構造輔助圓 妙解三角形問題

摘 要：三角形是初中數學的核心知識，也是日常考試中的高頻考點.在解決三角形問題時，根據問題特征，可考慮構造輔助圓，利用圓的有關性質破解三角形問題.從表面上看，三角形和圓之間并沒有多大關系，但如果能夠恰當且巧妙地構造輔助圓，則能夠使三角形問題化難為易、避繁就簡，從而達到出奇制勝的目的.基于此，文章就構造輔助圓，求解三角形問題的解題技巧進行研究分析，進而提高學生的數學解題能力，拓展學生思維水平.

關鍵詞：三角形；輔助圓；構造；解題策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0036-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：邵婉（1989.10—），女，浙江省衢州人，碩士，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

與三角形有關的幾何問題是初中數學的重要內容之一.在初中數學學習中，對于與三角形有關的幾何問題，大部分學生很難結合圖形特征分析所求解問題與三角形之間的關聯性［1］.隨著數學教學內容逐漸增多，其知識深度也隨之增加.當三角形與平面直角坐標系的相關知識融合在一起的時候，會導致相當一部分學生的學習過程變得更加困難.對于這種情況，在教學過程中，教師要通過觀察辨別和分析探究的方式，合理地為學生滲透有關解題方法.在三角形問題中，借助構造輔助圓的方法，可以有效解決有關問題，從而使學生更加充分且深入地掌握三角形的相關知識點［2］.

1 以典型問題為例，構造輔助圓解題

定義：如果四邊形的一條對角線將其分為兩個全等三角形，那么這個四邊形為等角四邊形，并且這條對角線為這個四邊形的等分線.矩形是等角四邊形，其兩條對角線都是等分線［3］.

例1 如圖1所示，在平面直角坐標系中，直線y=-0.75x+m與x軸相交于點A（8，0），與y軸相交于點B.

（1）求m的值；

（2）若C點的坐標為（5，0），點P和點Q是△OAB邊上的兩個動點，當四邊形OCPQ是以OP為等分線的等角四邊形時，求BQ的長度.

解析 問題（1）主要考查函數的性質，易求得m=6.問題（2）可以看作“三定一動”型的全等三角形構造問題，可以參考如圖2所示的構圖方式解決.

問題（2）屬于“兩定兩動”型的全等三角形構造問題.根據圖形特征，需分兩種情況分別求解.第一種情況：當點Q在OB上時，OQ=5.根據“三定全等”型的作圖方法，借助輔助圓可得到如圖3所示的四邊形OCPQ，該四邊形能夠滿足題目要求，易知BQ=OB-OQ=6-5=1.當四邊形OCPQ是矩形時，根據“中心對稱全等”型的作圖方式構圖，可得到如圖4所示的圖形，其也能滿足題目要求.由△APC∽△ABO，可以求解出CP=2.25，進而可以得到OQ=CP=2.25.由此可得到BQ=OB-OQ=6-2.25=3.75.

第二種情況：當點P和點Q都在直線AB上時，根據“三定全等”型的作圖方式，可以畫出圖5和圖6所示的兩種情況，其中四邊形OCPQ可以滿足題目要求，點O到直線AB的距離為OH，易求得OH=4.8，BH=3.6，進而能夠求得QH=1.4.在圖5中，BQ=BH-QH=3.6-1.4=2.2，在圖6中，BQ=BH+QH=3.6+1.4=5.

綜上，BQ的長度為1，或3.75，或2.2，或5.

點評 問題（1）是一道基礎性題目，問題（2）是一道函數與幾何圖形的綜合題，具有一定的難度.問題（2）是一道與“等角四邊形”有關的問題，但其本質上是構造全等三角形問題.解決本題最關鍵的是理解題意，然后分類討論.依據點Q在OB上或點P、Q兩點在AB上兩種情況進行分類，再根據題意確定滿足條件的圖形，最后借助“輔助圓”全面分析并解決問題.

2 以鞏固提升為主，借助輔助圓解題

例2 如圖7，已知拋物線y=0.45x2-4.5x+6.25與x軸相交于A，B兩點，其中點A在點B的右側，拋物線與y軸相交于點C，其對稱軸與x軸相交于點D.

（1）求點A和點C的坐標;

（2）在△OCA的邊上是否存在點M和點N，使得以M、N、O為頂點的三角形與△ODM全等，如果存在，求出點M的坐標，如果不存在，說明理由.

