依托“學歷案”設計，引導學生深度學習

［摘 要］“三新”背景下，“學歷案”逐漸成為教師課堂教學與學生自主學習的一個新模式。文章以“基本不等式”一課的“學歷案”為例，分析“學歷案”的設計與應用方法，為一線教師設計、應用“學歷案”以及進行教學改革與創新提供有益的參考。

［關鍵詞］學歷案；設計；深度學習；基本不等式

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0015-04

一、問題提出

在“三新”（新課標、新教材、新高考）背景下，課堂教學更加注重體現學生的主體性，引導學生進行自主學習與深度學習，不斷提升學生的關鍵能力，培養學生的學科核心素養。這就要求教師改進傳統的教學方式（如五導四動）、教學方案（如教案、學案、導學案），更加注重體現學生的主體性與提高學生的參與度。在此背景下，“學歷案”應運而生，其巧妙融合了傳統教學方案的優點，創新融入學生的學習經歷，逐漸成為現階段教師教學與學生學習中的一種更加科學、合理的文本方案，且還在不斷地優化與提升。

如何繼承與發展傳統教學方案的優點，合理設計有助于學生自主學習與深度學習的“學歷案”，成為“學歷案”設計與編寫研究的一個熱門課題。

本文以“基本不等式”一課的“學歷案”為例，分析“學歷案”的設計與應用方法，為一線教師設計、應用“學歷案”以及進行教學改革與創新提供參考。

二、“學歷案”的設計與應用

下面筆者以“基本不等式”一課為例闡述“學歷案”的設計與應用。

（一）導學聚焦

在“學歷案”中，通過表格（如表1）羅列教材核心知識、學習目標、核心素養，引導學生學習。

設計意圖：在“導學聚焦”環節設計中，依托表格，對教材核心知識、學習目標、核心素養進行羅列，使得學習目標更加明確，形成導學聚焦；讓目標主線貫穿整個“學歷案”的設計與應用過程。

（二）自主學習

讓學生預習人教版（A版）高中數學必修第一冊第二章“一元二次函數、方程和不等式”第44頁至第49頁的內容，并思考以下問題：

（1）基本不等式的內容是什么？包括哪些基本信息？

（2）如何證明基本不等式？你有哪些方法？

（3）基本不等式成立的條件是什么？主要由哪幾個關鍵點構成？

（4）利用基本不等式求解一些函數或代數式的最值時，應該注意哪些基本問題？

（5）利用基本不等式解決一些應用問題與綜合問題時，應該注意哪些基本問題？

設計意圖：借助“自主學習”環節的設計，實現“課前有預習”，構建更加完整、和諧的“學歷案”體系，進一步促進學生的自主學習。

（三）新知初探

1.重要不等式與基本不等式

展示重要不等式與基本不等式的相關內容（如圖1）。

【思考】（1）重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的條件是否相同？

提示：重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的條件是不同的。前者要求[a]，[b]是實數，而后者要求[a]，[b]都是正實數（即[agt;0]，[bgt;0]）。

（2）基本不等式中的[a]，[b]只能是具體的某個數嗎？

提示：不完全是。基本不等式中的[a]，[b]既可以是具體的某個數，也可以是某個相應的代數式。

（3）基本不等式成立的條件“[agt;0]，[bgt;0]”能省略嗎？請舉例說明。

提示：不能。例如，[（-3）+（-4）2≥（-3）×（-4）]是不成立的。

設計意圖：結合重要不等式與基本不等式的基本內容、相互聯系設置問題，引導學生思考，并深入探究兩種不等式的成立條件、變量的取值范圍等，進而理解與把握兩種不等式的內涵與實質，為接下來的基本不等式的應用打好基礎。

