依托數學文化 滲透面積公式

摘 要：結合三角術的發展歷程所對應的“閱讀與思考”板塊，深入研究相應的數學文化，通過三角形面積的海倫公式，滲透與三角形面積相關的公式與應用，實現數學文化的融合，引領與指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：三角形；面積；海倫；秦九韶

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0091-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：牛相如（1987.10—），男，安徽省蒙城人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數學文化與數學知識的交匯與融合，成為新高考數學試卷命題中的一個重要方向.此類涉及數學文化的基本考點，以“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等板塊設置，通過教材知識以及課后閱讀材料等形式來展示.合理挖掘高中數學教材中數學文化與數學知識的交匯點，剖析其內涵與實質，引導學生深入閱讀、理解、體會、創新，才能正確融入數學文化，提升自己的數學文化內涵與數學綜合應用，給數學學習創造更多的場景與應用^［1］.

1 依托閱讀板塊

【閱讀與思考】2019年人教版數學必修第2冊

第六章《平面向量及其應用》第55頁“閱讀與思考”板塊——海倫和秦九韶.

基于高中數學教材“閱讀與思考”欄目的閱讀材料，介紹三角術的發展，特別是三角形面積的海倫公式以及秦九韶方法等，拓展三角形面積的應用，也給平面幾何、三角形面積等基礎知識和關鍵能力的進一步提升與應用創造更加廣闊的空間，創新應用場景，備受各方關注.

2 數學文化史話

基于教材中“海倫與秦九韶”的介紹，深入理解三角形面積的海倫公式以及秦九韶方法等，這里著重介紹與大數學家秦九韶有關的一些重要史話.

秦九韶（約1208—約1261），南宋官員、數學家，世稱“宋元數學四大家”（與李冶、楊輝、朱世杰三人）之一.字道古，漢族，自稱魯郡（治今山東曲阜）人，生于普州安岳（今屬四川）.其父秦季棲，進士出身，官至上部郎中

、秘書少監，曾任秘書少監兼國史館編修，攜秦九韶從宦，得以閱讀國家館藏書籍.后從隱士學習數學，史稱秦九韶“性極機巧，星象、音律、算術以及營造等事，無不精究”.秦九韶學著等身，對數學進行潛心鉆研并深有體會，最著名的著作是《數書九章》，其中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻.

秦九韶創造的一些算法，例如多項式求值的算法，現稱秦九韶算法，至今仍是世界上最好的算法之一.秦九韶還創用了“三斜求積術：三斜求積公式S2=14[a2b2-（a2+b2-c22）2]”等，其實質就是利用已知三角形的三邊長來求解與之相應的三角形的面積公式，這與海倫公式“S=p（p-a）（p-b）（p-c）或S2=p（p-a）（p-b）（p-c）（其中2p=a+b+c）”是相吻合的，完全一致.在實際解題與應用過程中，由于海倫公式相對比較簡單，經常直接利用海倫公式來分析與處理一些相關的問題.

同時，以其名字命名的秦九韶算法，是一種將一元n次多項式的求值問題轉化為n個一次式的算法，大大簡化了計算過程，即使在現代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優的算法.

3 面積公式應用

3.1 元素最值問題

基于三角形面積的設置，可以借助海倫公式來處理一些三角形中相關元素，如邊長等的最值或相關應用問題.

例1 在△ABC中，角A，B，C所對的三邊分別為a，b，c，若c=2b，△ABC的面積為1，則a的最小值為.

解析 依題，結合三角形面積的海倫公式S2=p（p-a）（p-b）（p-c）=1，其中p=a+b+c2.

整理，得

16=（a+b+c）（-a+b+c）（a-b+c）（a+b-c）

=-（a⁴+b⁴+c⁴）+2（a2b2+b2c2+c2a2）

=-（a⁴+b⁴+16b⁴）+2（a2b2+4b⁴+4a2b2）.

即9b⁴-10a2b2+a⁴+16=0.

而以上關于b2的一元二次方程的判別式△=（-10a2）2-36（a⁴+16）≥0，解得a2≥3，即a≥3，所以a的最小值為3.

3.2 面積最值問題

基于三角形條件的設置，可以借助海倫公式來構建三角形的面積表達式，利用表達式的結構特征來確定相應面積的最值及其應用問題.

例2 在△ABC中，BC=4，角A的平分線AD交BC于點D.若BDDC=13，則△ABC面積的最大值為.

解析 依題，角A的平分線AD交BC于點D，且BDDC=13.

結合三角形內角平分線定理，有

ABAC=cb=13.

即b=3c.

而△ABC的半周長p=12（a+b+c）=2+2c.

結合基本不等式，由海倫公式有△ABC面積

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=2（c2-1）（4-c2）

≤2×（c2-1）+（4-c2）2=3，

當且僅當c2-1=4-c2，即c=102時等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3.

3.3 三角求值問題

基于三角形條件的設置，可以借助海倫公式來巧妙轉化，為三角形中相關角所對應的三角函數的求值與應用創造條件.

例3 △ABC的邊長分別為a，b，c，已知a+c=4b，求tanA2tanC2.

解析 設△ABC的內切圓O切△ABC的三邊分別于點D，E，F，設BD=BF=x，AD=AE=y，CE=CF=z，設內切圓O的半徑為r，△ABC的半周長p=12（a+b+c）=x+y+z.

由a+c=4b，可得（x+z）+（x+y）=4（y+z）.

整理，得y+z=23x.

而△ABC的面積

S=12（a+b+c）r=（x+y+z）r，

又由海倫公式可得

S=p（p-a）（p-b）（p-c）

=xyz（x+y+z）.

所以（x+y+z）r =xyz（x+y+z）.

則有r2=xyzx+y+z

=xyzx+2x/3=35yz.

所以tanA2tanC2=ry·rz=35.

3.4 綜合應用問題

基于三角形的設置，可以借助海倫公式并合理交匯一些相關的知識，如平面向量、函數與方程、數列與不等式等

來應用.

例4 設△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3，….若b1gt;c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（"" ）.

A.{Sn}為遞減數列

B.{Sn}為遞增數列

C.{S2n-1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列

D.{S2n-1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列

解析 不失一般性，不妨設a1=4，b1=5，c1=3，此時半周長p1=6，綜合三角形面積的海倫公式可得S1=6（6-4）（6-5）（6-3）=12（4-1）.

接下來有a2=4，b2=72，c2=92，

此時半周長p2=6，則

S2=6（6-4）（6-72）（6-92）

=12（4-14）.

接下來有a3=4，b3=174，c3=154，

此時半周長p3=6，則

S3=6（6-4）（6-174）（6-154）

=12（4-116）.

接下來有a4=4，b4=318，c4=338，

此時半周長p4=6，則

S4=6（6-4）（6-318）（6-338）

=12（4-164）.

歸納可知S1lt;S2lt;S3lt;S4，故選B.

4 結束語

基于高中數學教材中“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等板塊，合理進行閱讀、理解、探究與應用，通過閱讀形式來了解相關數學歷史與史話的來龍去脈，探究數學文化的內涵與實質，對于提升學生的學習內涵與深度學習等方面都有幫助.而依托數學文化的融入與滲透，給數學問題的創新設置提供更多的應用場景，對于提升數學思維品質與關鍵能力、養成良好的數學閱讀習慣與培養數學核心素養等方面都是十分有益的^[2].

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 武晨陽，黃秦安.從中國古代數學文化素材的提煉與運用說起[J].數學通報，2023，62（09）：7-11.

［責任編輯：李 璟］