數控機床旋轉軸多自由度靜/熱誤差同步測量與建模

摘要：針對現有的數控機床旋轉軸誤差測量與建模方法僅考慮多自由度靜態幾何誤差或單自由度熱誤差單獨作用的影響，未考慮幾何誤差和熱誤差耦合影響的問題，提出了一種基于球桿儀的數控機床旋轉軸多自由度靜/熱誤差同步測量與建模方法。首先基于齊次坐標變換建立球桿儀桿長變化模型，再基于該模型使用非齊次線性方程組建立靜/熱誤差辨識模型;其次設計了適應多自由度靜/熱誤差同步測量的球桿儀安裝模式以縮短測量時間，減少熱逸散對測量結果的影響;再次基于卷積長短期記憶神經網絡（CNN-LSTM）建立旋轉軸多自由度靜/熱誤差預測模型;最后在數控蝸桿砂輪磨齒機的C軸上進行誤差測量實驗，對多種轉速下的旋轉軸多自由度誤差進行快速辨識，并通過CNN-LSTM靜/熱誤差預測模型對多自由度誤差和球桿儀桿長變化進行預測，以驗證所建模型的準確性。

關鍵詞：靜/熱誤差；誤差測量；卷積長短期記憶神經網絡；旋轉軸；球桿儀

中圖分類號：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.08.011

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Simultaneous Measurement and Modeling of MDOF Static/Thermal Errors

of CNC Machine Tool Rotational Axes

LI Guolong1 XIAO Yang1 LI Zheyu1 XU Kai2 ZHANG Wei1

1.State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing，400044

2.School of Mechanical Engineering，Chongqing University of Technology，Chongqing，400054

Abstract： Existing measurement and modeling methods for CNC machine tool rotational axis errors only considered the influences of multiple degrees of freedom（MDOF） static geometric errors or single degree of freedom thermal errors acting in isolation without accounting for the coupled effects， a simultaneous measurement and modeling for MDOF static/thermal errors in CNC machine tool rotational axes was proposed based on a double ball bar. Firstly， a model was developed to describe the variation in length of the double ball bar using homogeneous coordinate transformation. A static/thermal error identification model was constructed by solving a system of nonhomogeneous linear equations based on this model. Subsequently， to minimize the influences of thermal dissipation on the measurement results， a specific installation mode adapted to the simultaneous measurement of MDOF static/thermal errors was designed to reduce the installation time of the double ball bar. Additionally， a prediction model for MDOF static/thermal errors in rotational axis was established using a CNN-LSTM. Finally， experiments were conducted on the C-axis of a gear grinding machine to rapidly identify the rotational axis errors at various speeds. The accuracy of the prediction model was verified by utilizing the static/thermal error model to predict the errors of C-axis and the variation in length of the double ball bar.

Key words：static/thermal error; error measurement; convolutional neural network long-short-term memory（CNN-LSTM）; rotating axis; double ball bar

0 引言

數控機床在運行過程中受到幾何誤差、熱誤差、力誤差、控制誤差等多種誤差的共同影響，導致數控機床刀具與工件的相對位姿發生改變，產生加工誤差。其中，幾何誤差與熱誤差是最主要的誤差源，占機床總誤差的80%以上［1-3］。隨著五軸加工需求的不斷增加，旋轉軸的誤差對工件加工精度的影響也越來越大，對數控機床旋轉軸誤差進行測量、建模、補償是減小加工誤差的有效方法。