2.基本不等式與最值

已知[agt;0]，[bgt;0]，則有：

（1）若[a+b=S]（和為定值），則當[a=b]時，積[ab]取得最大值[S24]。

（2）若[ab=P]（積為定值），則當[a=b]時，和[a+b]取得最小值[2P]。

可以借助口訣“兩正數的和定積最大，兩正數的積定和最小”來輔助記憶。

【思考】通過以上基本不等式與最值之間的結論，你認為利用基本不等式求解一些函數或代數式的最值要注意哪些基本問題？

提示：利用基本不等式求解一些函數或代數式的最值時，必須按照“一正”“二定”“三相等”這三個基本原則來分析與處理。“一正”即符合基本不等式[ab≤a+b2]成立的前提條件：對應的[a]，[b]均為正數；“二定”即符合基本不等式[ab≤a+b2]中的[a]，[b]和為定值或積為定值的條件；“三相等”即只有當[a=b]，才符合基本不等式取“=”號的條件。在實際運用基本不等式解決問題時，以上三個原則缺一不可。

設計意圖：深入探究利用基本不等式解決最值問題的兩種基本類型，為實際操作與應用指明方向。

設置“新知初探”環節，依托學生的課前預習，以及教師的課堂教學，合理引導學生回顧知識與自主學習，實現師生雙邊互動。

（四）講練互動

探究點1：對基本不等式的理解

［例1］（多選題）下列條件中，能使[ba+ab≥2]成立的是（ ）。

A. [abgt;0]" " " " " " " " " " B. [ablt;0]

C. [agt;0]，[bgt;0]" " " " " "D. [alt;0]，[blt;0]

設計意圖：結合習題，引導學生注意運用基本不等式時的三個基本原則：

探究點2：利用基本不等式直接求解最值

［例2］（1）已知[tgt;0]，求[y=t3-4t+1t]的最小值。

（2）若正實數[x]，[y]滿足[2x+y=1]，求[xy]的最大值。

設計意圖：引導學生去尋找題設的定值條件，若[a+b=S]（和為定值），則當[a=b]時，積[ab]有最大值[S24]，可以用基本不等式[ab≤a+b2]求得；若[ab=P]（積為定值），則當[a=b]時，和[a+b]有最小值[2P]，可以用基本不等式[a+b≥2ab]求得。不論是哪種情況都要注意取得等號的條件是否成立。

探究點3：利用基本不等式變形求解最值

［例3］（1）已知[xgt;2]，則[y=x+4x-2]的最小值為" " " " " " " " " " 。

（2）若[0lt;xlt;12]，則函數[y=12x（1-2x）]的最大值是" " " " " " " " " " 。

（3）若[x]，[y∈（0，+∞）]，且[x+4y=1]，則[1x+1y]的最小值為" " " " " " " " " " 。

設計意圖：引導學生關注利用基本不等式求最值的策略以及拼湊法求解最值應注意的問題：（1）以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做好等價變形；（2）通過代數式的變形拼湊出和或積的定值；（3）拆項、添項時注意檢驗利用基本不等式的前提條件。

探究點4：利用基本不等式證明不等式

［例4］已知[a]，[b]，[c∈（0，+∞）]，且[a+b+c=1]。求證：[1a-11b-11c-1≥8]。

設計意圖：引導學生掌握利用基本不等式證明不等式的思路與方法技巧，即利用基本不等式證明不等式時，要先觀察題中要證明的不等式的結構特征，若不能直接利用基本不等式證明，則應考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等，使之變為能利用基本不等式來證明；若題目中有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系，當已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換。另外，解題時要時刻注意等號成立的條件。

探究點5：利用基本不等式解決應用問題

［例5］某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤[y]（單位：萬元）與機器運轉時間[x]（單位：年）的關系為[y=-x2+18x-25（x∈N*）]，則當每臺機器運轉" " " " " 年時，年平均利潤最大，最大值是" " " " " " " " " 萬元。

設計意圖：引導學生歸納總結利用基本不等式解決應用問題的思路，讓學生知道利用基本不等式解決應用問題的關鍵是建構模型。在解題過程中應盡量向模型[ax+bx≥2ab（agt;0，bgt;0，xgt;0）]靠攏。

