基于改進三元模型的波紋管型氣動軟體驅動器神經網絡滑?？刂?/h1>
2024-12-31 00:00:00呂播陽孟慶鑫肖懷賴旭芝王亞午吳敏
中國機械工程 2024年8期
摘要：針對一款波紋管型氣動軟體驅動器，提出了一種基于改進三元模型的滑?？刂品椒?，并使用RBF神經網絡補償擾動以實現該型驅動器在豎直方向上對期望軌跡的跟蹤控制。首先搭建波紋管型氣動軟體驅動器實驗平臺，測試并分析該驅動器的動態特性，基于上述動態特性提出波紋管型氣動軟體驅動器的改進三元模型；然后利用采集到的實驗數據，基于最小二乘算法對其進行參數辨識，從而獲得所提模型的參數；進而結合改進三元模型設計滑?？刂破?，使用RBF神經網絡對集總擾動進行補償，并利用Lyapunov方法分析系統的穩定性；最后通過一系列實驗驗證了所提方法的有效性。
關鍵詞：波紋管；氣動軟體驅動器；三元模型；滑?？刂疲粡较蚧瘮瞪窠浘W絡
中圖分類號：TP273
DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.010
開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：
Neural Network Sliding Mode Control of Bellows-type Pneumatic Soft
Actuators Based on Improved Ternary Model
LYU Boyang1，2，3 MENG Qingxin1，2，3 XIAO Huai1，2，3
LAI Xuzhi1，2，3 WANG Yawu1，2，3 WU Min1，2，3
1.School of Automation，China University of Geosciences，Wuhan，430074
2.Hubei Key Laboratory of Advanced Control and Intelligent Automation for Complex Systems，
Wuhan，430074
3.Engineering Research Center of Intelligent Technology for Geo-Exploration，Ministry of Education，
Wuhan，430074
Abstract： A sliding mode control method was proposed based on an improved ternary model for a bellows-type pneumatic soft actuator， and an RBF neural network was used to compensate the aggregate set disturbance to achieve tracking control of the desired trajectory in the vertical direction of this type of actuators. Firstly， an experimental platform was constructed to test and analyse the dynamic characteristics of the bellows-type pneumatic soft actuators. Based on the above dynamic characteristics， an improved ternary model of the bellows-type pneumatic soft actuators was proposed. Meanwhile， the parameters of the proposed model were obtained by using the collected experimental data for parameter identification based on the least squares algorithm. Then， the sliding mode controller was designed in conjunction with the improved ternary model， and the RBF neural network was used to compensate for the aggregate set disturbance. The stability of the system was analysed by using the Lyapunov method. Finally， the effectiveness of the proposed method was verified through a series of experiments.
Key words： bellow; pneumatic soft actuator; ternary model; sliding mode control; radial basis function（RBF） neural network
0 引言
軟體機器人是近年來機器人領域新興的重要研究方向，因復雜環境適應、人機交互等方面具備的獨特優勢而備受關注［1］。軟體驅動器作為軟體機器人實現運動所需的關鍵組件，直接決定了軟體機器人的特性和性能，是軟體機器人領域的重要研究對象之一。
軟體驅動器通?？筛鶕潋寗臃绞絼澐譃榫€驅動型、電驅動型、磁驅動型與流體（氣/液）驅動型等，其中，氣動軟體驅動器［2］因具有柔順性好、安全性高、價格便宜、易于維護等優勢而受到研究人員青睞［3］。目前，已有多種氣動軟體驅動器被設計并應用在軟體機器人上。張立彬等［4］設計了一款氣動柔性球關節，應用在多指靈巧手上。TONDU等［5］設計了一款氣動人工肌肉驅動的七自由度仿人機械臂。POLYGERINOS等［6］設計了一款運用氣動軟體驅動器的康復手套。根據其形變方式，氣動軟體驅動器具有彎曲型、伸縮型、膨脹型等多種類別，其中，伸縮型氣動軟體驅動器形變量大，質效比高，泛用性強，可以通過多驅動器組合的形式完成伸縮、彎曲、扭轉等多維度運動［7］，具有很高的研究價值。
當前，氣動人工肌肉與波紋管型氣動軟體驅動器是比較有代表性的兩類伸縮型氣動軟體驅動器。氣動人工肌肉由一根柔軟的空心橡膠軟管及管外覆蓋的一層纖維網格套筒構成，其形變原理主要依靠不可拉伸的纖維網格套筒將內部空心橡膠軟管的徑向膨脹轉化為軸向收縮。這種形變方式使氣動人工肌肉可以承受較大的氣壓，具有高輸出力和快速響應的優點。目前，針對氣動人工肌肉的研究已較為豐富［8-11］。然而，氣動人工肌肉的形變方式也使其在運動的過程中徑向膨脹明顯，在一些空間受限的應用場景中，其適用性大打折扣。波紋管型氣動軟體驅動器解決了這一問題，它由多個波紋狀氣室串接而成，其形變主要依賴于波紋狀氣室的膨脹和收縮。得益于氣室的波紋形狀，它在軸向伸縮時不會帶來明顯的徑向變形。這種形變方式也使其可以在較小驅動氣壓的情況下實現較大的形變，效率高且抗扭轉性能好。雖然波紋管型氣動軟體驅動器的輸出力稍弱于氣動人工肌肉，但依靠上述優勢，它在軟體機器人領域已有許多成功的應用實例［12-14］。然而，當前針對波紋管型氣動軟體驅動器的建模和控制研究，尤其是目標軌跡跟蹤控制研究還不太充分。
由于上述兩類伸縮型氣動軟體驅動器的工作原理不同，直接將現有的氣動人工肌肉控制方法應用于波紋管型氣動軟體驅動器顯然會導致較差的控制效果，故針對波紋管型氣動軟體驅動器的建模和控制研究仍是一個挑戰性的課題。此外，考慮到波紋管型氣動軟體驅動器整體采用軟材料制成，缺少剛性結構的支撐，當其在水平面運動時，其自身形狀易受重力的影響而產生彎曲變形，從而影響驅動器性能與控制精度。本文針對波紋管型氣動軟體驅動器在豎直平面的運動跟蹤控制展開研究。
目前，針對氣動軟體驅動器的控制方法大致可劃分為無模型的控制方法與基于模型的控制方法。其中，無模型的控制方法不依賴于目標氣動軟體驅動器的具體數學模型，而是基于狀態信息直接構建控制律。該類型控制方法包含PID控制［15］、神經網絡控制［16］等。WU等［17］運用PID模糊控制器實現了對氣動人工肌肉驅動的穿戴式人工機械手的軌跡跟蹤控制。AHN等［18］設計了一款神經網絡控制器，能夠使拮抗式氣動人工肌肉達到目標角度?？傮w上來說，盡管無模型控制器不需要依賴系統模型參數，但由于缺乏所研究系統的模型與先驗知識，故無模型控制器的規劃能力并不強，往往難以勝任需要精確控制的任務。
基于模型的控制方法則通過引入所研究系統的模型，針對性地設計控制器以給出精確的控制指令，因此在模型準確的情況下，基于模型的控制方法一般精度較高。該類型的控制方法又可劃分為基于運動學模型的控制方法以及基于動力學模型的控制方法。其中，基于運動學模型的控制方法從幾何學的角度研究機器人運動規律，注重控制對象的目標運動和每個驅動單元運動之間的關系，如張啟航等［19］對一款仿象鼻氣動連續體機器人進行運動學建模，實現了對其的位姿控制。此類控制方法在位置控制或者彎曲角度控制上十分有效，但由于未考慮系統的慣性與受力情況等因素，故在高速運動、目標軌跡跟蹤等應用上的控制效果較差。
