恒幅載荷下填充天然橡膠概率疲勞壽命預測模型

摘要：建立一種條件概率分布模型來描述任意應變水平下的橡膠疲勞壽命分布規律。開展了不同應變水平下的橡膠單軸拉伸疲勞試驗，分析了橡膠疲勞壽命的分布規律，并采用極大似然估計法確定了橡膠疲勞壽命概率分布模型的參數值。采用最小二乘法擬合了應變水平與概率分布模型參數值之間的函數關系，并建立了條件概率的分布模型。開展了橡膠疲勞可靠度的評估，建立了橡膠P-ε-N模型，通過與實測壽命的比較，驗證了橡膠P-ε-N模型的有效性。

關鍵詞：橡膠；疲勞壽命；概率分布；P-ε-N模型；可靠度

中圖分類號：TQ333

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.004

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Probabilistic Fatigue Life Prediction Model for Filled Natural Rubber

under Constant Amplitude Loading

LIU Xiangnan1，2" XU Jingwei1

1.School of Mechanical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan，

Hunan，411201

2.School of Mechanical amp; Automotive Engineering，South China University of Technology，

Guangzhou，510641

Abstract： A conditional probability distribution model was proposed to quantify the distribution law of rubber fatigue life under arbitrary strain levels. The uniaxial tensile fatigue tests of rubber under different strain levels were carried out. The distribution law of rubber fatigue life was analyzed， and the parameter values of the probability distribution model were determined by a great likelihood estimation method. The least squares method was used to fit the functional relationship between strain level and parameter values of the probability distribution model， and then the conditional probability distribution model was established. The rubber fatigue reliability assessment was carried out， and the rubber P-ε-N model was established. The validity of the rubber P-ε-N model was verified by comparison with the measured lifetimes.

Key words： rubber; fatigue life; probability distribution; P-ε-N model; reliability

0 引言

汽車橡膠隔振器的耐久性是影響整車舒適性、安全性和可靠性的關鍵因素之一［1］。填充天然橡膠具有良好的彈性、可塑性和阻尼，因而廣泛用于汽車橡膠隔振器［2］。在路面不平、發動機輸出振動等隨機激勵源循環作用下，橡膠隔振器的橡膠部件容易發生疲勞失效，導致橡膠隔振器失去衰減振動和隔離振動傳遞的能力。因此，為防止橡膠隔振器未達到使用壽命而過早發生疲勞破壞，需準確評估橡膠材料的疲勞壽命。

開展疲勞臺架試驗、建立橡膠疲勞壽命預測模型是評估橡膠疲勞壽命的兩種有效手段［3］。相較于臺架試驗，建立橡膠疲勞壽命預測模型具有高效率、低成本等優點。橡膠疲勞失效過程包含裂紋萌生階段和裂紋擴展階段。裂紋萌生階段是指載荷循環作用下橡膠裂紋“從無到有”的過程。裂紋擴展階段是指橡膠從出現裂紋萌生到發生斷裂的過程。根據橡膠疲勞失效過程，現有的橡膠疲勞壽命預測建模方法分為裂紋萌生法和裂紋擴展法。裂紋萌生法通過構造損傷參量與疲勞壽命之間的冪函數關系來建立橡膠疲勞壽命預測模型。上官文斌等［4］分別以最大主應變、八面體切應變、應變能密度、Luo等效應力和Saintier等效應力為損傷參量建立橡膠疲勞壽命預測模型，并成功預測了橡膠懸置的疲勞壽命。王小莉等［5］分別以最大主應變、八面體切應變、應變能密度為損傷參量建立了橡膠疲勞壽命預測模型。裂紋擴展法通過構造裂紋擴展速率與撕裂能之間的數學關系來建立橡膠疲勞壽命預測模型。丁智平等［6］構造裂紋擴展速率與撕裂能之間的冪函數公式，并將其用于預測NR68橡膠的疲勞壽命。王小莉等［7］基于橡膠疲勞裂紋擴展理論，計算了多軸恒幅載荷下的橡膠懸置疲勞壽命。

