動量觀點在電磁感應現象中的應用

摘 要：高中物理中，電磁感應是一個重要的概念，而動量定理和動量守恒定律也是重要的規律，且經常會與電磁感應相關聯，要求學生進行綜合應用.因此，學生需要理解電磁感應現象，同時也要掌握動量定理和動量守恒定律的靈活應用.

關鍵詞：高中物理；動量；電磁感應

中圖分類號：G632" "文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0124-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：申曉靜（1985.11—），女，河北省邢臺人，中小學一級教師，從事高中物理教學研究.

2017年新教學大綱對物理教學和備考提出了新的要求.選修3—5模塊從“選考”變為“必考”，高考題型也面臨大調整^[1].其中，電磁感應和動量的綜合題型成為重點，考查范圍限定在一維平面內.文章結合相關實例，分析動量觀點在電磁感應現象中的應用.

1 線圈進出磁場模型

例1 如圖1所示，邊長為b的正方形閉合線圈，水平向右穿過磁場邊界而后進入磁場.已知該磁場為勻強磁場，分布的區域寬度為L（Lgt;b），磁場的方向為垂直紙面向里，線圈的初始速度為v0，當完全穿過磁場后，線圈的速度變為v（vlt;v0）.下列說法正確的是（" ）.

A.當線圈完全進入磁場時，其速度應比v0+v2小

B.當線圈完全進入磁場時，其速度的大小為v0+v2

C.當線圈完全進入磁場時，其速度應比v0+v2大

D.B和C情況均有可能，但不可能出現A情況

解析 設線圈完全進入磁場時速度為v′，正方形線框的阻值為R.正方形線圈在進入勻強磁場的過程中，通過線框的電荷量為q，有q=I-·Δt，又因為 I-=ER，E-=ΔΦΔt，

聯立得q=Bb2R .因為磁感應強度B和阻值R以及正方形框線的邊長均不發生變化，所以，該框線進出過程中，通過框線的電荷量是相等的，均為q.安培力的沖量為F·Δt=BIbΔt=Bbq，在線框進出磁場的過程中，依據動量定理有Bbq=mv0-mv′和Bbq=mv′-mv，聯立可得，v′=v0+v2，所以B選項正確.

點評 線圈在進入磁場和從磁場出來的過程中，做的是變減速運動.應用動量定理，通過安培力的沖量公式將電荷量和動量定理結合起來，完成求解過程.

2 雙桿切割在同一磁場中運動問題

例2 如圖2所示，有兩根光滑的金屬軌道，由弧形軌道和平直軌道相接組成，軌道的長度為足夠長，并且可以忽略電阻，兩根軌道相隔的間距d=1 m.在弧形軌道的頂端，放置一個金屬桿a，該桿離地面的高度h=1.25 m.在右端的平直軌道上，放置金屬桿b.已知金屬桿a的阻值大小為Ra＝2 Ω，質量ma＝2" kg；金屬桿b的阻值大小Rb為5 Ω，其質量mb為1" kg.在平直軌道的區域內，均勻分布著一磁場，磁場方向豎直向上，磁感應強度大小B為2 T.某時刻，將金屬桿a由靜止釋放，同時讓金屬桿b以v0＝5 m/s的初速度大小開始向左移動.金屬桿a滑至軌道弧形部分和平直部分相接處時，金屬桿b上通過的平均電流大小為0.3 A；從金屬桿a下滑至水平軌道時記為初始時刻，圖3為兩根金屬桿的速度-時間圖像（以金屬桿a運動的方向為正方向，g=10 m/s2），回答以下問題：

（1）當金屬桿a由初始位置下滑至水平軌道和弧形軌道相接處時，經歷了多長時間？

（2）當金屬桿a在水平軌道上運動時，在整個過程中其截面通過的電荷量是多少？

（3）金屬桿b在整個運動的過程中，所產生的焦耳熱為多少？

分析 （1）根據題意，桿a在弧形軌道上運動的時間與桿b從開始運動到開始計時的運動時間相同，所以可以將研究對象轉至桿b.b受到的是變力，且涉及時間，可以運用動量定理，完成求解過程.（2）金屬桿a做變速運動，考慮利用動量定理求解.

（3）運用能量守恒進行求解.

解析 （1）設金屬a由初始位置滑至軌道相接處時，金屬桿b的速度大小為vb.選取金屬桿b為研究對象，依據動量定理，有

BI-d·Δt=mb（v0-vb）.解得Δt=5 s.所以金屬桿a由弧形軌道下滑至相接處需要5 s.

（2）設金屬a在軌道相接處時的速度為va，根據機械能守恒定律得magh=12mav2a，解得va=2gh=5 m/s.

設最終共同的速度為v′，根據動量守恒定律得mava-mbvb=（ma+mb）v′，解得v′=

83 m/s.根據動量定理得BdI·Δt=ma（va-v′），又q=I·Δt.代入數據，可得q=73 C.