基于動力學模型的控制方法關注被控對象的運動和驅動單元輸入力或力矩的關系，包含對系統速度及加速度的描述，因此這類控制方法更加適用于連續運動與跟蹤控制，如YAN等［20］基于氣動位置伺服模型設計LQR最優控制器，實現了對一款垂直跳動氣動執行器的穩定控制。然而，在針對波紋管型氣動軟體驅動器的控制研究中，當前基于動力學模型的控制方法還存在以下挑戰：一方面，軟體材料具有黏彈性，這導致氣動軟體驅動器的運動表現出復雜的遲滯特性，其精確的具有嚴格物理意義的動力學模型很難被建立。研究人員嘗試基于唯象建模的理論來建立氣動軟體驅動器的動力學模型，其中，三元模型是一種經典的唯象模型［21］，常用于描述氣動人工肌肉的運動特性。該模型將軟體驅動器的黏彈性用一個彈簧單元、一個阻尼單元與一個施力單元組合的形式來描述，這些單元的參數與驅動器的輸入氣壓有關。然而，波紋管型氣動軟體驅動器的運動方式與氣動人工肌肉不同，更易受負載質量的影響。傳統三元模型未考慮負載質量與模型參數之間的耦合效應，往往難以準確描述波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性。另一方面，氣動軟體驅動器的唯象模型參數往往是基于實驗數據辨識得到的，辨識結果不可避免地會存在辨識誤差。此外，由于氣動軟體驅動器自身的材質特性，其動態特性易受外部大氣壓、振動、氣流等外部擾動的影響，這些因素可以被視為系統的不確定性。然而，當前一些基于動力學模型的控制方法較少考慮這些系統不確定性的影響，其魯棒性較差。
本文針對一款波紋管型氣動軟體驅動器進行研究，提出了一種基于改進三元模型的神經網絡滑?？刂品椒?，使其能夠對驅動器在豎直方向上的運動進行高精度控制的同時，對運行過程中的各種不確定性具有較強的抗擾動性能。本文搭建了實驗平臺，對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性進行了分析；基于驅動器動態特性，在傳統三元模型的基礎上提出改進三元模型并對其進行了參數辨識；結合改進三元模型，設計滑?？刂破?，并使用徑向基函數（radial basis function，RBF）神經網絡補償系統集總擾動，運用 Lyapunov函數驗證了系統的穩定性；最終通過實驗來驗證所提方法的有效性與先進性。
1 實驗準備
1.1 實驗平臺的搭建
本文使用自制的波紋管型氣動軟體驅動器進行實驗。為了實現對其在豎直方向上運動的數據采集與軌跡跟蹤控制，搭建了波紋管型氣動軟體驅動器實驗平臺，如圖1所示。實驗平臺由以下裝置組成：①計算機（CPU：i9-12900KF），用于計算控制信號L及顯示波紋管型氣動軟體驅動器狀態參數（內部氣壓p與活動端位移x），采樣時間設置為0.01 s；②波紋管型氣動軟體驅動器（材質為硅膠，靜態長度158 mm，最大靜態外徑60 mm，自重133.7 g，安全受壓范圍0～60 kPa）；③比例壓力調節器 （型號：VPPI-5L-3-G18-1V1H-V1-S1D，制造商：Festo，輸出范圍-0.1～0.6 MPa），用于調節并實時反饋波紋管型氣動軟體驅動器內部氣壓p；④I/O模塊（型號：PCIe-6363，制造商：National Instruments），用于連接計算機與系統儀器；⑤正壓氣泵（型號：OTX-550X3，制造商：奧突斯，容積65 L），用于給實驗平臺提供穩定正氣壓源；⑥負壓氣泵 （型號：JBL-750，制造商：佳寶麗，容積36 L），用于給實驗平臺提供穩定負氣壓源。
實驗平臺的運作流程如下：計算機內部經由一系列計算得到控制氣壓pC，然后經比例關系式L=αpC（α為比例壓力調節器比例系數，αgt;0）得到控制信號L，并通過 I/O 板卡將此信號傳輸到比例壓力調節器。比例壓力調節器根據控制信號L調節波紋管型氣動軟體驅動器的內部壓力p，使得p～pC。在p的作用下，波紋管型氣動軟體驅動器活動端將在豎直方向上運動，產生位移。波紋管型氣動軟體驅動器運動示意圖見圖2。
1.2 系統動態特性的分析
為了對波紋管型氣動軟體驅動器進行精確建模，進行多組實驗并采集數據，以分析波紋管型氣動軟體驅動器在豎直方向運動的動態特性。
考慮到對于驅動器建模與控制的需求，分析了輸入氣壓頻率與負載質量對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響。
首先對輸入氣壓頻率與負載質量變化范圍進行選擇?？紤]到本文實驗中使用的波紋管承載能力有限，當懸掛的負載超過1 kg時，驅動器會產生極限拉伸，在后續的充氣過程中將無法再產生明顯的形變，為了避免對驅動器的性能造成嚴重影響，同時使各組數據之間產生較為明顯的對照效果，設置0、200 g、400 g、700 g四組質量的砝碼來作為實驗負載。此外，本文使用的波紋管型氣動軟體驅動器移動端部件為3D打印的砝碼吊筐，其自重為75 g，因此在實驗中的實際負載質量為75 g、275 g、475 g、775 g。由于本實驗中波紋管型氣動軟體驅動器通過導氣軟管供氣，單位時間氣體流量有限，為了保證波紋管內實時氣壓能夠跟上控制信號的變化，控制信號的輸入頻率應限制在0.3 Hz以下的低頻段。因此，設置0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz、0.25 Hz四組輸入氣壓頻率的正弦波信號。記錄每組實驗中波紋管內部壓力p與驅動器活動端位移x的數據，如圖3、圖4所示。
由圖3可看出，在不同的載荷質量條件下，隨著輸入壓力變化頻率的提升，p-x曲線表現出逐漸收縮的趨勢，但整體變化并不明顯，可知在低頻段，輸入壓力頻率對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響相對較小。而在輸入頻率相同的情況下，載荷質量的變化則使p-x曲線出現較為明顯的偏移，圖4較為直觀地展示了這一現象?？梢姡撦d質量變化對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性有較為明顯的影響，這主要是因為隨著負載質量的增加，波紋管驅動器的預拉伸程度會增大。由于波紋管驅動器在豎直方向上的形變主要依賴于充放氣過程中波紋狀氣室的膨脹和收縮（圖2），當波紋狀氣室的預拉伸位移量增大時，其繼續膨脹的能力就會減弱，表現為波紋管驅動器活動端的運動幅度縮小。
2 波紋管型氣動軟體驅動器建模
三元模型是一種描述軸向運動軟體驅動器動力學的經典模型，但在傳統的三元模型中，驅動器與負載被描述為相互獨立的兩個部分。根據上文對于驅動器動態特性的分析，波紋管型氣動軟體驅動器實際上與負載存在較為緊密的耦合關系。為此，本文嘗試建立一種改進的三元模型，以更好地反映載荷質量變化對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響。
2.1 系統動態特性的分析
在傳統三元模型中，波紋管型氣動軟體驅動器的動力學方程可被描述為［22］
Mx¨+B（p）x·+K（p）x=F（p）-Mg（1）
其中，M為載荷質量；x、x·、x¨分別為波紋管型氣動軟體驅動器活動端的位移、速度和加速度；B（p）和K（p）分別為三元模型中阻尼單元和彈簧單元的相關系數；F（p）為三元模型中施力單元所提供的力。B（p）、K（p）、F（p）可通過下式進行擬合：
B（p）=∑Ni=0Bip（i）
K（p）=∑Ni=0Kip（i）
F（p）=∑Ni=0Fip（i）（2）
一般而言，N越大，擬合精度就越高，模型復雜程度也越高。出于實際應用的考慮，一般取N=1，此時式（2）可寫成
B（p）=B0+B1p
K（p）=K0+K1p
F（p）=F0+F1p（3）
式中，B0、B1、K0、K1、F0、F1為未知常數。
由于波紋管型氣動軟體驅動器具有較強的延展性，故在豎直方向上，運動過程中的載荷的質量將不可避免地影響驅動器的形變幅度與形變速度，進而影響其相關特性。根據文獻［23］以及上文對實驗系統靜、動態特性的分析，可以發現波紋管型氣動軟體驅動器在豎直方向上的動態響應明顯受載荷質量M變化的影響。由式（1）、式（2）可知，傳統的三元模型中僅將Mg視為一個外力項考慮，而忽視了M對B（p）、K（p）、 F（p）的影響，當M發生改變時，傳統的三元模型對波紋管型氣動軟體驅動器靜、動態特性的擬合效果會變差。
針對以上問題，考慮在B（p）、K（p）、 F（p）的計算公式中加入載荷相關項以對傳統三元模型進行改進，改進后的動力學方程為
Mx¨+B（p，M）x·+K（p，M）x=F（p，M）-Mg（4）
B（p，M）=B0+B1p+b0M
K（p，M）=K0+K1p+b1M
F（p，M）=F0+F1p+b2M（5）
其中，模型參數B0、B1、K0、K1、F0、F1、b0、b1、b2均為未知常數，為了獲得它們的具體數值，基于采集到的實驗數據，對這些參數進行辨識。
2.2 參數辨識方法
對于物理結構參數（如長度、粗細、硅膠厚度、波紋數等）不同的波紋管驅動器，無需改變改進型三元模型的模型框架，只需針對不同的波紋管驅動器開展數據采集，獲取其活動端位移與輸入氣壓的實驗數據，并利用數據對改進型三元模型的參數進行重新辨識即可。
本文使用最小二乘方法對系統模型的未知參數進行辨識。由于使用的比例壓力調節器的精度限制，當輸入壓力頻率過低時，信號曲線整體平滑度將有所下降；而輸入氣壓變化頻率過高則會使系統框架發生較為明顯顫動，干擾測量結果。由上文可知，負載質量對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性有顯著影響，輸入壓力頻率對其影響則相對較小，故選擇實驗數據較為穩定的0.2 Hz作為輸入氣壓變化頻率，記錄多組不同載荷下的開環實驗數據作為參數識別的依賴數據。
收集的數據包含實驗中按時間順序測得的驅動器活動端位移數據集X={x（1），x（2），…，x（N）}與內部氣壓數據集P={p（1），p（2），…，p（N）}（X、P的向量形式記為X、P），其中，N為數據集X中元素個數；x（k）為數據集X的第k個元素（k=1，2，…，N）；p（k）為數據集P的第k個元素。則系統的最小二乘格式可表示為
x（k）=f（p，θ）+e（k）（6）
θ=（θ（1），θ（2），…，θ（n））
其中，θ為被辨識的參數向量（n為參數向量中包含的參數個數）；函數f（p，θ）為通過式（4）、式（5），在其他變量為常數時獲得的x與p之間的映射；e（k）為系統誤差?？芍獪蕜t函數J（θ）為
J（θ）=∑Nk=1（e（k））2=∑Nk=1（x（k）-hT（k）θ）2（7）
