化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用

摘 要：化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中普遍使用，尤其是在求解一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，化歸與轉(zhuǎn)化思想往往是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的第一道工序.文章從四個(gè)方面舉例分析化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；化歸與轉(zhuǎn)化思想；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）31-0076-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡(jiǎn)介：

闞勝男（1997.8—），女，江蘇省南通人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

化歸與轉(zhuǎn)化思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)之中，是應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)思想方法.究其原因是化歸與轉(zhuǎn)化思想能夠在各種類型的試題解答中都發(fā)揮效果，而且學(xué)生也能普遍接受和理解^[1].下面結(jié)合具體例題來(lái)談?wù)劵瘹w與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1 化歸與轉(zhuǎn)化思想常用到的方法

方法1 直接轉(zhuǎn)化法.將復(fù)雜問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，如在解三角形中，主要的轉(zhuǎn)化有角度的轉(zhuǎn)化、通過(guò)正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.

方法2 換元法.通過(guò)換元，可將無(wú)理式變?yōu)橛欣硎剑瑢⑤^復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題.

方法3 數(shù)形結(jié)合法.將問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，或者將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀.

方法4 等價(jià)轉(zhuǎn)化法.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單且易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的.

方法5 特殊化方法.將問(wèn)題向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題.

2 化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

2.1 補(bǔ)集思想

例1 中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲、乙等5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有.

解析 5名航天員安排三艙，每個(gè)艙至少一人至多二人，共有C15C13C24=90種安排方法，若甲乙在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有C13C13C12=18種，根據(jù)補(bǔ)集思想可知甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有90-18=72種.

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用組合公式求出所有的情況和甲乙在同一實(shí)驗(yàn)艙的情況，然后利用補(bǔ)集思想即可求解.

例2 已知函數(shù)f（x）=x-1.若f（a）+f（b）+f（c）=0，證明：a，b，c這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)不大于1.

證明 因?yàn)閒（a）+f（b）+f（c）=0，

所以a+b+c=3.

假設(shè)a，b，c這三個(gè)數(shù)中沒(méi)有一個(gè)數(shù)不大于1，即每個(gè)數(shù)都大于1，即agt;1，bgt;1，cgt;1，則

agt;1，bgt;1，cgt;1.

所以a+b+cgt;3，這與a+b+c=3矛盾，假設(shè)不成立.

所以a，b，c這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)不大于1.

點(diǎn)評(píng) 考慮到正面分析比較復(fù)雜，用補(bǔ)集思想，從對(duì)立面思考.利用反證法，先假設(shè)原命題成立，推出矛盾，故假設(shè)不成立，于是問(wèn)題得證^[2].

2.2 將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題

例3 若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分

別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，則b2+a2b的取值范圍為.

解析 由acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，

得acosBcosC+asinBsinC-a（cosBcosC-sinBsinC）=23csinBcosA.

即asinBsinC=3csinBcosA.

由正弦定理得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA.

顯然sinCgt;0，sinBgt;0，所以sinA=3cosA.

所以tanA=3.

因?yàn)锳∈（0，π2），

所以A=π3.

因?yàn)椤鰽BC外接圓的半徑為3，

所以asinA=bsinB=23.

所以a=3，b=23sinB.

所以b2+a2b=b+a2b=23sinB+332sinB=23（sinB+34sinB）.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

所以0lt;Blt;π2，0lt;2π3-Blt;π2.

解得π6lt;Blt;π2，即sinB∈（12，1）.

令f（x）=x+34x，x∈（12，1），根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）=x+34x在（12，32）上單調(diào)遞減，在（32，1）上單調(diào)遞增，且f（12）=2，f（32）=3，

f（1）=74.

所以f（x）∈［3，2）.

即sinB+34sinB∈［3，2）.

所以23（sinB+34sinB）∈［6，43）.

即b2+a2b的取值范圍為［6，43）.

點(diǎn)評(píng) 由已知條件解出A，再運(yùn)用正弦定理邊化角，將待求式子轉(zhuǎn)化為僅含角B的式子，最后構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出所求式子的范圍.

2.3 函數(shù)與方程、不等式間的轉(zhuǎn)化

例4 已知函數(shù)f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+cos（πx），則方程f（x）=1在區(qū)間［-2，4］上的所有實(shí)根之和為（" ）.

A.0" B.3" C.6" D.12

解析 由題意得f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+

cos（πx）=（x-1）2cos（πx），

f（2-x）=（2-x-1）2cos［π（2-x）］=（1-x）2cos（2π-πx）=（x-1）2cos（πx）=f（x），

所以f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=0≠1；

當(dāng)x≠1時(shí)，令f（x）=1可得

cos（πx）=1（x-1）2.

當(dāng)x=2時(shí)，cos2π=1（2-1）2=1；

當(dāng)x=4時(shí)，cos4π=1gt;1（4-1）2=19.

在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=cos（πx），y=1（x-1）2的圖象，如圖1所示.

由圖1可知y=cos（πx），y=1（x-1）2在（1，4］上有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，所以所有的實(shí)根之和為3×2=6.故選C.

點(diǎn)評(píng) 先找到函數(shù)的對(duì)稱軸，然后將方程有根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，作出草圖，并分析圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得到答案.

2.4 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

例5 已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且PA=PB=PC，三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為S，若S∈［4π9，4π5］，則點(diǎn)P到平面ABC的距離的取值范圍為.

解析 設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，內(nèi)切球半徑為r，則三棱錐P-ABC的表面積為3h2+13+3.

由等體積法，得13（3h2+13+3）r=13×3h.

即r=h3h2+1+1=13+1/h2+1/h.

當(dāng)h增大時(shí)，r隨之增大.

設(shè)h的取值范圍為［m，n］，由S∈［4π9，4π5］，得r∈［13，55］.

所以當(dāng)h=m時(shí)，r=13=13+1/m2+1/m；

當(dāng)h=n時(shí)，r=55=13+1/n2+1/n，

解得m=1，n=5.

所以點(diǎn)P到平面ABC的距離的取值范圍為［1，5］.

點(diǎn)評(píng) 先設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，并用其表示出三棱錐P-ABC的表面積，然后通過(guò)等體積法轉(zhuǎn)化求解距離的取值范圍.

3 結(jié)束語(yǔ)

化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中都會(huì)用到.學(xué)生如果能靈活進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單，陌生問(wèn)題就會(huì)變得熟悉，綜合問(wèn)題也能夠得到有效的拆分^[3].這樣，就可以在無(wú)形之中提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］羅文軍.化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用[J].廣東教育（高中版），2023（02）：20-27.

[2] 李鴻昌，曾吉相.調(diào)整法在不等式證明中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（19）：50-53.

[3] 李鴻昌.一道新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（15）：22-23.

［責(zé)任編輯：李 璟］