得意義，先讓學生獨立思考，用自己的方式記錄計算的結果，這時記號代表了個體的想法。交流個體的不同想法，通過交流使記號與意義建立聯系。比較區分記號的優劣，通過比較篩選可以區分循環模式的方法，形成統一規則。這時，個體的記號演化為數學的符號，它就成為思維的對象，有了交流與共享的功能。

四、周期規律的運用

循環小數的練習，通常都是標記符號與取近似值，這些訓練可以使技能變得自動化，但并不能培養真正的能力。練習的目的是加深理解，是應用。學生如果具備真正的能力，就能夠將所學的知識遷移到新的情境中。對知識與技能的有效遷移能力是指在不同情境和問題面前創造性地、靈活地、流暢地應用所學知識的能力。

和有余數的除法一樣，循環小數有周期性的規律，利用這個規律，可以直接推算出關聯算式的得數，使計算活動更有思考性與創造性。

師：先計算1÷7，把計算結果用循環小數表示出來。

生：1÷7=0.142857。

師：仔細觀察計算過程，說一說每一步計算的是幾除以7。

師：根據計算過程，你能直接寫出3÷7的結果嗎？如果寫不出來，也可以自己先算一算3÷7。

（學生獨立思考。）

師（指某學生）：你沒有動手計算，有結果了嗎？你是怎么想的？

生：上面計算的第二步就是3除以7，商4，四七二十八，余2，接下來就按下面的方法計算了。

師：她說的意思，哪些同學聽懂了？

生：她是說，從第二步起，把答案照抄下來就可以了。不過我有補充，前面是除到余數是1的時候就不用除了，3除以7時，要出現余數是3的時候才能停下來。

師：你的意思是接著往下除，直到余數是3。我們就在1÷7的豎式中接著往下除，下一步是什么？

生：一七得七，余3，就可以了。

師：哪些同學能直接報出3÷7的得數？

生：0.428571。

師：剛才大部分同學都列豎式計算了，你們計算的結果與他們推理的結果一樣嗎？

生：一樣。

師：比較1÷7=0.142857與3÷7=0.428571有什么相同與不同。

生：循環的數字是一樣的，都是1、4、2、8、5、7這6個數字。

生：打頭和結尾的數字不一樣。

生：如果把這些數字寫在一個圓上，就是起點不一樣，轉一圈后，最終還是回到這個數字上。

師：回到1÷7的豎式計算中，2÷7的結果可以直接寫出來嗎？

生：2÷7=0.285714。

師：能直接寫出6÷7、5÷7、4÷7、9÷7的結果嗎？

（學生獨立嘗試。）

師：哪些可以直接寫出結果，哪些不能直接寫出結果？

生：9÷7不能。

生：可以的，就是2÷7。

師：理由是什么？

生：因為9÷7=1……2，所以9÷7就是1+2÷7= 1.285714。

師：善于利用新舊知識的聯系來解決問題，這是數學能力強的表現。

利用1÷7的計算過程推理3÷7是一項富有挑戰性的數學任務。學生需要仔細地觀察與深入地思考，才能洞察計算過程與當前問題的關聯，才能知道如何運用已有知識去應對當前面臨的挑戰。讓學生直接思考真實的問題，有助于促進學生的理解。教學時，教師要提醒學生仔細觀察計算過程，給予學生充分的思考時間，而不是匆忙地提示思考的方法。

在除法計算中，當周期性地出現相同的余數時，商的小數部分就會依次不斷重復出現相同的數字。如果兩個數除以一個數，余數相同，它們的小數部分的循環節就是一樣的。對循環小數概念理解，不僅包括概念的意義和記號的規則，還包括知識之間內在的本質聯系。

【參考文獻】

[1]張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]鐘善基，等.小學數學的基礎理論[M].北京：北京師范大學出版社，1996.

[3]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]格蘭特·威金斯，等.追求理解的教學設計[M].上海：華東師范大學出版社，2017.