最小二乘法參數估計即通過最小化準則函數 J（θ）來尋找最優參數向量θ。設q=1，2，…，qm為當前迭代次數（qm為最大迭代次數），θq為第q次迭代后的模型參數向量；Xq=｛xq（1），xq（2），…，xq（N）｝是以θq作為模型參數、P作為模型輸入，計算得到的位移數據集（其向量形式記為Xq），其中xq（k）為數據集Xq的第k個元素；誤差向量Eq=X-Xq。每次迭代更新的準則函數為
Jq=∑Nk=1（x（k）-xq（k））2=ETqEq（8）
模型參數向量的更新值為
θq+1=θq-H-1qITqEq（9）
式中，Iq為雅可比矩陣；Hq為黑森矩陣。
設θ0為模型參數的初值，θm為模型參數的優化結果，σq為準則函數的梯度，σmin為準則函數梯度下限（為一足夠小的正值）。則參數辨識算法的計算步驟如下：
（1）初始化，令q←1，置初值θ0=（0，0，…，0），J0=0。
（2）根據式（4）～式（6）計算Xq。
（3）根據式（8）計算Jq及Eq。
（4）根據式（9）計算θq+1。
（5） σq←Jq-Jq-1。
（6）如果qlt;qm或σqgt;σmin，則q++， 轉到步驟（2）；否則結束運算，取得參數估計值θm。
2.3 不確定性的表示
對于波紋管型氣動軟體驅動器，還應考慮實驗過程中存在的多種不確定性。受模型復雜程度與參數辨識精度的限制，系統模型與實際情況之間必然存在誤差，將其設為模型誤差dm。在控制過程中，由于氣壓測量精度的限制以及傳遞過程中的損耗，氣動軟體驅動器的內部壓力p與輸入的控制壓力pC之間顯然存在誤差，可令pC=p+Δp，其中Δp為氣動軟體驅動器內部氣壓與控制氣壓之間的誤差，即比例壓力調節器的硬件調節誤差。用pC替換式（4）中的p，將產生的設備擾動設為dp。實際實驗中，氣動軟體驅動器亦可能受到外部擾動的影響，將系統外部擾動設為do。綜上所述，式（4）可寫成
Mx¨=-B（pC，M）x·-K（pC，M）x+
F（pC，M）-Mg+dt（10）
dt=dp+do+dm
其中，dt為系統的集總擾動項，本文中的控制項即控制氣壓pC，則式（10）可寫成
x¨=z1（x，x·）+z2（x，x·）pC+d（11）
z1（x，x·）=［-（B0+b0M）x·-（K0+b1M）x+
（F0+b2M）］/M-g
z2（x，x·）=（-B1x·-K1x+F1）/M
d=dt/M（12）
3 波紋管型氣動軟體驅動器控制設計
本文的控制目標如下：設計控制律PC，使得波紋管型氣動軟體驅動器活動端的實際軌跡x在控制下跟蹤期望軌跡xd。
3.1 滑模控制器的設計
滑?？刂品椒楹胁淮_定性的非線性系統魯棒控制提供了有效的控制設計方法，可以使系統輸出直接跟蹤期望軌跡?；诟倪M三元模型設計滑?？刂破鳌Ｊ紫?，根據控制需求，定義滑模函數：
s=ce+e·（13）
e=xd-x
其中，e是氣動軟體驅動器活動端的實際位移與期望軌跡的偏差；xd是平滑的期望軌跡，其一、二階導數均有界；c是正的增益。結合式（11）與式（13），求解滑模函數s關于時間的導數，可得
s·=ce·+e¨=c（x·d-x·）+（x¨d-x¨）=
x¨d-z1-z2PC-d+c（x·d-x·）（14）
選擇等速趨近率，即
s·=-ηsgn（s）（15）
其中，η為正常數，由此，將控制律設計為
pC=z-12（ηsgn（s）+x¨d+ce·-z1-d）（16）
上式中，d是不確定的量， 采用傳統的滑模控制方法通常需要較大的開關增益來克服d，以保證控制系統的穩定性，這給系統帶來了較大的抖振。為解決這一問題，利用RBF神經網絡對d進行估計。
3.2 RBF神經網絡的設計
由于RBF神經網絡具有萬能逼近的特性，故式（16）中的集總擾動項d可以表述為
d=W*Th（a）+ε（17）
a=（e，e·）T" h（a）=（h1，h2，…，hi）T
其中，a為網絡的輸入；W*為網絡的理想權值；ε為網絡的逼近誤差，因為RBF神經網絡能以任意精度逼近任意連續函數，故逼近誤差ε是有界的，滿足|ε|lt;εm；h（a）為高斯基函數的輸出，其中，i為網絡隱含層節點個數，隱含層第j個節點的輸出hj可表示為
hj=exp（‖a-cj‖2/（2b2））（18）
cj=（cj1，cj2）T
其中，b為網絡的基寬參數；cj為隱含層第j個節點的中心向量。通過神經網絡對集總擾動項d進行逼近，神經網絡的輸出即d的估計值d^，d^可表示為
d^=W^Th（a）（19）
其中，W^為網絡的實際權值，則式（16）中所設計的控制器可以改寫為
pC=z-12（ηsgn（s）+x¨d+ce·-z1-d^） （20）
將式（20）代入式（14）可得
s·=x¨d-z1-z2pC-d+ce·" =-（d-d^）-ηsgn（s）（21）
可令
d～=d-d^==W～Th（a）+ε（22）
W～=W*-W^
式中，W～為神經網絡理想權值與實際權值之間的偏差。
為了分析系統的穩定性，構造以下Lyapunov函數：
V=s2/2+（γW～TW～）/2（23）
其中，γgt;0。由Lyapunov穩定性的條件可知，為了使系統狀態達到滑模面，需要滿足ss·≤0，由式（21）～式（23）可得V關于時間的導數：
V·=ss·+γW～TW·～=
-W～T（s·h（a）+γW·^）-s（ε+ηsgn（s））（24）
為使V·lt;0，設計自適應律為
W·^=-1γs·h（a）（25）
則有
V·=-s（ε+ηsgn（s））=-sε-η|s|（26）
上式中，由于RBF神經網絡能以任意精度逼近任意連續函數，故通過合理構建神經網絡，可以使逼近誤差ε為一個足夠小的常數。此時，設置ηgt;ε可以保證V·lt;0。從式（26）中不難發現，當V·≡0時，有且僅有一種情況，即s≡0。因此，在控制器（式（20））和自適應律（式（25））的共同作用下，神經網絡的權值會收斂于理想權值，滑模函數會收斂于滑模面s=0，進而使系統的狀態收斂于目標狀態。
4 實驗與分析
基于實驗數據辨識得到改進三元模型的參數，搭建控制器并設計三組實驗來驗證本文方法的有效性和優越性。
滑?？刂品椒ǎ?4］與PID控制方法［25］是當前常用的氣動軟體驅動器控制方法，三組實驗中，將本文控制方法與傳統滑?？刂品椒ê蚉ID控制方法進行對比，分別從正常運行情況下的固定幅頻信號跟蹤、負載質量存在明顯不確定性情況下的固定幅頻信號跟蹤、變幅變頻信號跟蹤三個方面來驗證本文方法的有效性和優越性。為了便于衡量參數辨識的效果以及對比控制性能的優劣，采用多個性能指標來對實驗結果進行對比分析：均方根誤差erms（root mean square error percentage， RMSEP）、最大誤差emax（maximum error percentage， MEP）以及擬合度f（fitness），其計算公式分別為
erms=N-1∑Nj=1［xd（j）-x（j）］2max（xd）-min（xd）（27）
emax=max（|xd（j）-x（j）|）max（xd）-min（xd）（28）
f=1-∑Nj=1［xd（j）-x（j）］2∑Nj=1［xd（j）-x-d］2（29）
式中，x-d為目標信號xd的平均值。
4.1 模型的參數辨識
根據上文中對參數辨識方法及模型不確定性表示的分析，在0.20 Hz的輸入壓力頻率下，負載為75 g、175 g、275 g、475 g、775 g時進行實驗，采集驅動器活動端位移數據X與內部氣壓數據p，用于參數辨識。其中，將負載為75 g、175 g、275 g、475 g、775 g時采集的數據作為訓練集，負載為475 g時采取的數據作為測試集。將訓練集的四組數據整合后作為參數辨識的依賴數據。設模型參數初值θ0=（0，0，…，0），算法最高迭代次數為3000，準則函數梯度值下限為e-10，按照上文方法進行參數辨識。
辨識獲得的模型參數如下：B0=80.13，B1=531.61，K0=719.29，K1=597.27，F0=161.23，F1=9164.90，b0=77.89，b1=308.26，b2=-80.14。獲得這些參數后，基于改進三元模型，依據內部氣壓數據集P以及負載質量M求取驅動器活動端位移的計算數據集Xk，將其與采集的實驗數據集X進行比較，可以分析參數辨識的效果。訓練集實驗數據集X與計算數據集Xk的圖形化比較如圖5所示。
計算可得，當負載為75 g、175 g、275 g、775 g時，實驗數據與計算數據間的均方根誤差erms分別為1.53%、1.33%、1.27%、1.36%，由此可知，所提的改進三元模型能夠在不同負載下較好地描述波紋管型氣動軟體驅動器的動力學特性。然后，利用測試集數據驗證改進三元模型的泛化能力，圖形化比較如圖6所示。測試集實驗數據與計算數據間的erms為1.32%，由此可知，雖然測試集數據沒有作為參數辨識的依賴數據，但仍然可以利用改進三元模型較為精確地描述475 g負載下波紋管型氣動軟體驅動器的動力學特性，結果表明，改進三元模型具有良好的泛化能力。
4.2 控制器的建立
應用上文中獲取的模型參數，可根據控制律（式（16））建立基于改進三元模型的滑?？刂破鳌＝浻蓪嶒炚{試獲取一組能夠實現穩定控制且使得抖振較小的增益參數，即η=350、c=40（由于獲得的模型參數值普遍較大，這些增益參數在控制器中相對于z1、z2依舊是很小的值）。
本文所提方案在上述滑模控制器的基礎上采用RBF神經網絡對系統集總誤差進行逼近。根據控制律（式（20））建立基于改進三元模型的神經網絡滑?？刂破?。RBF神經網絡采取2-5-1結構，網絡的初始權值取0，基寬參數值取b=5.0，隱含層各神經元中心向量值取c1=（-1，-1），c2=（-0.5，-0.5），c3=（0，0），c4=（0.5，0.5），c5=（1，1）。此外，通過實驗分析，建立用于對照的PID控制器，其結構如下：
Pr=KPe+KI∫t0edt+KDe·（30）
其中，KP、KI、KD分別為PID控制器的比例系數、積分系數和微分系數。本文通過多次調試，取得了一組在當前實驗平臺控制效果最優的PID參數：KP=0.23，KI=2.00，KD=0.0015。