基于裂紋萌生法和裂紋擴展法建立的橡膠疲勞壽命預測模型僅能預測橡膠的確定性壽命，因此，文獻［4-7］提出的橡膠疲勞壽命預測方法統稱為確定性方法。大量試驗數據表明：由于幾何尺寸、環境溫度、模型參數等因素影響，同一載荷水平下的橡膠疲勞壽命存在很大的分散性［8］。為提高模型的預測精度，最好采用概率方法來預測橡膠的疲勞壽命。概率方法通過建立概率分布模型來描述疲勞壽命的分布規律。目前，正態分布、對數正態分布、威布爾分布等常規的概率分布模型已經成功用于描述橡膠疲勞壽命的分布規律［9］。然而，常規的概率分布模型僅適用于描述特定應變水平下橡膠疲勞壽命的分布規律，描述任意應變水平下橡膠疲勞壽命分布規律的概率分布模型建模方法未見公開報道。

本文以填充天然橡膠為研究對象，開展了恒幅載荷下橡膠概率疲勞壽命預測建模方法的研究。首先，以啞鈴形橡膠試柱為試件，開展橡膠試件的單軸拉伸疲勞試驗。然后，分別采用正態分布、對數正態分布、威布爾分布的概率分布模型來描述橡膠疲勞壽命的分布規律，并采用極大似然估計法確定概率分布模型的參數值。之后，采用最小二乘法擬合應變水平與概率分布模型參數值之間的函數關系，建立條件概率分布模型。在此基礎上，開展了橡膠疲勞可靠度評估，并建立了恒幅載荷下橡膠概率疲勞壽命的預測模型。最后，通過對比橡膠概率疲勞壽命的實測值與預測值，驗證橡膠概率疲勞壽命預測模型的有效性。

1 橡膠材料疲勞試驗

1.1 疲勞試驗試件

實際工程中，一般通過橡膠結構件（啞鈴形的試片、試柱） 的單軸疲勞試驗了解橡膠的疲勞特性。啞鈴形試柱能承受拉伸和壓縮載荷，具有制作方便、成本低等優點［8］。橡膠單軸拉伸疲勞試驗中，以填充硫化天然橡膠（硫化溫度為150 ℃，硫化時間為7 min）的啞鈴形橡膠試柱為試件。圖1為啞鈴形橡膠試柱的結構尺寸圖。表1所示為填充天然橡膠的配方組成。

1.2 試驗方法與試驗設備

天然橡膠具有黏彈性，采用力（應力）控制的加載方式進行橡膠疲勞試驗時，容易發生蠕變。橡膠蠕變是指在力（應力）載荷控制下，試件的位移變大，導致橡膠疲勞壽命縮短。實際工程應用中，為避免橡膠出現蠕變，通常采用位移（應變）控制的方式進行橡膠疲勞試驗［10］。因此，本文采用正弦位移加載方式進行啞鈴形橡膠試柱的單軸拉伸疲勞試驗。加載方向為Z向，加載頻率為3 Hz。圖2所示的橡膠單軸疲勞試驗臺架可同時對6根橡膠試件進行試驗，提高了試驗效率。

啞鈴形橡膠試柱的疲勞試驗在室溫（23 ℃）下進行。為降低溫度對橡膠疲勞壽命的影響，采用風冷降低試件的表面溫度。試驗過程中，確定合適的橡膠失效準則至關重要。常用的橡膠疲勞失效判斷準則包括橡膠試件出現給定尺寸的裂紋、橡膠試件的靜剛度減小20%、橡膠試件完全斷裂［11］。為便于觀察和記錄橡膠疲勞壽命（次數），本次試驗判定橡膠試件發生疲勞失效的準則為試件完全斷裂。

