深耕教學資源 領悟探究之路

摘 要：面對數學問題，教師應重視挖掘問題的內涵及外延，深耕教學資源，大膽猜想，小心求證，從一道題的特殊情況逐漸拓展到最一般的情況，從中領悟探究未知世界的一些思路和方法．

關鍵詞：教學資源；探究；猜想；證明

中圖分類號：G632 ""文獻標識碼：A ""文章編號：1008-0333（2024）23-0002-03

收稿日期：2024-05-15

作者簡介：袁俊峰（1976.6—），男，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

猜想是發現問題、解決問題的一種重要方法，是創造性思維的重要組成部分．牛頓曾指出，沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現．波利亞認為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要．基于此，筆者就2023年武漢市中考數學第24題談一談自己的理解．

1 試題呈現

（2023年武漢中考數學第24題）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；

（2）如圖1，作直線x＝t （0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；

（3）如圖2，將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．

分析 本題是一道二次函數綜合題，第（1）（2）問主要考查待定系數法、拋物線與坐標軸的交點、相似三角形的判定和性質、一次函數圖象上點的坐標特征等知識．在解題過程中，要會利用數形結合思想把代數和幾何圖形結合起來，運用分類討論思想解決問題．第（3）問主要是探究一些變化的直線與拋物線相交時會得到某些不變的結論.筆者重點對第（3）問展開研究，深耕這個教學資源，大膽猜想，小心論證，從中領悟探究未知世界的一些思路和方法，真正做到發展核心素養，實現科學育人．

2 第（3）問解法探究

如圖3，由題意知拋物線C2的解析式為y＝x2，由直線OG的解析式為y＝2x得G（2，4）．H是OG的中點得H（1，2）．設 M（m，m2），N（n，n2），直線MN的解析式為y＝k1x+b1，則nk1+b1=n2，mk1+b1=m2，解得k1=m+n，b1=-mn，所以直線MN的解析式為y＝（m+n）x-mn．因為直線MN經過點H（1，2），所以mn＝m+n-2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x-2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯立，得y=（n+2）x-2n，y=mx.因為直線OM與NG相交于點P，所以n﹣m+2≠0，解得x=2nn-m+2，y=2mnn-m+2，所以P（2nn-m+2，2m+2n-4n-m+2）．

設點P在直線y＝k2x+b2上，則2m+2n-4n-m+2=k2·2nn-m+2+b2，整理得2m+2n-4＝2k2n+b2n-b2m+2b2＝-b2m+（2k2+b2）n+2b2，所以2=-b2，2=2k2+b2，解得k2＝2，b2＝-2．所以當k2＝2，b2＝-2時，無論m，n為何值時，等式2m+2n-4n-m+2=k2·2nn-m+2+b2恒成立．故點P在定直線y＝2x-2上．

3 深耕資源

問題是數學的心臟，數學問題是數學發展的原始驅動力．解決第（3）問后我們心里不禁產生一個疑問：“如果H不是OG的中點，會怎么樣呢？”于是一系列問題便自然而然生成了．

問題1 如圖4，若點H（t，2t），其他條件不變，問點P是否仍在一條定直線上？

解析 因為直線MN經過點H（t，2t），所以mn＝t（m+n）-2t．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x-2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯立，得y=（n+2）x-2n，y=mx.因為直線OM與NG相交于點P，所以n-m+2≠0，解得x=2nn-m+2，y=2mnn-m+2，所以P（2nn-m+2，2t（m+n）-4tn-m+2）．

4 探究感悟

4.1 猜想是因，求證是果

波利亞認為，如果在學習數學時還有數學發現方面的什么事情可以做的話，就必須使學生有提問題的機會，這些問題得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實一個數學事實［1］．

4.2 拓展探究，揭示本質

一道試題，若就題論題，簡單練完評完就立刻變為過去時，然后對同一題型在同一思維層次上反復練習，這樣做也許能提高一點解題速度，但難以實現能力和素養的提升，事倍功半.而深耕這個資源，挖掘這個題目背后隱藏的內涵及外延，揭示數學問題的本質

才是提升素養、科學育人的有效方法［2］．在本例第（3）問中，筆者從最簡單的直線GS：y＝2x及H為中點開始，一步一步將直線y＝2x變為y＝kx，y＝kx+b；將H為中點變為直線上任一點，大膽猜想，小心求證，最后將拋物線y＝x2變為y＝ax2，仍然發現相關結論，徹底揭示了這個問題的本質，從中領悟探究未知世界的一些思路和方法.

5 結束語

在初中數學教學中，教師要善于挖掘教學資源，揭示數學問題本質，領悟研究問題的方法，不斷提升自己的專業素養.

參考文獻：

［1］魏乃智.合理猜想，巧妙解題［J］.中學數學，2023（9）：67-68.

［2］ 侯燕香.深挖教學資源，實現減負增效［J］.中學數學教學參考（中旬），2022（8）：35-37.

［責任編輯：李 璟］