4.3 固定幅頻期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法在正常運行（固定幅頻信號輸入，無明顯外加干擾）情況下的控制性能。將實際系統的負載質量調為300 g，使模型中負載質量的標稱值與實際值一致。分別在0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz三種固定頻率的輸入信號下使用傳統滑?？刂品椒?、PID控制方法與本文方法進行軌跡跟蹤實驗，記錄相關數據。實驗結果如圖7所示。
三種控制方案的性能指標數據見表1。由圖7及表1數據可知，在無明顯外加干擾的情況下，三種控制方案均能夠實現對于固定幅頻輸入信號的穩定跟蹤。在三組實驗中，所提方法的均方根誤差被限制在1.10%～1.15%范圍內，明顯小于傳統滑?？刂品椒ǖ?.3%～2.4%以及 PID控制方法的1.3%～2.6%；所提方法的擬合度則處于96.25%～96.40%，同樣優于傳統滑?？刂品椒ǖ?2.10%～95.41%與PID控制方法的91.89～95.64%；所提方案的最大誤差為5.48%～7.72%，全面低于傳統滑?？刂破鞯膶獢祿cPID控制器的對應數據相近。該實驗證明了所提方法在無外部擾動的運行情況下整體上有著高于傳統滑模控制方法與PID控制方法的軌跡跟蹤控制精度。
4.4 變幅變頻期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法應對變幅變頻輸入信號的能力。將實際系統負載設置質量為300 g，使模型中負載質量的標稱值與實際值一致，并保證控制器參數不變。輸入信號采用一組幅值、頻率隨時間變化的的正弦波信號，使用傳統滑模控制方法、PID控制方法與所提方法進行軌跡跟蹤實驗，記錄相關數據。實驗結果如圖8所示。
三種控制方案的性能指標數據見表2。由圖8及表2可知，三種控制方案均可實現對變幅變頻期望軌跡的跟蹤，其控制精度相較于跟蹤固定幅頻信號時未產生明顯變化。所提方法在跟蹤變幅變頻信號時，均方根誤差為1.08%，最大誤差為3.82%，擬合度為96.42%，均優于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法的對應數據。該實驗證明了所提方法能夠較精確地跟蹤變幅變頻期望軌跡，且性能相較于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法更優。
4.5 載荷質量存在較大誤差的期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法應對負載質量不確定性的能力，將驅動器的實際負載質量增大為350 g，但不改變控制器中有關負載質量的參數（標稱負載質量仍為300 g），同樣在0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz三種固定頻率的輸入信號下使用三種控制方法進行實驗，記錄相關數據，實驗結果如圖9所示。
三種控制方案的性能指標數據見表3。由圖9及表3可知，由于實際載荷質量與模型參數產生了較大誤差，高度依賴于系統模型的傳統滑?？刂品椒ǖ目刂菩阅艹霈F了明顯下跌，相應實驗數據中均方根誤差與最大誤差均有大幅度上升，而擬合度明顯下降；而PID控制方法并不依賴于系統模型，其控制效果未受到明顯影響；所提方法盡管同樣依賴于模型，但RBF神經網絡的作用較好地擬合了系統誤差，使得控制精度保持在較高水平，均方根誤差保持在1%～1.2%，擬合度保持在96%以上，最大誤差也未出現明顯變化，整體性能依舊明顯優于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法。該實驗證明了所提方法對于驅動器所帶負載質量的不確定性具有良好的抗擾動能力。
5 結論
（1）本文建立了可以準確描述波紋管型氣動軟體驅動器運動特性的模型，并在此基礎上設計控制器，實現了該驅動器的軌跡跟蹤控制。
（2）本文對傳統的三元模型進行了改進，考慮負載質量對于軟體驅動器性能的影響，所建立的改進三元模型能夠更好地描述波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性，精確度更高。
（3）本文設計了一種RBF神經網絡誤差補償器來對系統的不確定性進行估計和補償，提出了一種滑?？刂品椒?，在實現系統跟蹤控制的同時克服了RBF神經網絡的估計誤差，具有較好的魯棒性。
需要注意的是，本文所提的改進型三元模型是在傳統三元模型基礎上的改進，它和傳統三元模型一樣具有較好的普適性，可以應用于不同軟體驅動器的建模中。未來將對本文所提方案進行進一步的優化與改進，如研究模型的在線參數辨識方法以減少前期采集數據的操作等。此外，還期望能夠基于該軟體驅動器搭建氣動軟體機器人，并將本文方法應用于氣動軟體機器人的控制中。
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（編輯 陳 勇）
摘要：針對一款波紋管型氣動軟體驅動器，提出了一種基于改進三元模型的滑?？刂品椒?，并使用RBF神經網絡補償擾動以實現該型驅動器在豎直方向上對期望軌跡的跟蹤控制。首先搭建波紋管型氣動軟體驅動器實驗平臺，測試并分析該驅動器的動態特性，基于上述動態特性提出波紋管型氣動軟體驅動器的改進三元模型；然后利用采集到的實驗數據，基于最小二乘算法對其進行參數辨識，從而獲得所提模型的參數；進而結合改進三元模型設計滑?？刂破?，使用RBF神經網絡對集總擾動進行補償，并利用Lyapunov方法分析系統的穩定性；最后通過一系列實驗驗證了所提方法的有效性。
關鍵詞：波紋管；氣動軟體驅動器；三元模型；滑?？刂疲粡较蚧瘮瞪窠浘W絡
中圖分類號：TP273
DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.010
開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：
Neural Network Sliding Mode Control of Bellows-type Pneumatic Soft
Actuators Based on Improved Ternary Model
LYU Boyang1，2，3 MENG Qingxin1，2，3 XIAO Huai1，2，3
LAI Xuzhi1，2，3 WANG Yawu1，2，3 WU Min1，2，3
1.School of Automation，China University of Geosciences，Wuhan，430074
2.Hubei Key Laboratory of Advanced Control and Intelligent Automation for Complex Systems，
Wuhan，430074
3.Engineering Research Center of Intelligent Technology for Geo-Exploration，Ministry of Education，
Wuhan，430074
Abstract： A sliding mode control method was proposed based on an improved ternary model for a bellows-type pneumatic soft actuator， and an RBF neural network was used to compensate the aggregate set disturbance to achieve tracking control of the desired trajectory in the vertical direction of this type of actuators. Firstly， an experimental platform was constructed to test and analyse the dynamic characteristics of the bellows-type pneumatic soft actuators. Based on the above dynamic characteristics， an improved ternary model of the bellows-type pneumatic soft actuators was proposed. Meanwhile， the parameters of the proposed model were obtained by using the collected experimental data for parameter identification based on the least squares algorithm. Then， the sliding mode controller was designed in conjunction with the improved ternary model， and the RBF neural network was used to compensate for the aggregate set disturbance. The stability of the system was analysed by using the Lyapunov method. Finally， the effectiveness of the proposed method was verified through a series of experiments.