解析 （1）根據題意，利用方程可以直接求解出點A的坐標為（253，0），點C的坐標為（0，254）.

（2）本題屬于“兩定兩動”型全等三角形構造問題，相對而言難度較大.在解題時，需要先求解出直線AC的解析式，利用待定系數法易得直線AC的解析式為y=-0.75x+6.25.根據圖形特征，需分三種情況.

第一種情況：當點N在OB上時，如果四邊形ODMN為矩形，那么可根據“中心對稱全等”型作圖方式進行構圖，可以得到如圖8所示的圖形，在該圖形中，可以找到符合條件的點M，此時容易求解出M（5，2.5）.當ON=5時，則根據“三定全等”型的作圖方式，得到如圖9所示的圖形，其中四邊形ODMN能夠滿足題目要求，而此時點M是直線AC和直線OM的交點，可以求解出M（257，257）.

第二種情況：當點M在OB上時，根據“鏡面對稱全等”型的作圖方式，可以得到如圖10所示的圖形，此時容易求解出點N和點M的坐標分別為（5，2.5）和（0，2.5）.當點M和點N都在AC上時，根據“三定全等”型的作圖方法，可以得到如圖11所示的圖形，該圖形能夠滿足題目要求.根據已知的條件，利用等積法可求得點O到直線AC的距離h=5，則說明圓O和直線AC相切，對應的切點為N，此時可以求解出M（5，2.5），這種情況與圖8相同.根據“鏡面對稱全等”型的作圖方法，在AO=AM的情況下，確保OM∥DO，在此種情況下，可以得到如圖12所示的圖形，它也能滿足題目要求，然后利用等積法可以得到AO·yM=AM·h.顯然，當yM=h=5時，可求得xM=53，因此可以求得M（53，5）.綜上所述，滿足已知條件的點M共有四個，其坐標分別是（5，2.5），（257，257），（0，2.5），（53，5）.

點評 本題問題（1）主要考查函數的性質，問題（2）是一道函數與幾何的綜合題，所涉及的知識點多，求解難度較大.問題（2）涉及“全等三角形”問題，在問題解決過程中不僅需要經歷觀察、猜測和嘗試不同的構圖方式，通常還需要具備較為深厚的構圖功底，通過分類討論的方式求解出圖7～圖11所示的點M的坐標.圖12所示的情況，對學生而言有一定的難度，具有極強的選拔性功能.一般情況下，大部分學生很難得出圖12所示的圖形，教師在解決本題時也容易疏忽和遺漏［4］.因此，在利用輔助圓解決與三角形有關的數學問題時，需要將已知條件和相關的三角形全等模型結合起來，并利用全等三角形模型的性質獲得相應的結論.而在這個過程中需要借助“輔助圓”構造出有效的“全等模型”，才能在眾多的信息中實現對有用信息的提取和使用［5］，從而使學生得心應手地將積累的知識及所提取的方法在解題時充分利用，最終提高學生的思維敏捷性及解題技能熟練度.

3 結束語

在解決與三角形有關的數學問題時，對于簡單的三角形問題，考查的都是基礎知識和基本技能，大部分學生都能很好地解決.但對于難度較高的三角形問題，其綜合性較強，所求結論與已知條件之間的邏輯關系較為隱蔽，需要學生充分挖掘其中的隱藏條件，為問題解決創造條件.借助“輔助圓”解決問題，需要學生具有較強的問題分析能力.在初中數學教學中，在解決與三角形有關的問題時，教師可通過開設專題教學的方式引導學生借助“輔助圓”解決問題.在解決過程中，通過對問題進行變式探究，能夠更進一步促使學生掌握相關知識，提高學生分析問題和解決問題的能力.同時，這對提高學生的思維品質和綜合應用能力，也有著顯著的提升效果.

參考文獻：

［1］ 沈岳夫.巧借“輔助圓”求解坐標系下全等問題：以兩道坐標系下的三角形全等問題為例［J］.中學數學教學，2019（1）：64-67.

［2］ 王雪.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用［J］.中學數學，2023（18）：73-74.

［3］ 董小武.輔助圓在初中數學解題過程中的有效應用［J］.數理天地（初中版），2023（11）：32-33.

［4］ 劉懷權.“構造輔助圓”在初中數學解題中的應用［J］.數理天地（初中版），2022（12）：21-22.

［5］ 魏瑞賓.案例分析輔助圓在初中數學解題中的應用［J］.名師在線，2019（26）：16-17.

［責任編輯：李 璟］