例析解析幾何中優化運算的基本策略

摘 要：通過八個角度對解析幾何典型例題進行分析，展示如何抓住問題本質，根據運算對象特征，尋找簡化幾何運算的策略，減少解析幾何解題的運算量，規避復雜的運算，提高解題效率，從而不斷提高學生的運算能力，提升學生的運算素養.

關鍵詞：解析幾何;優化運算;基本策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0010-09

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：李春林（1978.1—），男，甘肅省天水人，本科，從事高中數學教學研究.

基金項目：2023年甘肅省教育科學“十四五”規劃課題“基于微專題思路的高三解析幾何復習策略研究”（項目編號：GS[2023]GHB1025）.

解析幾何問題一直是高考的熱點和難點.此類問題涉及的知識面廣，綜合性強，運算量大，解題方法靈活多變，這使得許多考生在解題中會出現畏懼、耗時、無正確結果的“困境”^[1].即使某些學生探究到了解題思路，但因為紛繁復雜的運算而不得不放棄解答.所以，減少不必要的運算、靈活掌握優化運算的解題策略，是破解解析幾何問題的關鍵一環.

1 優化運算的基本策略例析

1.1 回歸定義，彰顯本質

回歸定義的實質是重新審視概念，并用相應的概念解決問題，這是一種樸素而又重要的策略和思想方法.圓錐曲線的定義既是有關圓錐曲線問題的出發點，又是新知識、新思維的生長點.對于相關的圓錐曲線中的數學問題，若能根據已知條件，巧妙靈活應用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果.

例1 （2023年天津模擬）已知B（-3，0）是圓A：（x-3）2＋y2＝16內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為.

解析 如圖1，連接BD，由題意得|BD|＝|CD|.

則|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4gt;23＝|AB|.

由橢圓的定義可得動點D的軌跡為橢圓，

其焦點坐標為（±3，0），長半軸長為2.

故短半軸長為1.

故動點D的軌跡方程為x24＋y2＝1.

例2 （2023年長沙模擬）已知P為軌跡C：y2＝8x上的一動點，求點P到直線y＝x＋4和y軸的距離之和的最小值.

解析 如圖2，設軌跡C的焦點為F，點P到直線y＝x＋4的距離為|PP1|，到y軸的距離為|PP2|，點F到直線y＝x＋4的距離為|FF1|.

由拋物線的定義，可知|PP2|＝|PF|-2.

所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|-2.

由圖2可知|PP1|＋|PF|的最小值為點F到直線y＝x＋4的距離.

所以（|PP1|＋|PF|）min＝|FF1|＝61＋1＝32.

所以|PP1|＋|PP2|的最小值為32-2.

點評 定義是解決圓錐曲線問題的一把“金鑰匙”.深刻理解三種圓錐曲線的定義，體會定義中各要素之間的關系，在解題中能夠取得事半功倍的效果.利用定義可以實現圓錐曲線兩焦點間的距離、焦點到準線距離的互化.

1.2 設而不求，整體把握

研究直線與圓錐曲線的位置關系時，常把兩個曲線的方程聯立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助韋達定理（即根與系數的關系），結合題設條件建立有關參變量的等量關系，對于兩曲線的交點坐標設而不求，從而優化運算.設而不求是解析幾何解題的基本手段，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用，目的是通過合理的手段，應用整體把握的思想，最大限度地減少運算量.

例3 設橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率是22，直線x＝1被橢圓C截得的弦長為22.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點M（1，2），斜率為2的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，當△MAB的面積最大時，求直線l的方程.

解析 （1）由已知可得，橢圓經過點（1，±2），

解得a＝2，b=2.

故橢圓C的方程為y24+x22=1.

（2）設直線l的方程為y=2x+m，A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

聯立方程組y=2x+m，y24+x2

2=1，消去y，整理，得

4x2+22mx+m2-4=0.

則△＝8m2-16（m2-4）＝8（8-m2）＞0.

所以m∈（-22，22）.

由x1+x2=-22m，x1x2=m2-44，

得|AB|=3·（x1+x2）2-4x1x2

=3·16-2m22.

又點M到AB的距離d=|m|3，所以

S△MAB=12|AB|·d=

m2（16-2m2）4=24×m2（8-m2）≤

24·

m2+（8-m2）2=2，

當且僅當m2＝8-m2，即m＝±2時取等號.

此時直線l的方程為y=2x±2.