1.3 試驗過程與試驗結果

確定疲勞試驗工況前需要確定合適的疲勞損傷參量，常用的疲勞損傷參量包括最大主應變、等效應力、應變能密度等［4］。采用位移控制方式對啞鈴形橡膠試柱進行加載時，加載位移與應變一一對應。將對數應變幅值作為損傷參量建立的橡膠疲勞壽命預測模型具有良好的預測精度［5］。因此，本次試驗選取對數應變幅值為疲勞損傷參量，其中，對數應變幅值的獲取過程詳見文獻［8］。基于應變相等原則［8］，單軸拉伸下的橡膠試柱疲勞試驗工況如表2所示。

為減小疲勞壽命分散性對橡膠疲勞壽命模型預測精度的影響，每個工況測試12個試件。圖3所示為不同應變水平下的橡膠疲勞試驗結果。由圖3可知，橡膠疲勞壽命表現出明顯的分散性，且隨應變水平的升高，疲勞壽命的分散性減小。

2 橡膠疲勞壽命的概率分布模型

基于連續介質力學的裂紋萌生法具有簡潔、直觀等優點［12］。天然橡膠的裂紋萌生壽命超過整個壽命的95% ［5］，因此，可將試柱完全斷裂時刻對應的循環次數作為橡膠裂紋萌生壽命。基于裂紋萌生法的橡膠疲勞壽命預測模型（ε-N模型）為［5］

ε=KNd（1）

其中，ε為疲勞損傷參量，本文定義為對數應變幅值；K、d為橡膠材料常數，可根據試驗數據，采用最小二乘法擬合獲得。

實際工程中，為準確描述橡膠疲勞壽命的分散性，常采用概率疲勞壽命模型（P-ε-N模型）描述可靠度（存活率）P、對數應變幅值ε和疲勞壽命N之間的基本關系［13］。ε-N模型（式（1））是可靠度為50%的P-ε-N模型。一般來說，橡膠的P-ε-N模型是根據成組法試驗數據擬合的［13］。圖4為基于成組法建立的橡膠P-ε-N模型的示意圖，圖中，ε1～ε4分別表示成組試驗中的4個應變水平；對于給定的應變水平εi（i=1，2，3，4），圓點表示不同可靠度下的橡膠疲勞壽命；實線表示應變水平為εi時橡膠疲勞壽命的概率密度函數f（N|εi）；虛線表示具有不同可靠度的橡膠ε-N模型，一般采用最小二乘回歸方法擬合。

由圖4可知，確定不同應變水平下的橡膠疲勞壽命的概率密度函數f（N|εi）是建立橡膠P-ε-N模型的基礎。本文分別采用正態分布、對數正態分布、威布爾分布描述橡膠疲勞壽命數據的分布規律。三種分布模型的概率密度函數分別為

f1（Nε*）=1σ2πexp（－（N－u）22σ2）（2）

f2（Nε*）=1Nσ12πexp（－（lnN－u1）22σ21）（3）

f3（Nε*）=bNa（NNa）b－1exp（（－NNa）b）（4）

式中，f1（N|ε*）、f2（N|ε*）、f3（N|ε*）分別為正態分布、對數正態分布和威布爾分布的概率密度函數；N為橡膠實測疲勞壽命；u、σ分別為橡膠實測疲勞壽命的均值和標準差；u1、σ1分別為橡膠實測疲勞壽命的對數均值和對數標準差；Na為尺度參數；b為形狀參數。

根據圖4所示的橡膠疲勞壽命數據，采用極大似然估計方法［14］計算式（2）～ 式（4）所示模型的相關參數，結果如表3所示。

采用AIC準則［15］

A=2（k-ln L）（5）

式中，k為分布模型的參數個數；L為分布模型的極大似然估計值。

評估不同分布模型的擬合效果。通常，A越小，模型的擬合效果越好。由表3可知，3種分布模型的A差異很小，除第三級應變水平ε3外，對數正態分布模型對應的A較小。因此，對于本文分析的橡膠疲勞壽命，采用對數正態分布模型描述其分布規律更合適。

