命題須嚴謹 解題應反思

摘 要：文章以2023年新高考全國Ⅱ卷的第8題為例，對參考答案進行展示、析疑，給出嚴謹解法，并對試題進行修正，給出多種解法，以此說明數學命題嚴謹及解題反思的重要性.

關鍵詞：命題；嚴謹；反思；一題多解

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0103-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：林國紅（1977—），男，廣東省佛山人，中學高級教師，從事中學數學教育研究.

高中數學的知識面廣，知識點間往往交錯繁雜，給命題帶來很大的風險，稍有不慎就可能出現問題.筆者以2023年新高考全國Ⅱ卷的第8題為例，探尋其錯題、錯解的根源，借此說明命題須嚴謹，并修正試題，化錯為寶.

1 試題的呈現與解答

試題 記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4=-5，S6=21S2，則S8=（" ）.

A. 120" B. 85" C. -85" D. -120

試題主要考查等比數列的定義、等比數列前n項和公式的應用.試題突出數列中基本思想方法與核心內容的考查，很好地考查了考生的運算求解、推理論證等方面的能力.

參考答案 設等比數列{an}的公比為q，首項為a1.

若q=1，則S4=4a1=-5，解得a1=-54.

從而S6=6a1=-152，21S2=42a1=-1052.

故S6≠21S2，與題意不符，所以q≠1.

由S4=a1（1-q4）1-q=-5，可知q≠-1，否則S4=0.

由S6=21S2，得a1（1-q6）1-q=21×a1（1-q2）1-q.

即得1-q6=21（1-q2）.

于是可得（1-q2）（1+q2+q4）=21（1-q2）.

從而1+q2+q4=21.

所以q4+q2-20=0，解得q2=4或q2=-5（舍）.

所以S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×（1+q4）=

（1+16）×（-5）=-85.

故選C.

2 試題及參考答案的商榷

2.1 對參考答案的質疑

在參考答案中，求得q2=4或q2=-5，為什么要舍去q2=-5呢？顯然答案是默認q∈R，又因為在等比數列中，有q≠0，故q2gt;0，所以舍去q2=-5.

而數列的定義為：按照確定的順序排列的一列數叫數列.定義并未對數列中的數進行約束，即數列的數可以為復數，例如：若i為虛數單位，則i，i2，i3，…是一個首項為i，公比為i的等比數列.

本試題并未限定q∈R，所以q2=-5（即q=±5i，i為虛數單位）是可能的，因此將q2=-5舍去是不對的.

2.2 試題的嚴謹解答

由參考答案，得q4+q2-20=0，解得q2=4或q2=-5.

當q2=4時，S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×

（1+q4）=-5×（1+16）=-85.

當q2=-5時，S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×（1+q4）=-5×（1+25）=-130.

所以，S8的值為-85或-130.

2.3 試題的修正

由于試題的選項并未提供-130這個答案，所以本試題是有瑕疵的，命題不嚴謹！為了不產生歧義，可將試題作如下修正.

修正試題1：記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4=-5，S6=21S2，則S8=（" ）.

A. -85""" B. -130

C. -85或-130D.以上答案均不對

修正試題2：記Sn為等比數列{an}的前n項和，且an∈R，若S4=-5，S6=21S2，則S8=（" ）.

A. 120" B. 85" C. -85"" D. -120

3 修正試題2的解法探究

解法1 即“參考答案”.

評注 解法1是解決等比數列前n項和有關問題的常見方法，根據等比數列的前n項和公式，利用S2，S6求出公比，再根據S4，S8的關系即可解得結果.解答過程中用到了分類討論及整體思想，還用到了立方差公式，要求考生能綜合運用所學知識，對運算能力的要求較高.

自然的想法是：除解法1外，還有其他解法嗎？

下面先介紹等比數列的兩個性質，再給出其他解法.

性質1 已知等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，m∈N*，則Sm+n=Sn+qnSm.

證明 設等比數列{an}的首項為a1.

于是Sm+n=Sn+an+1+an+2+…+an+m

=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn

=Sn+qn（a1+a2+…+am）

=Sn+qnSm.

性質1得證.

評注 同理Sm+n=Sm+qmSn也成立.由性質1，可得S2m=Sm+qmSm=（1+qm）Sm，S3m=Sm+qmS2m=（1+qm+q^2m）Sm，….