點評 （1）由橢圓方程經過點（1，±2），代入橢圓方程，根據橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，求得橢圓方程；

（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得|AB|，再根據點到直線的距離公式表示出△MAB的面積，利用基本不等式的性質，即可求得當△MAB的面積最大時m的取值，求得直線l的方程.求交點需要解方程組，一般比較麻煩，若設出交點坐標，應用韋達定理進行整體處理，可以避免求交點，簡化運算.

例4 已知雙曲線x2-y22＝1，過點P（1，1）能否作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？

解析 "假設存在直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點.

設A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1≠x2，由

x21-y212=1，x22-y222=1，

兩式相減，得

（x1＋x2）（x1-x2）-（y1＋y2）（y1-y2）2＝0.又x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，

所以2（x1-x2）-（y1-y2）＝0.

所以kAB＝y1-y2x1-x2＝2.

故直線l的方程為y-1＝2（x-1）.

即y＝2x-1.

由y=2x-1，x2-y22=1，

消去y，得2x2-4x＋3＝0.

因為△＝16-24＝-8lt;0，方程無解，故不存在一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點.（說明最后驗證△＞0是十分必要的）

點評 解決直線與圓錐曲線相交弦的中點問題，常用韋達定理或者點差法處理.應用點差法的一般思路如下：若設直線與橢圓的交點（弦的端點）坐標為M（x1，y1），N（x2，y2），將這兩點代入橢圓的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦MN的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為點差法.和例3相似，求交點需要解方程組，一般比較麻煩，若設出交點坐標，應用“點差法”進行整體處理，可以避免求交點，簡化運算.

1.3 巧用對稱，多思少算

例5 如圖3，點F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左焦點，直線y=kx分別與橢圓C交于A，B兩點，且滿足FA⊥AB，O為坐標原點，∠ABF=∠AFO，則橢圓C的離心率e=.

解析 "如圖4，設橢圓的另一個焦點為F1，連接AF1，BF1，根據橢圓的對稱性可得四邊形AFBF1為平行四邊形.由FA⊥AB，在Rt△AFO，Rt△AFB中， ∠ABF＝∠AFO，所以tan∠AFO=|AO||AF|=tan∠ABF=|AF|2|AO|，所以|AF|=2|AO|.

在Rt△AFO中，|FO|2=c2=|AF|2+|AO|2=3|AO|2，得

3|AO|=33c，

所以|AB|=2|AO|=233c，

|AF|=6c3.

由橢圓的定義有

|BF|=2a-|BF1|=2a-6c3.

在Rt△AFB中，|BF|2=|AF|2+|AB|2，即

（2a-6c3）2=（23c3）2+（6c3）2.

化簡整理，得-6ac+3a2=c2.

兩邊同時除以a2，得

e2+6e-3=0，

解得e=-6±322.

又0lt;elt;1，所以橢圓的離心率為32-62.

點評 設橢圓的另一個焦點，則結合橢圓的對稱性可構造出平行四邊形，由條件可得|AF|=2|AO|，然后由橢圓的定義可得|BF|，再在Rt△AFB用勾股定理，進而求出離心率.利用直線及圓錐曲線關于坐標原點的對稱性，可將與圓錐曲線有關的幾何關系進行靈活轉化，從而簡化運算.

1.4 換元引參，迂回向前

例6 已知點P是橢圓x29+y24=1上的動點，當點P到直線x-2y+10＝0的距離最小時，點P的坐標是.

解析 點P為橢圓x29+y24=1上的動點，設點P（3cosα，2sinα）（0≤α≤2π），則點P到直線x-2y+10＝0的距離為

d＝|3cosα-4sina-10|1+4

=

|5sin（-α+θ）-10|5，

當sin（θ-α）＝1時，d取得最小值，

此時，sinθ＝35，cosθ＝45，35cosα-45sinα=1，解得sinα=45，cosα=-35.

可得點P的坐標為（-95，85）.

點評 運用三角代換，設出點P，再由點到直線的距離公式及兩角和的正弦公式，結合正弦函數的值域，即可得到最小值，然后求解點P的坐標.求橢圓上的動點到定點或定直線的距離的最值問題時，可利用三角換元，減少變元個數，從而轉化為三角函數的最值問題處理.

1.5 應用結論，事半功倍

解題時靈活應用一些重要的結論，能夠避開推導這些結論的過程，提高效率和正確率，起到事半功倍的效果.下面列舉橢圓、雙曲線中常用的二級結論及在解題中的應用.

（1）焦點三角形的面積公式：P為橢圓（雙曲線）上異于長軸端點的一點，且∠F1PF2＝θ，則橢圓中S△PF1F2＝b2·tanθ2，雙曲線中S△PF1F2＝b2tan（θ/2）.