Key words： bellow; pneumatic soft actuator; ternary model; sliding mode control; radial basis function（RBF） neural network
0 引言
軟體機器人是近年來機器人領域新興的重要研究方向，因復雜環境適應、人機交互等方面具備的獨特優勢而備受關注［1］。軟體驅動器作為軟體機器人實現運動所需的關鍵組件，直接決定了軟體機器人的特性和性能，是軟體機器人領域的重要研究對象之一。
軟體驅動器通?？筛鶕潋寗臃绞絼澐譃榫€驅動型、電驅動型、磁驅動型與流體（氣/液）驅動型等，其中，氣動軟體驅動器［2］因具有柔順性好、安全性高、價格便宜、易于維護等優勢而受到研究人員青睞［3］。目前，已有多種氣動軟體驅動器被設計并應用在軟體機器人上。張立彬等［4］設計了一款氣動柔性球關節，應用在多指靈巧手上。TONDU等［5］設計了一款氣動人工肌肉驅動的七自由度仿人機械臂。POLYGERINOS等［6］設計了一款運用氣動軟體驅動器的康復手套。根據其形變方式，氣動軟體驅動器具有彎曲型、伸縮型、膨脹型等多種類別，其中，伸縮型氣動軟體驅動器形變量大，質效比高，泛用性強，可以通過多驅動器組合的形式完成伸縮、彎曲、扭轉等多維度運動［7］，具有很高的研究價值。
當前，氣動人工肌肉與波紋管型氣動軟體驅動器是比較有代表性的兩類伸縮型氣動軟體驅動器。氣動人工肌肉由一根柔軟的空心橡膠軟管及管外覆蓋的一層纖維網格套筒構成，其形變原理主要依靠不可拉伸的纖維網格套筒將內部空心橡膠軟管的徑向膨脹轉化為軸向收縮。這種形變方式使氣動人工肌肉可以承受較大的氣壓，具有高輸出力和快速響應的優點。目前，針對氣動人工肌肉的研究已較為豐富［8-11］。然而，氣動人工肌肉的形變方式也使其在運動的過程中徑向膨脹明顯，在一些空間受限的應用場景中，其適用性大打折扣。波紋管型氣動軟體驅動器解決了這一問題，它由多個波紋狀氣室串接而成，其形變主要依賴于波紋狀氣室的膨脹和收縮。得益于氣室的波紋形狀，它在軸向伸縮時不會帶來明顯的徑向變形。這種形變方式也使其可以在較小驅動氣壓的情況下實現較大的形變，效率高且抗扭轉性能好。雖然波紋管型氣動軟體驅動器的輸出力稍弱于氣動人工肌肉，但依靠上述優勢，它在軟體機器人領域已有許多成功的應用實例［12-14］。然而，當前針對波紋管型氣動軟體驅動器的建模和控制研究，尤其是目標軌跡跟蹤控制研究還不太充分。
由于上述兩類伸縮型氣動軟體驅動器的工作原理不同，直接將現有的氣動人工肌肉控制方法應用于波紋管型氣動軟體驅動器顯然會導致較差的控制效果，故針對波紋管型氣動軟體驅動器的建模和控制研究仍是一個挑戰性的課題。此外，考慮到波紋管型氣動軟體驅動器整體采用軟材料制成，缺少剛性結構的支撐，當其在水平面運動時，其自身形狀易受重力的影響而產生彎曲變形，從而影響驅動器性能與控制精度。本文針對波紋管型氣動軟體驅動器在豎直平面的運動跟蹤控制展開研究。
目前，針對氣動軟體驅動器的控制方法大致可劃分為無模型的控制方法與基于模型的控制方法。其中，無模型的控制方法不依賴于目標氣動軟體驅動器的具體數學模型，而是基于狀態信息直接構建控制律。該類型控制方法包含PID控制［15］、神經網絡控制［16］等。WU等［17］運用PID模糊控制器實現了對氣動人工肌肉驅動的穿戴式人工機械手的軌跡跟蹤控制。AHN等［18］設計了一款神經網絡控制器，能夠使拮抗式氣動人工肌肉達到目標角度?？傮w上來說，盡管無模型控制器不需要依賴系統模型參數，但由于缺乏所研究系統的模型與先驗知識，故無模型控制器的規劃能力并不強，往往難以勝任需要精確控制的任務。
基于模型的控制方法則通過引入所研究系統的模型，針對性地設計控制器以給出精確的控制指令，因此在模型準確的情況下，基于模型的控制方法一般精度較高。該類型的控制方法又可劃分為基于運動學模型的控制方法以及基于動力學模型的控制方法。其中，基于運動學模型的控制方法從幾何學的角度研究機器人運動規律，注重控制對象的目標運動和每個驅動單元運動之間的關系，如張啟航等［19］對一款仿象鼻氣動連續體機器人進行運動學建模，實現了對其的位姿控制。此類控制方法在位置控制或者彎曲角度控制上十分有效，但由于未考慮系統的慣性與受力情況等因素，故在高速運動、目標軌跡跟蹤等應用上的控制效果較差。
基于動力學模型的控制方法關注被控對象的運動和驅動單元輸入力或力矩的關系，包含對系統速度及加速度的描述，因此這類控制方法更加適用于連續運動與跟蹤控制，如YAN等［20］基于氣動位置伺服模型設計LQR最優控制器，實現了對一款垂直跳動氣動執行器的穩定控制。然而，在針對波紋管型氣動軟體驅動器的控制研究中，當前基于動力學模型的控制方法還存在以下挑戰：一方面，軟體材料具有黏彈性，這導致氣動軟體驅動器的運動表現出復雜的遲滯特性，其精確的具有嚴格物理意義的動力學模型很難被建立。研究人員嘗試基于唯象建模的理論來建立氣動軟體驅動器的動力學模型，其中，三元模型是一種經典的唯象模型［21］，常用于描述氣動人工肌肉的運動特性。該模型將軟體驅動器的黏彈性用一個彈簧單元、一個阻尼單元與一個施力單元組合的形式來描述，這些單元的參數與驅動器的輸入氣壓有關。然而，波紋管型氣動軟體驅動器的運動方式與氣動人工肌肉不同，更易受負載質量的影響。傳統三元模型未考慮負載質量與模型參數之間的耦合效應，往往難以準確描述波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性。另一方面，氣動軟體驅動器的唯象模型參數往往是基于實驗數據辨識得到的，辨識結果不可避免地會存在辨識誤差。此外，由于氣動軟體驅動器自身的材質特性，其動態特性易受外部大氣壓、振動、氣流等外部擾動的影響，這些因素可以被視為系統的不確定性。然而，當前一些基于動力學模型的控制方法較少考慮這些系統不確定性的影響，其魯棒性較差。
本文針對一款波紋管型氣動軟體驅動器進行研究，提出了一種基于改進三元模型的神經網絡滑?？刂品椒?，使其能夠對驅動器在豎直方向上的運動進行高精度控制的同時，對運行過程中的各種不確定性具有較強的抗擾動性能。本文搭建了實驗平臺，對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性進行了分析；基于驅動器動態特性，在傳統三元模型的基礎上提出改進三元模型并對其進行了參數辨識；結合改進三元模型，設計滑?？刂破?，并使用徑向基函數（radial basis function，RBF）神經網絡補償系統集總擾動，運用 Lyapunov函數驗證了系統的穩定性；最終通過實驗來驗證所提方法的有效性與先進性。
1 實驗準備
1.1 實驗平臺的搭建
本文使用自制的波紋管型氣動軟體驅動器進行實驗。為了實現對其在豎直方向上運動的數據采集與軌跡跟蹤控制，搭建了波紋管型氣動軟體驅動器實驗平臺，如圖1所示。實驗平臺由以下裝置組成：①計算機（CPU：i9-12900KF），用于計算控制信號L及顯示波紋管型氣動軟體驅動器狀態參數（內部氣壓p與活動端位移x），采樣時間設置為0.01 s；②波紋管型氣動軟體驅動器（材質為硅膠，靜態長度158 mm，最大靜態外徑60 mm，自重133.7 g，安全受壓范圍0～60 kPa）；③比例壓力調節器 （型號：VPPI-5L-3-G18-1V1H-V1-S1D，制造商：Festo，輸出范圍-0.1～0.6 MPa），用于調節并實時反饋波紋管型氣動軟體驅動器內部氣壓p；④I/O模塊（型號：PCIe-6363，制造商：National Instruments），用于連接計算機與系統儀器；⑤正壓氣泵（型號：OTX-550X3，制造商：奧突斯，容積65 L），用于給實驗平臺提供穩定正氣壓源；⑥負壓氣泵 （型號：JBL-750，制造商：佳寶麗，容積36 L），用于給實驗平臺提供穩定負氣壓源。