幾何誤差是標準測試環境、無負載下的靜態誤差［4］。根據國際標準［5］，旋轉軸的幾何誤差按位置和誤差的關聯性分為位置相關幾何誤差（position dependent geometric errors，PDGEs）和位置無關幾何誤差（position independent geometric errors，PIGEs）。球桿儀操作簡單，成本相對較低，常用于測量數控機床靜態幾何誤差［6-7］。LI等［8］通過球桿儀的4個不同安裝位置的8種測量模式能夠測量出旋轉軸所有的12個位置相關誤差，該方法測量精準但測量模式多，安裝較為復雜。徐凱等［9］利用球桿儀提出了一種基于參數化建模的旋轉軸PDGEs快速辨識方法，該方法便捷快速，可直接用于旋轉軸及機床誤差的建模及補償過程。ZARGARBASHI等［10］提出了一種只需安裝一次球桿儀便能測量A軸軸向運動誤差的方法，但是只能使用于特定機床。梁小冰等［11］通過現有的辨識方法獲得旋轉軸PIGEs初始解，然后定義優化目標函數，通過差分演化算法整體優化求解旋轉軸PIGEs，提高了辨識準確性。FU等［12］提出了一種基于差動矩陣的球桿儀六圈法，能夠對旋轉軸的4項PIGEs和6項PDGEs進行測量和辨識。郭世杰等［13］為實現幾何誤差精準建模，提出了基于遺傳算法量子粒子群算法（genetic algorithm quantum-behaved particle swarm optimization， GA-QPSO）的正弦低次多項式參數化建模方法，補償后誤差指標平均能夠降低61.2%。但上述方法均只針對靜態幾何誤差進行測量和建模，并未考慮機床長時間運行過程中的溫度變化對這些誤差元素的影響。

熱誤差是溫度變化導致數控機床各零部件熱變形而產生的誤差，其本身具有動態、非線性特點，誤差預測模型較為復雜［14］。目前，機床旋轉軸的熱誤差主要借鑒ISO230-3中的五點法［15］，測量旋轉軸旋轉中心在特定方向上的動態變化。魏弦［16］基于五點法對磨齒機工件主軸（C軸）進行了測量，并提出了工件主軸無溫度傳感器分類建模方法，利用在線數據對模型進行修正，提高了模型的自適應性能。何振亞等［17］基于球桿儀提出了主軸熱誤差檢測新方法，該方法借助五軸數控機床的兩個旋轉軸分別單獨運動，實現兩個正交圓或圓弧構成的球桿儀空間軌跡測量，測量結果與五點法吻合。WU等［18］使用激光干涉儀測量誤差數據，建立的卷積神經網絡（convolutional neural network，CNN）模型能夠精確地預測旋轉軸熱角度定位誤差。上述方法雖然提出了熱誤差測量和建模方法，但均只針對某一方向上的誤差的綜合表現，未考慮具體的各個自由度上的誤差元素。

針對目前的研究大多只考慮多自由度靜態幾何誤差或單一自由度熱誤差單獨作用的影響，并未考慮多自由度靜/熱誤差影響（即靜態幾何誤差和多自由度熱誤差耦合對旋轉軸的影響）的問題，本文提出了一種基于球桿儀的旋轉軸多自由度靜/熱誤差同步測量與建模方法。建立基于球桿儀桿長變化的多自由度空間誤差辨識模型，再通過設計特定的安裝模式，對旋轉軸多自由度靜/熱誤差進行同步測量，并建立基于卷積長短期記憶神經網絡（convolutional neural network-long short-term memory，CNN-LSTM）的旋轉軸靜/熱誤差預測模型。

1 基于球桿儀的多自由度空間誤差建模

1.1 球桿儀桿長變化模型

考慮熱誤差對旋轉軸位置相關誤差的影響，提出位置相關熱誤差（position dependent thermal errors， PDTEs）和位置無關熱誤差（position independent thermal errors， PITEs），本文針對研究對象多自由度靜/熱誤差采用PDGEs和PDTEs的定義。如圖1所示，轉動副繞旋轉軸轉動時存在6項誤差元素［19-20］，包括3項移動誤差δx（C，T）、δy（C，T）、δz（C，T）和3項角度誤差εx（C，T）、εy（C，T）、εz（C，T）。其中，δx（C，T）、δy（C，T）、δz（C，T）分別為C軸沿X軸、Y軸、Z軸坐標方向的移動誤差，εx（C，T）、εy（C，T）、εz（C，T）分別為C軸繞X軸、Y軸、Z軸旋轉的角度誤差。