（2）周角定理：已知A，B為橢圓（或雙曲線）上關于原點對稱的兩點，點P為橢圓（或雙曲線）上異于A，B的任一點，則橢圓中kPA·kPB＝-

b2a2，雙曲線中kPA·kPB＝b2a2.

（3）中點斜率結合公式：已知A（x1，y1），B（x2，y2）為圓錐曲線E上的兩點，AB的中點為C（x0，y0），直線AB的斜率為k；

若E的方程為x2a2＋y2b2＝1（agt;bgt;0），則k＝-b2a2·x0y0；

若E的方程為x2a2-

y2b2＝1（agt;0，bgt;0），則k＝-b2a2·x0y0；

若E的方程為y2＝2px（pgt;0），則k＝py0.

（4）與拋物線的焦點弦有關的二級結論：

若傾斜角為α的直線l（l的斜率存在且不為零）經過拋物線y2＝2px（pgt;0）的焦點，且與拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1gt;y2）兩點，則

①焦半徑|AF|＝x1＋p2＝p1-cosα；

|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα；

②焦點弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α；

③S△OAB＝p22sinα（O為坐標原點）;

④x1x2＝p24，y1y2＝-p2；

⑤1|AF|＋1|BF|＝2p；

⑥以AB為直徑的圓與準線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切.

例7 已知橢圓C：

x2a2+y2b2＝1（agt;bgt;0），其左、右焦點分別為F1，F2，其離心率e＝12，點P為該橢圓上一點，且滿足∠F1PF2＝π3，已知△F1PF2的內切圓半徑為r＝3，則該橢圓的長軸長為.

解析 由e＝12，得ca＝12，即a＝2c.①

在△F1PF2中，根據橢圓的定義及焦點三角形的面積公式，得

S△F1PF2＝b2tan∠F1PF22＝12r（2a＋2c）.

即33b2＝3（a＋c）.②

由a2＝b2＋c2，③

聯立①②③，得c＝3，a＝6，b＝33.

所以該橢圓的長軸長為2a＝2×6＝12.

例8 已知雙曲線C：x2a2-y2b2＝1（agt;0，bgt;0），過原點O的直線交C于A，B兩點（點B在右支

上），雙曲線右支上一點P（異于點B）滿足BA·BP＝0，直線PA交x軸于點D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為.

解析 如圖5，BA·BP＝0，所以BA⊥BP.

令kAB＝k，因為∠ADO＝∠AOD，

所以kAP＝-kAB＝-k.

又BA⊥BP，所以kPB＝-1k.

依題意，kPB·kPA＝b2a2，

所以-1k·（-k）＝b2a2.

所以b2a2＝1，即e＝2.

例9 已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為π6的直線l過焦點F交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABO的面積為.

解法1 （常規解法）依題意，拋物線C：y2＝16x的焦點為F（4，0），直線l的方程為x＝3y＋4.

由x＝3y＋4，y2＝16x，消去x整理，得

y2-163y-64＝0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則y1＋y2＝163，y1y2＝-64.

所以S△OAB＝12|y1-y2|·|OF|

＝2（y1＋y2）2-4y1y2）

＝2（163）2-4×（-64）＝64.

解法2 （活用結論）依題意，拋物線y2＝16x，p＝8.又l的傾斜角α＝π6，

所以S△OAB＝p22sinα＝822sin（π/6）＝64.

例10 直線l過拋物線y2＝2px（pgt;0）的焦點F（1，0）且與拋物線交于A，B兩點，則|AF|-2|BF|的最小值為.

解法1 已知p2＝1 ，即p＝2.

所以拋物線的方程為y2＝4x.

若直線l與x軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不符合題意；

設直線l的方程為x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立x＝my＋1，y2＝4x，可得

y2-4my-4＝0.

則△＝16m2＋16gt;0，y1＋y2＝4m，y1y2＝-4.

所以1|AF|＋1|BF|＝

1x1＋1＋1x2＋1

＝1my1＋2＋1my2＋2

＝my1＋2＋my2＋2（my1＋2）（my2＋2）

＝m（y1＋y2）＋4m2y1y2＋2m（y1＋y2）＋4

＝4m2＋4-4m2＋8m2＋4＝1.

所以1|BF|＝1-1|AF|.

則|AF|-2|BF|

＝|AF|-2（1-1|AF|）

＝|AF|＋2|AF|-2

≥2|AF|·2|AF|-2

＝22-2，

當且僅當|AF|＝2時，等號成立.