探究點6：利用基本不等式解決綜合問題

［例6］若不等式[9x+a2x≥a+1]（常數[agt;0]）對一切正實數[x]成立，則常數[a]的取值范圍為" " " " " "。

設計意圖：讓學生明白解決一些不等式恒成立問題時，可通過求對應函數值的最值來合理轉化：（1）[a≤f（x）]恒成立[?]求[f（x）]的最小值；（2）[a≥f（x）]恒成立?求[f（x）]的最大值。這里[f（x）]表示有關[x]的代數值。

在“講練互動”環節，教師可以根據不同班級學生的學情進行合理設計，充分體現學生的主體性與教師的主導性，使教師的講與學生的練能更好地結合與轉化。

三、教學啟示

（一）圍繞“以學生為中心”這一基本理念來設計與編寫

“學歷案”應圍繞“以學生為中心”這一基本理念來設計和編寫。這就要求教師基于高視角與高觀點，充分把握學生的認知水平與知識能力等，并依托學生的能力水平設計學生的學習經歷、學習過程與學習體驗，使得“學歷案”更加契合學生的學習實際，從而讓學生能夠更好地進行自主學習、自主探究、自主創新、深度學習。

在“學歷案”的實際設計與編寫過程中，教師可以在一些具體細節上體現“以學生為中心”這一基本理念。如在具體實例的應用中，通過合理變式，創設變式問題，引導學生在掌握應用實例的相關知識的基礎上進行深入探究與創新應用，從而有效引導學生進行深度學習。對于變式問題，教師可結合學生的實際情況與教學需求加以創新設計。例如，教師結合學生對應用案例相關知識的理解與掌握情況，合理設置以上幾個典型變式。

［變式1］（變條件）已知[xlt;2]，則[y=x+4x-2]的最大值為" " " " " " " "。

［變式2］（變設問）已知[0lt;xlt;1]，則[x（3-3x）]取得最大值時[x]的值為" " " " " " " " 。

［變式3］（變形式）已知[xgt;0]，[ygt;0]，且[1x+9y=1]，則[x+y]的最小值為" " " " " " " "。

“以學生為中心”的基本理念要貫穿“學歷案”的整個設計與編寫過程，深入到學生的各個學習環節（括課前預習、課堂學習與課后學習等）。教師應創新設計“學歷案”，有效引導學生自主學習與深度學習，凸顯學生的主體地位。

（二）抓住“教學根本”來設計與編寫

“學歷案”的編寫與設計不能脫離教學根本。“學歷案”必須牢牢抓住教學實質來合理設計。

在具體設計與編寫對應課時的“學歷案”時，教師必須厘清課時內容在整個數學知識體系中的地位，進而圍繞教學任務與教學根本，合理確定教學內容、知識點的難易程度以及學習深度與寬度等，結合學生的實際學情，合理分層設計，巧妙調控與創設。

例如上述“講練互動”環節，圍繞“基本不等式”的教學任務與教學根本，通過基本不等式的概念理解、基本不等式的直接運用、基本不等式的變形運用以及基本不等式的綜合運用（包括證明、實際應用與綜合應用等），層層遞進，體現學生的學習經歷與思維過程。而對于應用問題，則根據班級學生的具體情況合理分層，以契合各層次學生的學習需求。

（三）根據“核心素養”這一基本目標來設計與編寫

“學歷案”有別于傳統教學方案的地方是更加關注學生的學習經歷，合理設計學生的學習過程及引導學生思維，促進學生積累學習經驗與掌握學習技能，提升數學學科核心素養，實現深度學習。

例如上面所述的例3，對于基本不等式的變形應用問題，是基于基本不等式的“三原則”引導學生深度學習，并通過拼湊法來解決問題的，而拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，這充分體現了對學生關鍵能力的訓練與核心素養的培養。

綜上，“學歷案”的設計與編寫應貫徹“以學生為中心”的基本理念，為學生設計合理有效的學習任務，促進學生把握“四基”與提升“四能”，為學生的深度學習奠定堅實的基礎。

（責任編輯 黃春香）