球桿儀由兩個精密小球及直線位移傳感器組成，使用時安裝在工作臺上的小球稱為工件球，安裝在主軸端的小球稱為刀具球，如圖2所示。設工件球坐標為P=（x0，y0，z0，1）T，刀具球坐標為Q=（0，0，h，1）T，h為刀具球起始安裝位置的高度。在旋轉軸單軸驅動模型下不考慮數控機床其他軸的運動，當旋轉軸轉過角度C時，其理想坐標變換矩陣為T，坐標變換誤差矩陣為Te，即

T=cos C-sin C00

sin Ccos C00

0010

0001（1）

Te=

1－εz（C，T）εy（C，T）δx（C，T）εz（C，T）1－εx（C，T）δy（C，T）－εy（C，T）εx（C，T）1δz（C，T）0001（2）

工件球理論位置坐標Pi=（x′，y′，z′，1）T和實際位置坐標Pe=（x1，y1，z1，1）T計算公式為

Pi=TP

Pe=TeTP（3）

工件球空間誤差矩陣Δr為工件球實際位置坐標與理論位置坐標的差：

Δr=TeTP－TP=（Δx，Δy，Δz，0）T（4）

Δx=－x0εz（C，T）sin C－y0εz（C，T）cos C+

z0εy（C，T）+δx（C，T）

Δy=x0εz（C，T）cos C－y0εz（C，T）sin C－

z0εx（C，T）+δy（C，T）

Δz=（εx（C，T）sin C－εy（C，T）cos C）x0+

（εy（C，T）sin C+εx（C，T）cos C）y0+δz（C，T）（5）

其中，Δx、Δy、Δz分別為X軸、Y軸和Z軸上的誤差分量。分離6項誤差元素：

e=（δx（C，T），δy（C，T），δz（C，T），εx（C，T），

εy（C，T），εz（C，T））T

則分離后的Δr可表示為

Δr=Tne=

1000z0－a010－z00b001a－b0000000δx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）εz（C，T）（6）

a=x0sin C+y0cos C

b=x0cos C－y0sin C（7）

如圖2所示，設β為誤差向量與球桿儀理論位置之間的夾角，當β趨于無窮小時，球桿儀初始長度L0=Δrcos β≈ΔL0。可得到球桿儀長度變化量ΔL0與旋轉軸各項誤差之間的關系：

ΔL0=（n·Δr）=1L0baz0－h0T

Δr=1L0baz0－h－ahbh0Tδx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）εz（C，T）（8）

式中，n為球桿儀理論位置的單位方向。

由式（8）可知，C軸繞Z軸的角度誤差εz（C， T）在計算過程中與0相乘被抵消掉，故無法被辨識。則可得到在安裝參數P、Q影響下的球桿儀桿長變化模型：

L0ΔL=bδx（C，T）+aδy（C，T）+（z0－h）δz（C，T）－

ahεx（C，T）+bhεy（C，T）（9）

1.2 多自由度空間誤差辨識模型

球桿儀桿長的變化對應5項誤差的變化，而每一次單獨的球桿儀桿長測量實驗都對應多個誤差分量。當進行5次線性無關的球桿儀測量實驗時就能求解出Δr：

（b1δx（C，T）+a1δy（C，T）+（z1－h）δz（C，T）－

a1h1εx（C，T）+b1h1εy（C，T））=L1ΔL1

（b5δx（C，T）+a5δy（C，T）+（z5－h）δz（C，T）－

a5h5εx（C，T）+b5h5εy（C，T））=L5ΔL5（10）

LiΔL=ΔTer=

b1a1z1－h1－ah1bh1b2a2z2－h2－ah2bh2b3a3z3－h3－ah3bh3b4a4z4－h4－ah4bh4b5a5z5－h5－ah5bh5·