3 橡膠疲勞可靠度評估

由第2節分析可知，對數正態分布模型僅能描述特定應變水平ε*下橡膠疲勞壽命的分布規律。為彌補此不足，提出一種條件概率分布模型的建模方法來描述任意應變水平下的橡膠疲勞壽命分布規律，并基于條件概率分布模型開展橡膠疲勞可靠度評估。

3.1 條件概率分布模型

由圖4可知，應變水平是影響概率分布模型參數的關鍵因素，因此，式（3）中的對數均值和對數標準差均可看作是應變水平的函數：

σ1=σ1（ε）（6）

u1=u1（ε）（7）

將式（6）、式（7）代入式（3），即可建立條件概率密度函數：

f2（N|ε）=1Nσ1（ε）2πexp（－ln N－u1（ε）2σ21（ε））（8）

根據式（8），可得任意應變水平下橡膠疲勞壽命的累積分布函數：

F（Nε）=

1Nσ1（ε）2π∫ln N-∞exp（－ln N－u1（ε）2σ21（ε））d（ln N）（9）

根據概率和統計理論，可靠度P與疲勞壽命累積分布函數之間的關系可表示為

P=Pr（Ngt;n）=1－Pr（N≤n）=1－F（Nε）（10）

式中，Pr（*）為橡膠疲勞壽命的實際次數大于給定次數的概率；n為給定的橡膠疲勞壽命。

結合式（9）、式（10）可知，任意應變水平下的橡膠疲勞壽命可靠度為

P（Nε）=

1－1Nσ1（ε）2π∫ln N-∞exp（－ln N－u1（ε）2σ21（ε））d（ln N）（11）

3.2 橡膠疲勞可靠度評估

橡膠疲勞可靠度是指橡膠結構件在規定的使用壽命條件下不發生疲勞失效的概率。本節以圖3所示的橡膠疲勞壽命為數據，評估橡膠的疲勞可靠度。首先，根據表2，采用最小二乘法分別擬合對數應變幅值與對數均值、對數應變幅值與對數標準差之間的函數關系。對數應變幅值和對數均值之間存在線性關系：

u1（ε）=-8.867ε+15.014

R2=0.9959（12）

式中，R2為相關系數。

對數應變幅值和對數標準差之間存在冪函數關系：

σ1（ε）=0.037ε-1.694

R2=0.9485 （13）

圖5、圖6分別描述了對數應變幅值與對數正態分布模型參數值之間的函數關系。由圖5可知，線性模型可準確描述參數u1隨應變水平ε的變化趨勢。由圖6可知，冪函數模型可準確描述參數σ1隨應變水平ε的變化趨勢。采用相關系數R2量化2個模型的擬合效果，R2越接近1，模型的擬合效果越好。線性模型、冪函數模型的相關系數分別為0.9959和0.9485，因此，式（12）、式（13）可有效描述對數應變幅值與對數均值、對數標準差之間的關系。

將式（12）、式（13）代入式（11），即可得到任意應變水平下橡膠疲勞壽命的可靠度計算模型：

P（Nε）=1－10.037ε－1.694N2π·

∫ln N-∞exp（－ln N+8.867ε+15.0142（0.037ε－1.694）2）d（ln N）（14）

最后，根據式（14）獲得橡膠疲勞可靠度分布曲面，如圖7所示。

由圖7可知，應變水平ε和疲勞壽命（次數）N是影響橡膠疲勞可靠度的2個關鍵參數。同一應變水平下，橡膠疲勞壽命與可靠度成反比。將可靠度分布曲面投影到N-P（N|ε）平面，可得不同應變水平下的橡膠疲勞可靠度分布曲線，如圖8所示。

