“平面劃分法”解決一類函數(shù)的切線問題

摘 要：針對函數(shù)圖象的切線問題，通過類比觀察具有相關(guān)特點(diǎn)的函數(shù)圖象，利用“數(shù)形結(jié)合”思想，得到了一種解決該類問題的直觀做法，簡單有效，并對相關(guān)題目進(jìn)行了應(yīng)用，得到了有益結(jié)果.

關(guān)鍵詞：圖象；切線；拐點(diǎn)；漸近線

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ""文章編號：1008-0333（2024）31-0097-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：杜國峰（1989.1—），男，山東省泰安人，碩士，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”模塊在歷年高考中的占比始終處于最重要的位置，這也勢必導(dǎo)致高考題對導(dǎo)數(shù)的考查會越來越多元化，那么一些常見題型規(guī)律的總結(jié)和挖掘也就變得更有意義.函數(shù)圖象的切線問題是各地高考、模考的高頻考點(diǎn)，數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷在2021年和2022年曾經(jīng)連續(xù)兩年考查了此類問題，雖然題目難度不大，但有時(shí)計(jì)算量偏大，會形成“小題大做”的局面.

1 問題的提出

問題1 （2022年新高考Ⅰ卷第15題）若曲線

y=（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.

基本解題思路 設(shè)切點(diǎn)（t，f（t）），所以切線方程為y-f（t）

=f ′（t）（x-t），將原點(diǎn)代入切線方程化簡可得t2+at-a=0，切線條數(shù)即為該方程解的個(gè)數(shù)，由△gt;0得到a的取值范圍為（-∞，-4）∪（0，+∞）.

問題2 （2021年新高考Ⅰ卷第7題）若過點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（" ）.

A.eblt;a B.ealt;b C.0lt;alt;eb D.0lt;blt;ea

基本解題思路 設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），y0gt;0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再利用切點(diǎn)在切線上且在已知函數(shù)的圖象上，可得關(guān)于x0的方程b=

（a+1-x0）e^x0，且該方程有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)y=（a+1-x）ex的單調(diào)性，從而作出新函數(shù)的大致圖象，即可得出正確的結(jié)論0lt;blt;ea.

在高考中經(jīng)常會遇到此類切線問題，我們通過固定切線條數(shù)和一點(diǎn)，能夠從“數(shù)”的角度將其轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)方程解的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而將其解決.但是其解題過程有難有易，那么我們能不能通過函數(shù)圖象從“形”的角度直觀給出題目的解，或者說我們能不能給出過平面內(nèi)任意一點(diǎn)M所作函數(shù)圖象的切線條數(shù)的結(jié)論呢？

2 問題的探究過程

2.1 觀察規(guī)律

通過觀察函數(shù)f（x）=（x+a）ex，g（x）=ex發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0，g（x）→0，當(dāng)x=-a-2時(shí)，f ″（x）=0，這兩個(gè)圖象特點(diǎn)分別與其漸近線和拐點(diǎn)有關(guān)，那么點(diǎn)M的選擇與這兩個(gè)因素是否有關(guān)系呢？我們知道，擁有這兩個(gè)特點(diǎn)的圖象最典型的即為雙曲線（以x2a2-y2b2=1為例），而雙曲線又可拆分為關(guān)于x軸對稱的兩個(gè)函數(shù)圖象y=±bx2a2-1.（以焦點(diǎn)在x軸為例）

通過查閱資料，關(guān)于過平面上任意一點(diǎn)M作雙曲線的切線可以作多少條的問題^[1]，有如下結(jié)論：

（1）當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線外部（邊界除外）或兩條漸近線的交點(diǎn)時(shí)，可作切線0條；

（2）當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線內(nèi)部（邊界除外）時(shí)可作切線2條，其中當(dāng)點(diǎn)M在漸近線及雙曲線所夾左右區(qū)域時(shí)，兩條切線都切于同一支曲線；

（3）當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線內(nèi)部（邊界除外）時(shí)可作切線2條，其中當(dāng)點(diǎn)M在兩條漸近線所夾上下區(qū)域時(shí)，兩條切線分別切于不同的兩支曲線；

（4）當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線或漸近線上時(shí)可作切線1條.

對于上述結(jié)論還可簡單表述，對于平面，曲線

y=bx2a2-1將平面區(qū)域分為三個(gè)部分：曲線凹側(cè)、曲線凸側(cè)及曲線上再結(jié)合漸近線位置，可得過平面上任意一點(diǎn)M作曲線y=bx2a2-1切線可以作多少條的問題，結(jié)論如下：

（1）當(dāng)點(diǎn)M位于曲線凹側(cè)時(shí)，可作切線0條；

（2）當(dāng)點(diǎn)M位于曲線凸側(cè)時(shí)，分為三種情況：

①位于漸近線外側(cè)時(shí)，可作切線0條；

②位于曲線及相應(yīng)漸近線之間時(shí)，可作切線1條；

③位于漸近線上時(shí)，可作該曲線切線0條；

（3）當(dāng)點(diǎn)M位于曲線上時(shí)，可作切線1條.

2.2 類比猜想

對于曲線y=（x+a）ex，過平面上任意一點(diǎn)M作該曲線的切線可以作多少條的問題，通過觀察和上述結(jié)論，猜想如下：

函數(shù)有一個(gè)拐點(diǎn)，該拐點(diǎn)將平面分為了左、右兩個(gè)區(qū)域，結(jié)合曲線及其拐點(diǎn)處切線l、x軸（xlt;0時(shí)，f（x）漸近線）將平面分為了五類區(qū)域，如圖1.