δx（C，T）δy（C，T）δz（C，T）εx（C，T）εy（C，T）=LiΔL1ΔL2ΔL3ΔL4ΔL5（11）

Li=diag（L1，L2，…，L5）

實際上，Li為常量，求解式（11）就是求解非齊次線性方程組，當誤差辨識矩陣ΔT滿秩即r（ΔT）=5時，可求解出er=（δx（C，T），δy（C，T），δz（C，T），εx（C，T），εy（C，T））中的5項誤差元素。當r（ΔT）lt;5時，方程組有無窮多解；當r（ΔT）gt;5時，方程組無解。所以設計測量模式時應該滿足誤差辨識矩陣滿秩條件。

此外，球桿儀安裝過程中存在人為安裝導致的安裝誤差，基于筆者課題組前期的研究［9］進行安裝誤差消除，可消除球桿儀變化中由PIGEs和安裝誤差引起的影響，得到僅由PDGEs引起的球桿儀桿長變化Δr：

Δr=ΔR－cos Cπ∫2π0ΔRcos CdC－

sin Cπ∫2π0ΔRsin CdC－12π∫2π0ΔRdC（12）

2 多自由度靜/熱誤差同步測量與建模

2.1 多自由度靜/熱誤差同步測量方案

要滿足數控機床旋轉軸靜/熱誤差的同步測量，設計球桿儀誤差測量方案時應考慮兩個問題：一是誤差辨識矩陣需要滿秩，以保證誤差辨識模型有解，能夠辨識出5項空間誤差；二是不同測量模式之間需要更換迅速、測量方便，以降低球桿儀測量過程中的溫度變化對測量結果的影響，保證多自由度熱誤差測量的準確性。

值得注意的是，為滿足誤差辨識矩陣滿秩條件，可以選擇的安裝方式有很多，但是同時考慮到誤差測量過程中熱量逸散對熱誤差數據的影響，所以安裝方式的選擇應該方便、快捷。安裝位置的設計應滿足以下要求：①球桿儀不需要頻繁拆解，即球桿儀長度保持一致；②球桿儀安裝次數盡量少，即中心座位置變動少；③運動過程中不能發生干涉。

本文設計使用的5種球桿儀測量模式如圖3所示，具體安裝參數見表1。表1中，xt、yt、zt代表工件球起始坐標位置，xw、yw、zw代表刀具球起始坐標位置。以中心座1位置作為XY平面坐標原點，以中心座2的高度作為Z軸坐標原點。安裝模式1、2的中心座1安裝在旋轉軸軸心，高度為hr；刀具杯1安裝在與中心座1同一高度且距離旋轉軸軸心br處坐標軸上。安裝模式3、4、5的中心座2安裝在距離旋轉軸軸心ar的工作臺上；刀具杯2安裝在中心座1上方，高度為kr。hr、br、ar、kr、cr、dr為特定安裝模式下刀具球或工件球起始安裝位置的具體坐標值。

圖3中，開始測量對刀時就提前安裝好安裝模式1、2和安裝模式3、4、5的中心座。為減少球桿儀拆卸次數，令（a2r+k2r）1/2=br以保證球桿儀長度始終保持不變；為減少球桿儀安裝次數和中心座位置變動，令（c2r+d2r）1/2=ar以保證中心座到旋轉軸中心距離保持不變；為避免運動過程中發生干涉，以中心座2的高度為Z軸原點，中心座1的高度為XY平面原點，即可避免相撞。該測量方案通過簡單地控制工作臺旋轉和刀具運動就能調整工件球和刀具球坐標，實現各種安裝模式之間的快速切換。

此安裝方案滿足誤差辨識矩陣滿秩，工件球安裝方便，不用頻繁拆裝，縮短了測量和安裝時間，能夠大幅提高誤差測量的準確性。這種測量方案既能滿足旋轉軸靜態誤差的測量，也適用于旋轉軸在工作一段時間后的靜/熱誤差的同步測量。