（3）根據能量守恒定律，金屬桿a和b共產生的焦耳熱為

Q=magh+12mbv20-12（ma+mb）v′2=1616 J

b棒中產生的焦耳熱為Q′=52+5Q=1156 J.

點評 對于兩個金屬桿切割磁場的模型，如果軌道的間距不發生變化，則兩個金屬桿所受到的安培力大小是相等的，遵從動量守恒定律.若軌道光滑，兩個金屬桿機械能的減少量等于系統中產生的焦耳熱.

例3 如圖4所示，有兩根相距為L的光滑金屬軌道水平放置在地面上，軌道足夠長且電阻可忽略不計.軌道放置的區域內存在著一豎直向下，磁感應強度大小為B的均勻磁場中，磁場區域大于軌道的間距.現在兩軌道間放置兩根銅棒，記為銅棒a和銅棒b，兩根銅棒的長度恰好為L，電阻均為R，質量均為m.初始時刻，銅棒靜止在軌道上且和軌道接觸良好. 某時刻，給銅棒a施加了一個水平向右的瞬時沖量I，則關于該時刻之后，下列說法正確的是（"" ）.

A.銅棒和導軌所形成的回路中，最大電流為BLIRm

B.銅棒b做變速運動，存在一個最大的加速度

B2L2I2m2R

C.銅棒b做變速運動，存在一個最大的速度Im

D.銅棒和導軌所形成的回路中，產生的總焦耳熱為I22m

解析 銅棒a開始運動的瞬間，回路中的電流為最大值，回路電流I0=E2R，其中E=BLv0，v0=Im，所以回路電流I0=BLI2Rm，選項A錯誤；銅棒a剛開始運動時，

銅棒b受到的安培力最大，對應最大的加速度a=Fm=BI0Lm=B2L2I2Rm2，B選項正確；當兩個銅棒的速度相等時，銅棒b速度達到最大值，根據動量守恒有mv0＝2mv，又v0＝Im，所以其最大速度為v＝I2m，選項C錯誤；銅棒和導軌所形成的回路中，產生的焦耳熱Q＝12mv20-12·2mv2＝I24m，故選項D錯誤.

3 雙桿切割在不同磁場中運動問題

例4 如圖5所示，有兩根質量均為2 kg、長度不一的金屬棒AB和CD，將兩根棒分別垂直放置在光滑軌道的不同位置上.該軌道由左、右兩部分組成，左邊軌道的間距是右邊軌道的二分之一，且該區域中的勻強磁場的方向和右邊區域的勻強磁場方向相反，但磁感應強度大小相等.已知軌道無限長且金

屬棒一直處在不同的勻強磁場中運動.金屬棒的電阻和棒長成正比，軌道的電阻可忽略不計.在CD棒上施加一水平向右、大小為250 N的拉力F.已知當CD棒移動的距離為0.5 m時，CD棒上產生的焦耳熱為30 J.此時金屬棒AB的速度為vA，金屬棒CD的速度為vC，vA=12vC.然后撤去拉力F，回答以下問題：

（1）當CD棒運動了0.5 m時，金屬棒AB產生的焦耳熱為多少？

（2）當CD棒運動了0.5 m時，兩棒的速度vA和vC的大小為多少？

（3）拉力F撤去后，兩根金屬棒處于勻速運動時，此時對應的最終速度vA′和vC′的大小為多少？

解析 （1）設AB棒的長度為L，電阻為R，則CD棒的長度為2L，電阻為2R.兩棒組成閉合電路，任何時刻通過兩棒的電流相等，根據焦耳定律Q=I2Rt，解得QAB=12QCD=15 J.

（2）根據能量守恒定律有Fs=12mv2A+12mv2C+QAB+QCD，又因為vA=12vC，求解得AB棒的速度vA=4 m/s，CD棒的速度vC=8 m/s.

（3）拉力F撤去后，兩棒勻速運動時切割磁感線所產生的感應電動勢大小相等，即BLv′A=2BLv′C，兩棒的速度應滿足v′A=2v′C.設AB棒和CD棒受到的安培力大小分別為FA和FC，對兩棒分別應用動量定理有：FAt=mv′A-mvA，-FCt=mv′C-mvC由于FC=2FA，聯立可得v′A=6.4 m/s，v′C=3.2 m/s.

評析 當兩棒的長度不同時，產生的安培力是不相等的，不滿足動量守恒的條件，但可以運用動量定理進行求解.關鍵點是掌握最終的運動狀態是兩棒產生的電動勢大小相等、方向相反.

4 結束語

電磁感應類型問題中，線圈或者金屬框會在安培力作用下做變速直線運動.動量觀點是求解電磁感應問題的有效工具.在復習過程中，教師不僅要注重學生對概念和規律的理解，還要引導學生學會從已知條件出發，“預測”應用各種觀點后所需獲得的信息，以便有效地解決問題.

參考文獻：

［1］ 陳君.動量觀點在電磁感應現象中的應用[J].中學物理教學參考，2021，50（03）：56-57.

［責任編輯：李 璟］