實驗平臺的運作流程如下：計算機內部經由一系列計算得到控制氣壓pC，然后經比例關系式L=αpC（α為比例壓力調節器比例系數，αgt;0）得到控制信號L，并通過 I/O 板卡將此信號傳輸到比例壓力調節器。比例壓力調節器根據控制信號L調節波紋管型氣動軟體驅動器的內部壓力p，使得p～pC。在p的作用下，波紋管型氣動軟體驅動器活動端將在豎直方向上運動，產生位移。波紋管型氣動軟體驅動器運動示意圖見圖2。
1.2 系統動態特性的分析
為了對波紋管型氣動軟體驅動器進行精確建模，進行多組實驗并采集數據，以分析波紋管型氣動軟體驅動器在豎直方向運動的動態特性。
考慮到對于驅動器建模與控制的需求，分析了輸入氣壓頻率與負載質量對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響。
首先對輸入氣壓頻率與負載質量變化范圍進行選擇?？紤]到本文實驗中使用的波紋管承載能力有限，當懸掛的負載超過1 kg時，驅動器會產生極限拉伸，在后續的充氣過程中將無法再產生明顯的形變，為了避免對驅動器的性能造成嚴重影響，同時使各組數據之間產生較為明顯的對照效果，設置0、200 g、400 g、700 g四組質量的砝碼來作為實驗負載。此外，本文使用的波紋管型氣動軟體驅動器移動端部件為3D打印的砝碼吊筐，其自重為75 g，因此在實驗中的實際負載質量為75 g、275 g、475 g、775 g。由于本實驗中波紋管型氣動軟體驅動器通過導氣軟管供氣，單位時間氣體流量有限，為了保證波紋管內實時氣壓能夠跟上控制信號的變化，控制信號的輸入頻率應限制在0.3 Hz以下的低頻段。因此，設置0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz、0.25 Hz四組輸入氣壓頻率的正弦波信號。記錄每組實驗中波紋管內部壓力p與驅動器活動端位移x的數據，如圖3、圖4所示。
由圖3可看出，在不同的載荷質量條件下，隨著輸入壓力變化頻率的提升，p-x曲線表現出逐漸收縮的趨勢，但整體變化并不明顯，可知在低頻段，輸入壓力頻率對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響相對較小。而在輸入頻率相同的情況下，載荷質量的變化則使p-x曲線出現較為明顯的偏移，圖4較為直觀地展示了這一現象?？梢姡撦d質量變化對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性有較為明顯的影響，這主要是因為隨著負載質量的增加，波紋管驅動器的預拉伸程度會增大。由于波紋管驅動器在豎直方向上的形變主要依賴于充放氣過程中波紋狀氣室的膨脹和收縮（圖2），當波紋狀氣室的預拉伸位移量增大時，其繼續膨脹的能力就會減弱，表現為波紋管驅動器活動端的運動幅度縮小。
2 波紋管型氣動軟體驅動器建模
三元模型是一種描述軸向運動軟體驅動器動力學的經典模型，但在傳統的三元模型中，驅動器與負載被描述為相互獨立的兩個部分。根據上文對于驅動器動態特性的分析，波紋管型氣動軟體驅動器實際上與負載存在較為緊密的耦合關系。為此，本文嘗試建立一種改進的三元模型，以更好地反映載荷質量變化對波紋管型氣動軟體驅動器動態特性的影響。
2.1 系統動態特性的分析
在傳統三元模型中，波紋管型氣動軟體驅動器的動力學方程可被描述為［22］
Mx¨+B（p）x·+K（p）x=F（p）-Mg（1）
其中，M為載荷質量；x、x·、x¨分別為波紋管型氣動軟體驅動器活動端的位移、速度和加速度；B（p）和K（p）分別為三元模型中阻尼單元和彈簧單元的相關系數；F（p）為三元模型中施力單元所提供的力。B（p）、K（p）、F（p）可通過下式進行擬合：
B（p）=∑Ni=0Bip（i）
K（p）=∑Ni=0Kip（i）
F（p）=∑Ni=0Fip（i）（2）
一般而言，N越大，擬合精度就越高，模型復雜程度也越高。出于實際應用的考慮，一般取N=1，此時式（2）可寫成
B（p）=B0+B1p
K（p）=K0+K1p
F（p）=F0+F1p（3）
式中，B0、B1、K0、K1、F0、F1為未知常數。
由于波紋管型氣動軟體驅動器具有較強的延展性，故在豎直方向上，運動過程中的載荷的質量將不可避免地影響驅動器的形變幅度與形變速度，進而影響其相關特性。根據文獻［23］以及上文對實驗系統靜、動態特性的分析，可以發現波紋管型氣動軟體驅動器在豎直方向上的動態響應明顯受載荷質量M變化的影響。由式（1）、式（2）可知，傳統的三元模型中僅將Mg視為一個外力項考慮，而忽視了M對B（p）、K（p）、 F（p）的影響，當M發生改變時，傳統的三元模型對波紋管型氣動軟體驅動器靜、動態特性的擬合效果會變差。
針對以上問題，考慮在B（p）、K（p）、 F（p）的計算公式中加入載荷相關項以對傳統三元模型進行改進，改進后的動力學方程為
Mx¨+B（p，M）x·+K（p，M）x=F（p，M）-Mg（4）
B（p，M）=B0+B1p+b0M
K（p，M）=K0+K1p+b1M
F（p，M）=F0+F1p+b2M（5）
其中，模型參數B0、B1、K0、K1、F0、F1、b0、b1、b2均為未知常數，為了獲得它們的具體數值，基于采集到的實驗數據，對這些參數進行辨識。
2.2 參數辨識方法
對于物理結構參數（如長度、粗細、硅膠厚度、波紋數等）不同的波紋管驅動器，無需改變改進型三元模型的模型框架，只需針對不同的波紋管驅動器開展數據采集，獲取其活動端位移與輸入氣壓的實驗數據，并利用數據對改進型三元模型的參數進行重新辨識即可。
本文使用最小二乘方法對系統模型的未知參數進行辨識。由于使用的比例壓力調節器的精度限制，當輸入壓力頻率過低時，信號曲線整體平滑度將有所下降；而輸入氣壓變化頻率過高則會使系統框架發生較為明顯顫動，干擾測量結果。由上文可知，負載質量對波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性有顯著影響，輸入壓力頻率對其影響則相對較小，故選擇實驗數據較為穩定的0.2 Hz作為輸入氣壓變化頻率，記錄多組不同載荷下的開環實驗數據作為參數識別的依賴數據。
收集的數據包含實驗中按時間順序測得的驅動器活動端位移數據集X={x（1），x（2），…，x（N）}與內部氣壓數據集P={p（1），p（2），…，p（N）}（X、P的向量形式記為X、P），其中，N為數據集X中元素個數；x（k）為數據集X的第k個元素（k=1，2，…，N）；p（k）為數據集P的第k個元素。則系統的最小二乘格式可表示為
x（k）=f（p，θ）+e（k）（6）
θ=（θ（1），θ（2），…，θ（n））
其中，θ為被辨識的參數向量（n為參數向量中包含的參數個數）；函數f（p，θ）為通過式（4）、式（5），在其他變量為常數時獲得的x與p之間的映射；e（k）為系統誤差?？芍獪蕜t函數J（θ）為
J（θ）=∑Nk=1（e（k））2=∑Nk=1（x（k）-hT（k）θ）2（7）