2.2 基于CNN-LSTM的旋轉軸靜/熱誤差模型

基于上述誤差辨識模型與誤差測量方案，可以得到不同溫度與位置下的誤差值，進一步可以構建旋轉軸靜/熱誤差的預測模型。熱誤差建模方法包括多元回歸法、神經網絡法、灰色理論法、支持向量機等［21-23］方法。其中，神經網絡因具有大規模的并行分式計算、計算能力強、容錯率高、魯棒性強等特點而得到廣泛的應用。卷積神經網絡是一種前饋神經網絡，能在數據中提取有效的特征［24］。長短時記憶神經網絡（long short-term memory， LSTM）［25］是在循環神經網絡（recurrent neural network，RNN）的基礎上發展而來的，用于解決RNN中的梯度消失問題，同時也解決了復雜長時間滯后的問題，而機床熱誤差的變化相對溫度變化具有時間滯后效應，所以近年來LSTM模型常用于熱誤差建模［26］。

CNN-LSTM模型［27］結合了上述兩種網絡模型的優點，具有強大的特征提取能力和記憶能力，因此，本文采用CNN-LSTM模型進行建模，其神經網絡結構如圖4所示。CNN的卷積層對數據特征信息（溫度、位置）進行提取；通過池化層降低特征信息維度，并保留重要的特征信息；將池化后的特征信息轉換為一維向量輸入LSTM層進行時序信息建模；輸出最終的預測結果。

LSTM神經元由輸入門、遺忘門、輸出門三個門控結構構成，遺忘門用于控制當前輸入數據的重要性，輸出結果為fn；輸入門用于控制過去時刻的記憶在當前時刻的重要性，輸出結果為in；輸出門用于控制當前時刻的輸出，輸出結果為On。計算流程如下：n時刻的輸入向量xn和n-1時刻的輸出向量hn-1進入神經元的遺忘門、輸入門和輸出門中。遺忘門的計算結果fn控制存儲信息Cn-1中的哪些信息會被遺忘，輸入門的計算結果it控制新信息中的哪一部分會被存儲進Cn中，輸出門的計算結果On控制Cn中的哪些信息會被當作hn輸出。最后輸出hn并將hn和Cn傳給下一時刻的神經元。記憶單元存儲信息Cn的更新公式如下：

Cn=Fn·Cn－1+In·n（13）

神經元的輸出向量hn為

hn=On·tanh（Cn）（14）

3 實驗與驗證

3.1 誤差測量實驗

為測得旋轉軸多自由度靜/熱誤差，設計了四組實驗。四組實驗以轉速為變量，分別反映了旋轉軸在不同工況下產生的誤差，隨著工作時間的增加，模擬不同溫度對誤差的影響。實驗過程中以機床溫度20 ℃、工作臺起始位置0°為邊界條件，如圖5中模式1所示。讓工作臺在固定的轉速下持續工作4 h，從工作臺靜態開始每間隔工作20 min便使用球桿儀按照誤差辨識模型的5種安裝模式分別進行桿長變化測量，測量過程如圖5所示，具體實驗參數見表2，共測得260組數據，同時采集旋轉軸的各項溫度數據，建立靜/熱誤差關系。

本文以YS7232機床C軸為研究對象，進行旋轉軸靜/熱誤差測量。球桿儀、溫度采集卡和溫度傳感器參數見表3，傳感器的位置布置如圖6所示，具體位置見表4。其中，溫度測點T1和T7分別測量環境溫度和機床床身溫度，其他溫度傳感器采集C軸附近溫度，T9為直接讀取的電機溫度。

3.2 實驗結果

以轉速為300 r/min的試驗結果為例，溫度變化和消除安裝誤差后的實驗1模式5的桿長隨位置和時間的變化結果如圖7、圖8所示。為方便觀察變化量，本文都取相對變化值。隨著工作臺工作時間的增加，溫度不斷上升。其中，C軸電機的溫度上升最劇烈，溫升超過7 ℃；床身和環境溫度變化趨勢比較平緩，在1 ℃以內；C軸和工作臺各測點溫度上升相對一致，在3～4 ℃。桿長變化量隨位置變化呈三角函數型波動，桿長變化幅值隨著時間的變化也逐漸變大。