（1）點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域曲線凹側(cè)，左側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，但點(diǎn)M又受限于漸近線外側(cè)，故可作切線0條；

（2）點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，左側(cè)區(qū)域曲線凹側(cè)，僅可作右側(cè)區(qū)域曲線切線1條；或者點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域曲線凹側(cè)，左側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，點(diǎn)M也位于曲線與漸近線之間，僅可作左側(cè)區(qū)域曲線切線1條；

（3）當(dāng)點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域曲線與切線l之間，可作右側(cè)區(qū)域切線2條，位于漸近線外側(cè)，無左側(cè)區(qū)域切線；或者點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，可作右側(cè)區(qū)域切線1條，位于左側(cè)區(qū)域曲線與切線l之間，但也受限于漸近線外側(cè)，僅可作左側(cè)區(qū)域切線1條，共計(jì)2條；

（4）當(dāng)點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域曲線與切線l之間，可作右側(cè)區(qū)域切線2條，位于左側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，也位于曲線與漸近線之間，可作左側(cè)區(qū)域切線1條，共計(jì)3條；或者點(diǎn)M位于右側(cè)區(qū)域切線l外側(cè)，可作右側(cè)區(qū)域切線1條，左側(cè)區(qū)域切線l與曲線之間，也位于曲線與漸近線之間，可作左側(cè)區(qū)域切線2條，共計(jì)3條；

（5）當(dāng)點(diǎn)M位于曲線及切線l上時(shí)，依據(jù)上述結(jié)論易得解的情況為在x軸上方（含x軸）的曲線和切線l部分可作切線1條；在x軸下方的曲線和切線l部分可作切線2條，拐點(diǎn)處可作切線1條.

2.3 猜測證明

對于函數(shù)f（x）=（x+a）ex，設(shè)過平面上任意一點(diǎn)M（x0，y0）作函數(shù)f（x）的切線，切點(diǎn)為A（t，f（t）），則切線方程為

h（x）=f（t）+f ′（t）（x-t），

代入點(diǎn)M得h（x0）=f（t）+f ′（t）（x0-t）.

令g（t）=y0-h（x0）=y0-f（t）-f ′（t）（x0-t），則求切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為求g（t）=0的解的個(gè)數(shù)問題.

因?yàn)間′（t）=f ″（t）（t-x0）

=（t-x0）（t+a+2）et，

令s（t）=h（x0），則s（-a-2）=（x0+a+4）e^-a-2表示當(dāng)x=x0時(shí)拐點(diǎn)處（f ″（t）=0時(shí)，t=-a-2）切線方程的取值，

當(dāng)t→-∞時(shí)，g（t）→y0；當(dāng)t→+∞時(shí)，g（t）→+∞；g（t）在t=x0和t=-a-2時(shí)取極值，且僅有這兩個(gè)極值點(diǎn).

方程g（t）=0解的情況如下：

（1）若x0=-a-2，則g′（t）=（t-x0）2et≥0，g（t）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，易得

當(dāng)y0≥0，g（t）=0無解，當(dāng)y0lt;0，g（t）=0有唯一解；

（2）若x0lt;-a-2，則tlt;x0或tgt;-a-2時(shí)，g′（t）gt;0，g（t）單調(diào)遞增，x0lt;tlt;-a-2時(shí)，

g′（t）lt;0，g（t）單調(diào)遞減.

y0lt;0時(shí)，g（x0）lt;0或g（-a-2）gt;0，即y0lt;f（x0）或y0gt;s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有唯一解；g（x0）=0或g（-a-2）=0，即y0=f（x0）或y0=s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有兩解；g（x0）gt;0且g（-a-2）lt;0，即f（x0）lt;y0lt;s（-a-2）時(shí)，

g（t）=0有三解.

y0≥0時(shí)，g（-a-2）gt;0，即y0gt;s（-a-2）時(shí)，g（t）=0無解；g（-a-2）=0，即y0=s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有唯一解；g（x0）gt;0且g（-a-2）lt;0，即f（x0）lt;y0lt;s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有兩解.

（3）若x0gt;-a-2，同理可得y0lt;0時(shí)，g（x0）gt;0或g（-a-2）lt;0，即y0gt;f（x0）或y0lt;s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有唯一解；g（x0）=0或g（-a-2）=0，即y0=f（x0）或y0=s（-a-2）時(shí)，g（t）=0有兩解；g（x0）lt;0且g（-a-2）gt;0，即s（-a-2）lt;y0lt;f（x0）時(shí)，g（t）=0有三解.

y0≥0時(shí)，g（x0）gt;0，即y0gt;f（x0）時(shí)，g（t）=0無解；g（x0）=0，即y0=f（x0）時(shí)，g（t）=0有唯一解；g（x0）lt;0且g（-a-2）gt;0，即s（-a-2）lt;y0lt;f（x0）時(shí)，g（t）=0有兩解.

綜上，點(diǎn)M（x0，y0）所在位置與可作f（x）=

（x+a）ex切線條數(shù)的分布情況見表1.

3 結(jié)束語

“數(shù)形結(jié)合”是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，利用圖象解決問題有時(shí)會比我們單純的代數(shù)運(yùn)算更高效、更直觀.我們通過類比具有相似特征函數(shù)圖象的切線相關(guān)問題，得到了過一點(diǎn)作y=（x+a）ex圖象的切線條數(shù)的結(jié)論，那么其他類函數(shù)圖象又有什么樣的特征呢？這有待于進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

［1］劉國平.過點(diǎn)作雙曲線切線的研究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2008（10）：40-41.

［責(zé)任編輯：李 璟］