4 橡膠P-ε-N模型的建立與驗證

實際工程應用中，通過橡膠的P-ε-N模型來準確評估不同可靠度下的橡膠疲勞壽命可為結構安全設計提供方法支撐，因此，有必要根據橡膠疲勞壽命的分布規律建立合適的橡膠P-ε-N模型來量化橡膠疲勞壽命的分散性。

4.1 橡膠P-ε-N模型的建立

由圖7可知，同一應變水平下的橡膠疲勞壽命與可靠度存在一一對應的關系。在橡膠疲勞壽命服從對數正態分布的前提下，建立中值ε-N模型時，可將某一應變水平εi下的橡膠疲勞壽命對數平均值作為橡膠實測疲勞壽命［16］。采用

lg Ni=1ni∑nj=1lg Ni，j（15）

式中，Ni為應變水平為εi時橡膠試件的實測疲勞壽命；ni為應變水平為εi時橡膠試件疲勞壽命數據的個數，ni=12；Ni，j為應變水平為εi時第j個橡膠試件的疲勞壽命，j=1， 2， …， 12。

計算應變水平εi下的橡膠實測疲勞壽命。然后以（εi，Ni）為數據基礎，采用最小二乘法擬合得到橡膠的材料參數，進而建立橡膠的ε-N模型。

P-ε-N模型的可靠度P≠50%時，可將

NP=exp（σ1（ε）/ΦP+u1（ε））（16）

式中，NP為可靠度為P時橡膠的實測疲勞壽命；ΦP為標準正態分布函數。

計算得到的壽命作為給定可靠度下的橡膠實測疲勞壽命［8］。然后，以某一應變水平及其給定可靠度下的疲勞壽命數據，采用最小二乘法擬合得到橡膠材料參數，進而建立橡膠的P-ε-N模型。

基于以上分析，采用式（15）、式（16）得到不同工況下的橡膠概率疲勞壽命實測值，結果如表4所示，其中，N30、N50、N90分別為可靠度P=30%， 50%，90%的橡膠疲勞壽命。

根據表4，采用最小二乘法擬合得到橡膠P-ε-N模型的參數及相關系數，如表5所示。由

表5可知，橡膠P-ε-N模型具有較高的擬合精度，相關系數均大于0.9。

4.2 橡膠P-ε-N模型的驗證

表6所示為基于P-ε-N模型獲得的橡膠概率疲勞壽命的預測值。對比表4、表6可知，同一應變水平下，橡膠概率疲勞壽命的實測值與預測值相近。

圖9為橡膠概率疲勞壽命實測值與預測值的分布圖。由圖9可知，可靠度P=30%，50%，90%時，橡膠疲勞壽命的預測值均分布在實測值的1.5倍分散線內，建立的橡膠P-ε-N模型滿足工程預測精度的要求［17］。

5 結論

（1）以啞鈴形橡膠試柱為試驗試件，開展了恒幅載荷的橡膠單軸拉伸疲勞試驗。試驗結果表明：同一工況下，橡膠疲勞壽命存在分散性；隨著應變水平的提升，疲勞壽命的分散性逐漸降低。

（2）采用正態分布、對數正態分布、威布爾分布模型描述橡膠疲勞壽命的分布規律，采用AIC準則評估3種分布模型的擬合效果。對于填充天然橡膠，對數正態分布模型更適合描述其疲勞壽命的分散性。

（3）通過構造對數應變幅值與對數正態分布模型參數之間的函數關系，建立了適用于描述任意應變水平下的橡膠疲勞壽命分布規律的條件概率分布模型。在此基礎上，開展了橡膠疲勞可靠度評估，建立了橡膠概率疲勞壽命的預測模型。研究結果表明：橡膠概率疲勞壽命預測模型可有效預測橡膠概率疲勞壽命，且預測值分布在實測值1.5倍分散線內。

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（編輯 張 洋）