將5種安裝模式下的桿長變化代入誤差辨識模型即可辨識得到五項誤差數據，為同時表達誤差與運動位置和時間的關系，建立三維圖對誤差進行描述，實驗1的δx（C，T）（第一組實驗的機床X向移動誤差，后同）和實驗2的εy（C，T）如圖9所示。其中，X軸位置數據表示球桿儀旋轉角度映射位置的相關誤差，Y軸表示旋轉軸工作時間來反映溫度的變化對熱誤差的影響，Z軸表示辨識出的誤差值。時間為0時為靜態誤差，隨著工作時間的增加，熱誤差產生影響，誤差變化的幅值也逐漸增大；隨著工作臺的旋轉，誤差在X軸上呈類三角函數分布。因篇幅所限，其他組數據不再贅述。

3.3 誤差預測

將1、2、4組實驗測量的溫度、位置和誤差數據用于誤差建模，將第3組實驗的溫度和位置數據作為自變量代入模型進行誤差預測。通過靜/熱誤差模型進行預測可以得到預測誤差，以實驗3的δy（C，T）和實驗3的εx（C，T）為例繪制位移時間誤差變化圖（圖10）。整體上看，預測值與實際值變化趨勢基本吻合。作出殘差圖（圖11），其中，紅色部分加深表示殘差正向變大，藍色部分加深表示殘差反向變大。誤差預測性能指標均方根誤差（root mean square error， RMSE）、平均絕對誤差（mean absolute error， MAE）和殘差比見表5，δy（C，T）最大預測殘差值為6.8 μm，而最大誤差達17.29 μm，相比之下減幅超過60%，說明能準確地預測出誤差。

為進一步驗證辨識結果的正確性，將預測得到的誤差值反算出桿長變化值得到模擬的預測變化桿長。將預測的實驗3模式3的桿長變化與實際桿長變化進行對比，繪制桿長變化時間位移變化圖（圖12），桿長變化的預測性能評價指標見表5，殘差圖見圖13。預測桿長的變化趨勢與實際桿長變化趨勢基本吻合，而實際桿長的最大偏差已達19.3 μm，預測桿長的最大殘差僅7.4 μm，相比之下誤差減少61.6%。可以發現預測結果是準確可靠的。

此外，將CNN-LSTM與BPNN神經網絡兩種模型預測結果進行對比，如表5、圖11b、圖11c所示，可以發現這兩種神經網絡的預測結果中殘差比相差不大，但是CNN-LSTM預測結果的RMSE值和MAE值要更優于BPNN，說明CNN-LSTM預測結果整體上更加穩定，殘差圖更加平穩，預測效果更好。

4 結論

（1）本文研究了旋轉軸運動特性，構建了基于齊次坐標變化的球桿儀桿長變化模型，將球桿儀

桿長變化映射到旋轉軸各項誤差，建立了旋轉軸多自由度空間誤差辨識模型。

（2）提出了靜/熱誤差同步辨識的高效快速測量方法，在滿足誤差辨識矩陣滿秩的前提下，兩個中心座一次安裝便能完成5種球桿儀測量模式的測量，5種測量模式之間的切換只需要短短幾秒，縮短了測量時間，保證了靜/熱誤差測量的可靠性。

（3）建立了CNN-LSTM模型，對靜/熱誤差進行預測，并通過與BPNN模型進行對比，驗證了CNN-LSTM模型應用于靜/熱誤差同步建模的優勢，實現了對5項靜/熱位置相關誤差及球桿儀桿長的預測，預測桿長最大殘差僅7.4 μm，比實際桿長19.3 μm減小60%以上，驗證了本文方法的正確性。

本文僅針對旋轉軸的5項靜/熱誤差的位置相關誤差進行研究，后續可以對靜/熱誤差作用下的旋轉軸位置無關幾何誤差與旋轉熱定位誤差的建模與預測進行研究。

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（編輯 陳 勇）