數學期望的性質在新高考中的應用

摘 要：從2020年新高考以來，有多道試題涉及數學期望的線性性質.文章將介紹數學期望的線性性質在高考試題中的應用.

關鍵詞：數學期望的性質；高考；隨機變量

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0100-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：陳騰（1991.3—），男，江西省高安人，本科，從事高中數學教學研究.

離散型隨機變量的數字特征是高考的常考內容，此類試題閱讀量大，計算量大，知識綜合.在考試時要仔細分析題意，確保計算正確，特別是分布列不能出錯，因為這是其他數據正確的前提.本文給出一個數學期望的性質，結合近年的高考真題，探討該性質在解決數學期望相關問題中的應用.

1 數學期望

若離散型隨機變量X的概率分布為P（X=xi）=

Pi，i=1，2，…，n，其中pi≥0，i=1，2，…，n，且∑ni-1pi=1，則稱E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑ni-1xipi為隨機變量X的均值或數學期望.

線性性質：設X，Y為兩個隨機變量，則有

E（X+Y）=E（X）+E（Y）^［1］.

可推廣為E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）.

2 試題分析

原題1 某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學比賽結束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序

無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

解析 （1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，則X的取值可能為100，20，0.因為各題互相獨立，所以P（X=100）=0.8×0.6=

0.48，P（X=20）=0.8×（1-0.6）=0.32，P（X=0）=

1-0.8=0.2，故隨機變量X的分布列見表1：

則X的數學期望E（X）=100×0.48+20×

0.32+0×0.2=54.4.

（2）若小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的取值可能為100，80，0.因為各題互相獨立，所以P（Y=100）=0.6×0.8=0.48，P（Y=80）=0.2×0.6=0.12，P（Y=0）=1-0.6=0.4，故隨機變量Y的分布列見表2：

則Y的數學期望為E（Y）=100×0.48+80×0.12+0×0.4=57.6.

結合（1）知E（Y）gt;E（X），所以小明應先選B類問題作答.

評注 標準答案是根據期望的定義來解答，若用數學期望的線性性質求E（Y），解法如下：若小明先回答B類問題，其回答B類問題得分的期望E（Y1）=

0.6×80=48，回答A類問題得分的期望

E（Y2）=0.6×0.8×20=9.6，所以E（Y）=E（Y1）+E（Y2）=57.6.

原題2 在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50 m以上（含9.50 m）的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）.

解析 設甲獲得優秀獎為事件A1，乙獲得優秀獎為事件A2，丙獲得優秀獎為事件A3，

P（X=0）=P（A1A2A3）=0.6×0.5×0.5=320，

P（X=1）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=820，

P（X=2）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=720，

P（X=3）=P（A1A2A3）=0.4×0.5×0.5=220.

故隨機變量X的分布列見表3：

評注 用數學期望的線性性質解法如下：由頻率估計概率可得，甲獲得優秀獎的概率為0.4，乙獲得優秀獎的概率為0.5，丙獲得優秀獎的概率為0.5，所以甲獲得優秀獎的期望E（X1）=0.4，乙獲得優秀獎的期望E（X2）=0.5，丙獲得優秀獎的期望E（X3）=0.5，所以E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）=1.4.

原題3 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中，則此人繼續投籃；若未命中，則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）.

解析 因為qi=16×（25）^i-1+13，i=1，2，…，n，

所以當n∈N*時，E（Y）=q1+q2+…+qn=

16×1-（

2/5）n1-2/5+n3=518［1-（25）n］+n3，

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3.

評注 本題中的已知條件就是數學期望的線性性質的一種特殊形式：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=∑ni=1qi.

原題4 （2024年新課標全國Ⅰ卷數學第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

解析 由于對稱性，不妨固定乙四輪選卡的數字依次為（2，4，6，8），則n（Ω）=A44=24.

記事件A=“四輪比賽后，甲的總得分不小于2分”，則A={（1，5，7，3），（3，1，7，5），（3，5，1，7），（3，5，7，1）（3，7，1，5），（3，7，5，1），（5，1，7，3），（5，3，7，1），（5，7，1，3），（5，7，3，1），（7，5，1，3），（7，5，3，1），所以P（A）=1224=12.

評注 本題若應用數學期望的線性性質解題，可避免繁雜的列舉法，思維獨特，也是一種妙解.具體解法如下：設甲在四輪游戲中的得分分別為X1，X2，X3，X4，四輪的總得分為X.對于任意一輪，甲、乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率P（Xk=1）=64×4=38，所以E（Xk）=38（k=1，2，3，4）.從而E（X）=E（X1+X2+X3+X4）=∑4k=1E（Xk）=∑4k=138=32.

記pk=P（X=k）（k=0，1，2，3）.

若甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以p0=1A44=124.

若甲得3分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以p3=1A44=124.

而X的所有可能取值是0，1，2，3，即p0+p1+p2+p3=1，p1+2p2+3p3=E（X）=32.

所以p1+p2+112=1，p1+2p2+18=32，兩式相減得p2+124=12，則p2+p3=12.

故甲的總得分不小于2的概率為p2+p3=12.

3 結束語

研究高考真題，不僅僅是提升教師專業能力、形成教師個人解題成果的過程，更是學生探索解題思路、主動思考的過程.在備考學習中要引導學生加強解題方法的歸納與總結，從高考真題的研究和反思中掌握高考的變化趨勢和命題規律，舉一反三，提升備考效率.數學期望的線性性質雖然在高中課本中并沒有涉及，但由以上例子我們可以看出，數學期望的線性性質在高考中頻繁應用.數學期望的線性性質可以幫我們簡化運算過程，甚至可以提供一條解題捷徑，同時該性質也可以用來快速驗證用定義法解出的答案是否正確.

參考文獻：

［1］鄧啟龍.隨機變量的數學期望和方差的一些性質[J].高中數理化，2023（01）：48-50.

［責任編輯：李 璟］