最小二乘法參數估計即通過最小化準則函數 J（θ）來尋找最優參數向量θ。設q=1，2，…，qm為當前迭代次數（qm為最大迭代次數），θq為第q次迭代后的模型參數向量；Xq=｛xq（1），xq（2），…，xq（N）｝是以θq作為模型參數、P作為模型輸入，計算得到的位移數據集（其向量形式記為Xq），其中xq（k）為數據集Xq的第k個元素；誤差向量Eq=X-Xq。每次迭代更新的準則函數為
Jq=∑Nk=1（x（k）-xq（k））2=ETqEq（8）
模型參數向量的更新值為
θq+1=θq-H-1qITqEq（9）
式中，Iq為雅可比矩陣；Hq為黑森矩陣。
設θ0為模型參數的初值，θm為模型參數的優化結果，σq為準則函數的梯度，σmin為準則函數梯度下限（為一足夠小的正值）。則參數辨識算法的計算步驟如下：
（1）初始化，令q←1，置初值θ0=（0，0，…，0），J0=0。
（2）根據式（4）～式（6）計算Xq。
（3）根據式（8）計算Jq及Eq。
（4）根據式（9）計算θq+1。
（5） σq←Jq-Jq-1。
（6）如果qlt;qm或σqgt;σmin，則q++， 轉到步驟（2）；否則結束運算，取得參數估計值θm。
2.3 不確定性的表示
對于波紋管型氣動軟體驅動器，還應考慮實驗過程中存在的多種不確定性。受模型復雜程度與參數辨識精度的限制，系統模型與實際情況之間必然存在誤差，將其設為模型誤差dm。在控制過程中，由于氣壓測量精度的限制以及傳遞過程中的損耗，氣動軟體驅動器的內部壓力p與輸入的控制壓力pC之間顯然存在誤差，可令pC=p+Δp，其中Δp為氣動軟體驅動器內部氣壓與控制氣壓之間的誤差，即比例壓力調節器的硬件調節誤差。用pC替換式（4）中的p，將產生的設備擾動設為dp。實際實驗中，氣動軟體驅動器亦可能受到外部擾動的影響，將系統外部擾動設為do。綜上所述，式（4）可寫成
Mx¨=-B（pC，M）x·-K（pC，M）x+
F（pC，M）-Mg+dt（10）
dt=dp+do+dm
其中，dt為系統的集總擾動項，本文中的控制項即控制氣壓pC，則式（10）可寫成
x¨=z1（x，x·）+z2（x，x·）pC+d（11）
z1（x，x·）=［-（B0+b0M）x·-（K0+b1M）x+
（F0+b2M）］/M-g
z2（x，x·）=（-B1x·-K1x+F1）/M
d=dt/M（12）
3 波紋管型氣動軟體驅動器控制設計
本文的控制目標如下：設計控制律PC，使得波紋管型氣動軟體驅動器活動端的實際軌跡x在控制下跟蹤期望軌跡xd。
3.1 滑模控制器的設計
滑?？刂品椒楹胁淮_定性的非線性系統魯棒控制提供了有效的控制設計方法，可以使系統輸出直接跟蹤期望軌跡?；诟倪M三元模型設計滑?？刂破鳌Ｊ紫?，根據控制需求，定義滑模函數：
s=ce+e·（13）
e=xd-x
其中，e是氣動軟體驅動器活動端的實際位移與期望軌跡的偏差；xd是平滑的期望軌跡，其一、二階導數均有界；c是正的增益。結合式（11）與式（13），求解滑模函數s關于時間的導數，可得
s·=ce·+e¨=c（x·d-x·）+（x¨d-x¨）=
x¨d-z1-z2PC-d+c（x·d-x·）（14）
選擇等速趨近率，即
s·=-ηsgn（s）（15）
其中，η為正常數，由此，將控制律設計為
pC=z-12（ηsgn（s）+x¨d+ce·-z1-d）（16）
上式中，d是不確定的量， 采用傳統的滑模控制方法通常需要較大的開關增益來克服d，以保證控制系統的穩定性，這給系統帶來了較大的抖振。為解決這一問題，利用RBF神經網絡對d進行估計。
3.2 RBF神經網絡的設計
由于RBF神經網絡具有萬能逼近的特性，故式（16）中的集總擾動項d可以表述為
d=W*Th（a）+ε（17）
a=（e，e·）T" h（a）=（h1，h2，…，hi）T
其中，a為網絡的輸入；W*為網絡的理想權值；ε為網絡的逼近誤差，因為RBF神經網絡能以任意精度逼近任意連續函數，故逼近誤差ε是有界的，滿足|ε|lt;εm；h（a）為高斯基函數的輸出，其中，i為網絡隱含層節點個數，隱含層第j個節點的輸出hj可表示為
hj=exp（‖a-cj‖2/（2b2））（18）
cj=（cj1，cj2）T
其中，b為網絡的基寬參數；cj為隱含層第j個節點的中心向量。通過神經網絡對集總擾動項d進行逼近，神經網絡的輸出即d的估計值d^，d^可表示為
d^=W^Th（a）（19）
其中，W^為網絡的實際權值，則式（16）中所設計的控制器可以改寫為
pC=z-12（ηsgn（s）+x¨d+ce·-z1-d^） （20）
將式（20）代入式（14）可得
s·=x¨d-z1-z2pC-d+ce·" =-（d-d^）-ηsgn（s）（21）
可令
d～=d-d^==W～Th（a）+ε（22）
W～=W*-W^
式中，W～為神經網絡理想權值與實際權值之間的偏差。
為了分析系統的穩定性，構造以下Lyapunov函數：
V=s2/2+（γW～TW～）/2（23）
其中，γgt;0。由Lyapunov穩定性的條件可知，為了使系統狀態達到滑模面，需要滿足ss·≤0，由式（21）～式（23）可得V關于時間的導數：
V·=ss·+γW～TW·～=
-W～T（s·h（a）+γW·^）-s（ε+ηsgn（s））（24）
為使V·lt;0，設計自適應律為
W·^=-1γs·h（a）（25）
則有
V·=-s（ε+ηsgn（s））=-sε-η|s|（26）
上式中，由于RBF神經網絡能以任意精度逼近任意連續函數，故通過合理構建神經網絡，可以使逼近誤差ε為一個足夠小的常數。此時，設置ηgt;ε可以保證V·lt;0。從式（26）中不難發現，當V·≡0時，有且僅有一種情況，即s≡0。因此，在控制器（式（20））和自適應律（式（25））的共同作用下，神經網絡的權值會收斂于理想權值，滑模函數會收斂于滑模面s=0，進而使系統的狀態收斂于目標狀態。
4 實驗與分析
基于實驗數據辨識得到改進三元模型的參數，搭建控制器并設計三組實驗來驗證本文方法的有效性和優越性。
滑?？刂品椒ǎ?4］與PID控制方法［25］是當前常用的氣動軟體驅動器控制方法，三組實驗中，將本文控制方法與傳統滑?？刂品椒ê蚉ID控制方法進行對比，分別從正常運行情況下的固定幅頻信號跟蹤、負載質量存在明顯不確定性情況下的固定幅頻信號跟蹤、變幅變頻信號跟蹤三個方面來驗證本文方法的有效性和優越性。為了便于衡量參數辨識的效果以及對比控制性能的優劣，采用多個性能指標來對實驗結果進行對比分析：均方根誤差erms（root mean square error percentage， RMSEP）、最大誤差emax（maximum error percentage， MEP）以及擬合度f（fitness），其計算公式分別為
erms=N-1∑Nj=1［xd（j）-x（j）］2max（xd）-min（xd）（27）
emax=max（|xd（j）-x（j）|）max（xd）-min（xd）（28）
f=1-∑Nj=1［xd（j）-x（j）］2∑Nj=1［xd（j）-x-d］2（29）
式中，x-d為目標信號xd的平均值。
4.1 模型的參數辨識