故|AF|-2|BF|的最小值為22-2.

解法2 因為p2＝1，所以p＝2.

又1|AF|＋1|BF|＝p2，

所以1|AF|＋1|BF|＝1.

所以1|BF|=1-1|AF|.

因為|AF|-2|BF|＝|AF|-2（1-1|AF|）

＝|AF|＋2|AF|-2

≥22-2，

當且僅當|AF|＝2時，等號成立.

所以|AF|-2|BF|的最小值為22-2.

點評 例7～例10用常規的辦法解決，運算量比較大.而利用平面幾何中的二級結論就能立竿見影，可以迅速溝通已知量與待求量之間的關系，使得解題過程簡潔流暢，極大提高了解題效率.

1.6 平幾滲透，數形結合

解析幾何首先是幾何問題，如果能在進行計算的同時綜合考慮幾何因素的話，即在用代數方法研究曲線間關系的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質，常可得出簡潔而優美的解法.

例11 已知A（3，0）是圓x2+y2=25內的一個定點，以A為直角頂點作Rt△ABC，且點B，C在圓上，試求BC中點M的軌跡方程.圖6 例11解析示意圖

解析 如圖6，設M（x，y），連接OC，OM，MA，因為M為BC的中點，則由垂徑定理知，OM⊥BC.

所以OM2+MC2=OC2.

因為在Rt△ABC中，AM=BM=CM=12BC，

所以OM2+AM2=OC2.

即x2+y2+（x-3）2+y2=25.

所以點M的軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.

點評 B，C都為圓x2+y2=25上的動點，可引進角參數，設出B，C的坐標，然而這將導致繁復的運算.如果注意到由“垂徑定理”知OM⊥BC（O為原點），那么再結合∠CAB=90°，AM=BM=CM=12BC，即可迅速解題.“垂徑定理”的使用，讓我們在尋找點M的坐標中的x與y的關系時，跳過了兩個動點B，C，而直達一個非常明確的結果OM2+AM2=OC2.這大大減少了運算量.

1.7 同理推算，降低運算

例12 如圖7，設拋物線P：y2=x，直線AB與拋物線P交于A，B兩點，且OA⊥OB，OA+OB=OC，求四邊形AOBC面積的最小值.

解析 "依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設直線OA的斜率為k，由于OA⊥OB，設直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-1kx.

由y=kx，y2=x， 消去y，得k2x2-x=0，

解得x=0或x=1k2.

所以點A（1k2，1k）.

同理得點B（k2，-k）.

由OA+OB=OC，知四邊形AOBC是平行四邊形.又OA⊥OB，則四邊形AOBC是矩形，其面積：

S=|OA|·|OB|=（1k2）2+（1k）2·k2+（-k）2=2+k2+1k2≥2+2k2·1k2=2，

當且僅當k2=1k2，即k2=1時，等號成立，

即四邊形AOBC的面積的最小值為2.

例13 已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點，求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程.

解析 由A1，A2為雙曲線的左、右頂點知，A1（-2，0），A2（2，0），

直線A1P為y=y1x1+2（x+2），

直線A2Q為y=-y1x1-2（x-2）.

兩式相乘，得y2=-y21x21-2（x2-2）.

又點P（x1，y1）在雙曲線上，得x12-y21=1.

即y21x21-2=12.

故y2=-12（x2-2）.

所以直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程為x22+y2=1（xy≠0）.

例14 已知F為拋物線C：y2＝2x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為.

解法1 由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F（12，0），設l1：x＝ty＋12，則直線l1的斜率為1t，聯立方程得

y2=2x，x=ty+12，

消去x，得

y2-2ty-1＝0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1＋y2＝2t，y1y2＝-1.

所以|AB|＝t2＋1|y1-y2|

＝t2＋1·（y1＋y2）2-4y1y2

＝t2＋1·4t2＋4

＝2t2＋2，

同理，用1t替換t可得|DE|＝2t2＋2.

所以|AB|＋|DE|＝2（t2＋1t2）＋4≥4＋4＝8，當且僅當t2＝1t2，即t＝±1時等號成立.

故|AB|＋|DE|的最小值為8.

解法2 由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F（12，0），不妨設l1的斜率為k，則l1：y＝k（x-12），l2：y＝-1k（x-12）.

由y2=2x，y=k（x-12），

消去y，得

k2x2-（k2＋2）x＋k24＝0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝1＋2k2.

由拋物線的定義知，

|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋2k2＋1＝2＋2k2.