性質2 已知等比數列{an}的公比為q（q≠-1），前n項和為Sn，k∈N*，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S（n-1）k，…為等比數列.

證明 （1）當q=1時，則a1=a2=…=an=….

于是當n≥2時，有Snk-S（n-1）k=nka1-（n-1）ka1=ka1，S（n+1）k-Snk=（n+1）ka1-nka1=ka1.

所以S（n+1）k-SnkSnk-S（n-1）k=1=q.

（2）當q≠1，且n≥2時，有

Snk-S（n-1）k=a1（1-q^nk）1-q-a1［1-q^（n-1）k］1-q

=a1q^（n-1）k（1-qk）1-q，

S（n+1）k-Snk=a1［1-q^（n+1）k］1-q-a1（1-q^nk）1-q

=a1q^nk（1-qk）1-q.

故S（n+1）k-SnkSnk-S（n-1）k=a1q^nk（1-qk）/（1-q）a1q^（n-1）k（1-qk）/（1-q）=qk.

綜合（1）與（2），性質2得證.

評注 性質2是新教材的例題（人教A版高中數學選擇性必修第二冊第37頁的例9），需要注意的是：這個性質必須是q≠-1才成立.由此可見，高考題與教材例習題有著很好的銜接，這也符合高考的命題思想：加強教考銜接，發揮教材的引導作用.

解法2 設等比數列{an}的公比為q，首項為a1.

由性質1，結合S4=-5，可得S4=S2×2=S2（1+q2）=-5，可得S2≠0.

因為S6=21S2，由性質1，可得

S6=S3×2=S2（1+q2+q4）=21S2.

于是可得1+q2+q4=21.

即q4+q2-20=0，

解得q2=4或q2=-5（舍去）.

再由性質1，得S8=S2×4=（1+q4）S4=（1+16）×（-5）=-85.

故選C.

解法3 設等比數列{an}的公比為q，首項為a1.

由S4=a1（1-q4）1-q=-5，可知q≠-1，否則S4=0.

由性質2，可知S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比數列，

故有（-5-S2）2=S2（21S2+5）.

整理，得4S22-S2-5=0，

解得S2=-1或S2=54.

當S2=-1時，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6即為-1，-4，-16，S8+21，此時其公比為-4-1=4，所以S8+21=-16×4=-64，即S8=-85.

當S2=54時，S4=a1（1-q4）1-q=a1（1-q2）1-q×（1+q2）=S2×（1+q2）gt;0，與S4=-5矛盾，舍去.

故選C.

評注 對比解法1，解法2與解法3巧妙應用了等比數列的性質解題，簡化了推理和運算過程，具有直觀、簡潔的特點.

4 結束語

高考試題是精心之作，每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進行了充分考慮，是知識、能力和思想方法的載體，具有典型性、示范性和權威性^［1］.所以，高考命題是一項嚴肅且嚴謹的工作，試題的命制應遵守科學性原則，其表述必須是科學嚴謹的，必須杜絕科學性、技術性錯誤.常見的命題錯誤多見于條件的設置，尤其是條件之間的不兼容（不合理），甚至條件與公理、定理、定義相矛盾.這就要求命題者要多角度思考問題，嘗試一題多解，從而有效地避免題設條件的對立，確保數學命題的嚴謹性和科學性^［2］.

解題要反思，不要迷信參考答案，對于發現的錯題（錯解）也不要輕易放棄，如果能充分挖掘錯題（錯解）的教育功能，對于調動學生的學習積極性，培養他們思維的嚴密性和批判性，都將起到很好的作用.對于解答中出現的不同結果，要學會區別和聯系，明辨是非和方向，深入剖析錯題（錯解）的根源，引導學生從多角度進行深度思考問題.此外，還應該對錯題（錯解）進行修正，重新開發利用，使其變廢為寶.

參考文獻：

［1］林國紅.莫為浮云遮望眼撥開迷霧見真顏：對2019年高考浙江卷第21題的探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（15）：14-16.

[2] 林國紅.縝密思維嚴謹答題：以一道判斷三角形形狀的問題為例[J].數理化解題研究，2023（01）：50-52.

［責任編輯：李 璟］