根據上文中對參數辨識方法及模型不確定性表示的分析，在0.20 Hz的輸入壓力頻率下，負載為75 g、175 g、275 g、475 g、775 g時進行實驗，采集驅動器活動端位移數據X與內部氣壓數據p，用于參數辨識。其中，將負載為75 g、175 g、275 g、475 g、775 g時采集的數據作為訓練集，負載為475 g時采取的數據作為測試集。將訓練集的四組數據整合后作為參數辨識的依賴數據。設模型參數初值θ0=（0，0，…，0），算法最高迭代次數為3000，準則函數梯度值下限為e-10，按照上文方法進行參數辨識。
辨識獲得的模型參數如下：B0=80.13，B1=531.61，K0=719.29，K1=597.27，F0=161.23，F1=9164.90，b0=77.89，b1=308.26，b2=-80.14。獲得這些參數后，基于改進三元模型，依據內部氣壓數據集P以及負載質量M求取驅動器活動端位移的計算數據集Xk，將其與采集的實驗數據集X進行比較，可以分析參數辨識的效果。訓練集實驗數據集X與計算數據集Xk的圖形化比較如圖5所示。
計算可得，當負載為75 g、175 g、275 g、775 g時，實驗數據與計算數據間的均方根誤差erms分別為1.53%、1.33%、1.27%、1.36%，由此可知，所提的改進三元模型能夠在不同負載下較好地描述波紋管型氣動軟體驅動器的動力學特性。然后，利用測試集數據驗證改進三元模型的泛化能力，圖形化比較如圖6所示。測試集實驗數據與計算數據間的erms為1.32%，由此可知，雖然測試集數據沒有作為參數辨識的依賴數據，但仍然可以利用改進三元模型較為精確地描述475 g負載下波紋管型氣動軟體驅動器的動力學特性，結果表明，改進三元模型具有良好的泛化能力。
4.2 控制器的建立
應用上文中獲取的模型參數，可根據控制律（式（16））建立基于改進三元模型的滑?？刂破鳌＝浻蓪嶒炚{試獲取一組能夠實現穩定控制且使得抖振較小的增益參數，即η=350、c=40（由于獲得的模型參數值普遍較大，這些增益參數在控制器中相對于z1、z2依舊是很小的值）。
本文所提方案在上述滑模控制器的基礎上采用RBF神經網絡對系統集總誤差進行逼近。根據控制律（式（20））建立基于改進三元模型的神經網絡滑?？刂破?。RBF神經網絡采取2-5-1結構，網絡的初始權值取0，基寬參數值取b=5.0，隱含層各神經元中心向量值取c1=（-1，-1），c2=（-0.5，-0.5），c3=（0，0），c4=（0.5，0.5），c5=（1，1）。此外，通過實驗分析，建立用于對照的PID控制器，其結構如下：
Pr=KPe+KI∫t0edt+KDe·（30）
其中，KP、KI、KD分別為PID控制器的比例系數、積分系數和微分系數。本文通過多次調試，取得了一組在當前實驗平臺控制效果最優的PID參數：KP=0.23，KI=2.00，KD=0.0015。
4.3 固定幅頻期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法在正常運行（固定幅頻信號輸入，無明顯外加干擾）情況下的控制性能。將實際系統的負載質量調為300 g，使模型中負載質量的標稱值與實際值一致。分別在0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz三種固定頻率的輸入信號下使用傳統滑?？刂品椒?、PID控制方法與本文方法進行軌跡跟蹤實驗，記錄相關數據。實驗結果如圖7所示。
三種控制方案的性能指標數據見表1。由圖7及表1數據可知，在無明顯外加干擾的情況下，三種控制方案均能夠實現對于固定幅頻輸入信號的穩定跟蹤。在三組實驗中，所提方法的均方根誤差被限制在1.10%～1.15%范圍內，明顯小于傳統滑?？刂品椒ǖ?.3%～2.4%以及 PID控制方法的1.3%～2.6%；所提方法的擬合度則處于96.25%～96.40%，同樣優于傳統滑?？刂品椒ǖ?2.10%～95.41%與PID控制方法的91.89～95.64%；所提方案的最大誤差為5.48%～7.72%，全面低于傳統滑?？刂破鞯膶獢祿cPID控制器的對應數據相近。該實驗證明了所提方法在無外部擾動的運行情況下整體上有著高于傳統滑模控制方法與PID控制方法的軌跡跟蹤控制精度。
4.4 變幅變頻期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法應對變幅變頻輸入信號的能力。將實際系統負載設置質量為300 g，使模型中負載質量的標稱值與實際值一致，并保證控制器參數不變。輸入信號采用一組幅值、頻率隨時間變化的的正弦波信號，使用傳統滑模控制方法、PID控制方法與所提方法進行軌跡跟蹤實驗，記錄相關數據。實驗結果如圖8所示。
三種控制方案的性能指標數據見表2。由圖8及表2可知，三種控制方案均可實現對變幅變頻期望軌跡的跟蹤，其控制精度相較于跟蹤固定幅頻信號時未產生明顯變化。所提方法在跟蹤變幅變頻信號時，均方根誤差為1.08%，最大誤差為3.82%，擬合度為96.42%，均優于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法的對應數據。該實驗證明了所提方法能夠較精確地跟蹤變幅變頻期望軌跡，且性能相較于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法更優。
4.5 載荷質量存在較大誤差的期望軌跡跟蹤
測試所提控制方法應對負載質量不確定性的能力，將驅動器的實際負載質量增大為350 g，但不改變控制器中有關負載質量的參數（標稱負載質量仍為300 g），同樣在0.10 Hz、0.15 Hz、0.20 Hz三種固定頻率的輸入信號下使用三種控制方法進行實驗，記錄相關數據，實驗結果如圖9所示。
三種控制方案的性能指標數據見表3。由圖9及表3可知，由于實際載荷質量與模型參數產生了較大誤差，高度依賴于系統模型的傳統滑?？刂品椒ǖ目刂菩阅艹霈F了明顯下跌，相應實驗數據中均方根誤差與最大誤差均有大幅度上升，而擬合度明顯下降；而PID控制方法并不依賴于系統模型，其控制效果未受到明顯影響；所提方法盡管同樣依賴于模型，但RBF神經網絡的作用較好地擬合了系統誤差，使得控制精度保持在較高水平，均方根誤差保持在1%～1.2%，擬合度保持在96%以上，最大誤差也未出現明顯變化，整體性能依舊明顯優于傳統滑?？刂品椒ㄅcPID控制方法。該實驗證明了所提方法對于驅動器所帶負載質量的不確定性具有良好的抗擾動能力。
5 結論
（1）本文建立了可以準確描述波紋管型氣動軟體驅動器運動特性的模型，并在此基礎上設計控制器，實現了該驅動器的軌跡跟蹤控制。
（2）本文對傳統的三元模型進行了改進，考慮負載質量對于軟體驅動器性能的影響，所建立的改進三元模型能夠更好地描述波紋管型氣動軟體驅動器的動態特性，精確度更高。
（3）本文設計了一種RBF神經網絡誤差補償器來對系統的不確定性進行估計和補償，提出了一種滑?？刂品椒?，在實現系統跟蹤控制的同時克服了RBF神經網絡的估計誤差，具有較好的魯棒性。
需要注意的是，本文所提的改進型三元模型是在傳統三元模型基礎上的改進，它和傳統三元模型一樣具有較好的普適性，可以應用于不同軟體驅動器的建模中。未來將對本文所提方案進行進一步的優化與改進，如研究模型的在線參數辨識方法以減少前期采集數據的操作等。此外，還期望能夠基于該軟體驅動器搭建氣動軟體機器人，并將本文方法應用于氣動軟體機器人的控制中。
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（編輯 陳 勇）