同理，用-1k替換|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2.

所以|AB|＋|DE|＝2＋2k2＋2＋2k2＝4＋2k2＋2k2≥4＋4＝8，當且僅當2k2＝2k2，即k＝±1時等號成立.

故|AB|＋|DE|的最小值為8.

點評 在例12中，得到點A（1k2，1k）后，只需用-1k替換k，即得B（k2，-k）.在例14的解法1中：用1t替換|AB|=2t2＋2t的t可得|DE|＝2t2＋2; 在例14的解法2中：用-1k替換|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2.在解析幾何中遇到類似的情形，只需將結果作“同理推算”（替換）即可，不必重算一遍.“同理推算”是降低運算量的有效方法，它可以化繁為簡，直奔結果.

1.8 特“形”引路，先猜后證

“先猜后證”是一種通過特殊化獲得一般性結論的推理方法，這是探明結論的有效途徑之一.在解析幾何解答中，猜想可以明確目標，從而使運算策略與方向的選擇更具針對性，尤其在解析幾何的定點、定值等問題中，常常要先研究圖形的特殊情形、臨界狀態，由此先得到結論，再進行一般情形下的證明.如果能夠先探明結論，找到目標，那么運算策略與方向的選擇也更具針對性，進而則可以降低運算量，提高運算速度.

例15 已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，OA+OB與a=（3，-1）共線.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設M為橢圓上任意一點，且OM=λOA+μOB（λ，μ∈R），求證：λ2+μ2為定值.

解析 （1）易得離心率e=63.

（2）如圖8，設點M（x，y），則OM=（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2）.

則x=λx1+μx2，y=λy1+μy2.

由（1），得橢圓方程為x2+3y2=3b2，將點M坐標代入即得（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2.

圍繞解題目標：證明λ2+μ2為定值，故要分離出λ2+μ2.

即λ2（x21+3y21）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2.

于是

λ2+μ2=3b2-2λμ（x1x2+3y1y2）3b2.

再如何進行呢？面對如此復雜的式子，很多考生往往不知所向.此時，如果先通過點M的特殊位置猜出定值，可以為我們的解題指明方向.

當點M運動到點A時，則λ=1，μ=0，則λ2+μ2=1，即可發現定值是1.

于是，只要證明x1x2+3y1y2=0，這樣解答方向明確，問題迎刃而解.過程如下：

x1x2+3y1y2

=x1x2+3（x1-c）·（x2-c）

=4x1x2-3c（x1+x2）+3c2

=3c22-3c·3c2+3c2

=0.

所以λ2+μ2=3b23b2=1.

點評 定點、定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以給變化的量賦予特殊的值，從而找到可能的定值或者定點，明確情況后，問題便迎刃而解.在解析幾何的定點、定值問題中，“先猜后證”方法的切入點往往是利用直線的特殊位置或者曲線的特殊化來簡化計算，根據特殊條件猜出定點、定值，然后證明在一般情況下該結論仍然成立.

2 結束語

高中平面解析幾何是在初中平面幾何的基礎上，利用方程的觀點、代數的視角等“數”的思維來解決平面直角坐標系中幾何圖形“形”的特征問題.以“數”解“形”，避免幾何問題中的邏輯推理，以代數的方法進行優化處理. 只是處理過程中運算繁雜，運算量大，導致解答時間冗長，或算不出結果，或導致錯誤，或中止解題過程，“望題興嘆”^[2].在高考中，解決問題時若花費更多的時間與精力，往往會犧牲解答其他問題的時間，有時得不償失.所以，優化數學運算、簡化解題過程成了圓錐曲線問題中追求的一個目標.在解答解析幾何問題時，合理探究一些必要的策略技巧，選用適當方法，優化數學運算，往往可以收到事半功倍的效果.“回歸定義，彰顯本質”“設而不求，整體把握”“巧用對稱，多思少算”“換元引參，迂回向前”“應用結論，事半功倍”“平幾滲透，數形結合”“同理推算，降低運算” “特“形”引路，先猜后證”等都是解析幾何中減少運算量的常用策略，合理利用以上策略，將有利于我們抓住問題本質，規避復雜的運算，提高解題效率，從而不斷提高學生的運算能力，提升學生的運算素養.

參考文獻：

［1］楊文武.減少解析幾何運算量的五種途徑[J].中學數學月刊，2019（05）： 62-64.

[2] 黃俊峰，袁方程.減少解析幾何運算量的幾種方法[J].河北理科教學研究，2019（02）：13-16.

［責任編輯：李 璟］