基于審美能力培養的初中數學教學設計

［摘 要］追求數學美，是數學發現的重要因素。數學審美教育，既符合數學對象的美學特征，又能培養學生的數學審美能力，提升學生的數學核心素養。文章以人教版八年級下冊“勾股定理”一課為例進行基于審美能力培養的教學設計，為教師培養學生數學審美能力提供參考與借鑒。

［關鍵詞］審美能力；初中數學；教學設計；勾股定理

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）24-0024-04

追求數學美，是數學發現的重要因素［1］。在不同版本的初中數學教材中，均可以看到一些關于數學美的例子，如北師大版八年級上冊“實數”這一章展現了“畢達哥拉斯螺線”，通過圖形展示數學美；人教版八年級上冊“對稱軸”一課通過挖掘自然景觀、藝術作品等現實事物的對稱元素，讓學生體會生活中的數學美。對數學美進行研究，實施數學審美教育，可使學生體驗知識的多樣性，開闊學生的學習視野，激發學生的學習熱情，培養學生的審美能力。

《教育大辭典》指出，美育亦稱“審美教育”，是學生掌握審美基礎知識、形成一定的審美能力、培養正確的審美觀點，美化心靈、行動、語言、體態，提高道德與智慧水平的教育［2］。正如英國教育家斯賓塞所說：“沒有審美價值，教育過程就失去一半的美好意義。”將美育寓于數學教學之中，把教學活動轉化為審美活動，讓學生成為審美的主體、攝取知識的主體［3］，學生會感到學習數學很快樂，并能發現事物之間存在的內在數學關系，喚醒學習數學的內在需求，進而提高審美意識和能力。對于數學審美能力，一方面可通過引導學生主動學習數學知識、參與數學實踐來培養，另一方面可通過進行數學審美教育來培養。

本文選取人教版八年級下冊第十七章第一課時“勾股定理”進行基于審美能力培養的教學設計。

一、教學設計

（一）創設精美情境，發現數學美

生活中蘊含著豐富多彩的數學美學元素，教師可以從常見的物體、現象出發，巧妙創設問題情境、民族文化情境等各種教學情境，讓學生從中發現生活中的數學美，激發學生的學習興趣。

師：請同學們欣賞一下2002年國際數學家大會的會徽（如圖1）。

師：這個圖案是趙爽弦圖，它是由哪些幾何圖形構成的？

生1：它中間有一個小正方形，四周是四個直角三角形。

師：利用簡單的幾何圖形可構建一些漂亮的圖案，甚至是美化建筑形體。我們身邊還有哪些由直角三角形或者其他幾何圖形構成的圖案或建筑呢？

生2：奧運五環、窗戶、拉閘門……

師：我們的生活中有許多漂亮的圖案和建筑都是由一些幾何圖形組合形成的，不同的幾何圖形蘊含著不同的數學知識、文化。那么在趙爽弦圖中到底蘊含什么數學知識呢？下面我們一起來學習本節課的知識。

設計意圖：聯系生活，創設精美情境，并設置問題，引發學生思考。將實際與理論相結合，使學生明白數學的應用價值，促進學生學會用審美的眼光去感受生活中的數學，進而培養學生的感知能力和審美能力。

（二）挖掘數學史料，感悟數學美

1.提出命題

教師利用多媒體展示數學史料：相傳在2500年以前，古希臘著名數學家畢達哥拉斯在朋友家做客時，發現朋友家的地磚反映了直角三角形的三邊關系（如圖2）。

師：同學們，你們能找出地磚圖案中存在的等量關系嗎？我們要怎么做，才能簡潔地表達出相應的關系？

生3：可以先把一部分地磚提取出來，分別用字母A、B、C表示（如圖3），這樣就能簡潔表達了。

師：很好！接下來請觀察正方形A、B、C，你們發現了什么？

生4：正方形A、B的面積等于正方形C的面積。

師：如何用數學符號表示這樣的關系？

生4：[SA+SB=SC]。

師：相比用文字描述，用數學符號表示有什么優勢？

生5：用數學符號表示更簡潔，更便于計算。

師：沒錯！將文字語言轉化為符號語言，就是數學的簡潔性和抽象性表達，便于我們對某一問題、規律的理解和探究。

（教師進行板書，如圖4所示）

設計意圖：引入數學史料，引導學生了解勾股定理的來源以及發展規律，讓學生體會數學的嚴謹性，感悟數學的形態美和過程美。構造特殊圖形，引導學生發現其中蘊含的數學思想，感受數學的奇異美。從文字語言到符號語言，滲透數學符號意識，讓學生體會數學的簡潔美、理性美，從而培養學生的審美能力。

接下來，教師把地磚的圖像抽象出來放在網格中，研究它們到底有什么關系。

探究1：觀察圖5，有三個正方形A、B、C，它們圍成一個三角形，假設小方格的邊長為1，那么正方形A、B、C的面積各是多少？它們之間有什么關系？請用算式表示。

生6：正方形A的面積為9，正方形B的面積為9，正方形C的面積為18，得出[SA+SB=SC]。

師：正方形C的面積是如何計算出來的？

生7：利用割補法將正方形C分成四個三角形。

師：是的，利用割補法可以解決這一問題，這是在邊長為特殊值的情況下得到[SA+SB=SC]，令正方形A、B、C的邊長分別為[a]、[b]、[c]，其中[a=b]，那么[SA=a2]，[SB=b2]，[SC=c2]，則對于等腰直角三角形就有[a2+b2=c2]這樣的性質。

師：其他直角三角形是否有這樣的性質呢？

探究2：觀察圖6，假設小方格的邊長還是1，正方形A、B、C的面積各是多少？此時它們又有什么關系？

生8：正方形A的面積為16，正方形B的面積為9，正方形C的面積為25，得出[SA+SB=SC]。

師：所以對于任意直角三角形有這樣的性質：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。若直角三角形的兩直角邊長分別為[a]、[b]，斜邊長為[c]，則有[a2+b2=c2]。

設計意圖：由等腰直角三角形到任意直角三角形，從特殊到一般，引導學生總結規律，讓學生感受數學的邏輯美和奇異美，培養學生觀察、概括、分析等方面的能力，提高學生解決問題的能力。通過探究活動，引導學生體會數與形的轉化，感受數學的簡潔美和對稱美。

2.驗證命題

師：如果直角三角形的兩直角邊長分別為[a]、[b]，斜邊長為[c]，那么是否有[c2=a2+b2]？如何證明這個命題？

師：可以利用趙爽弦圖，采用面積法來證明。根據已知條件，可以列出什么等式？

生9：通過觀察圖形發現，大正方形是由四個小三角形和一個小正方形組成（如圖7），它們的面積關系為[S大正方形=4S小三角形+S小正方形]。

師：根據已知條件，可以列出a、b、c的關系式嗎？

生10：大正方形的面積[S大正方形=c2]，小正方形的面積[S小正方形=（b-a）2]，三角形的面積[S三角形=12ab]，因此可列出式子[c2=4×12ab+（b-a）2]，化簡得到[c2=a2+b2]。

師：經過證明就得到了今天我們所要學習的勾股定理，即若直角三角形的兩直角邊長分別為[a]、[b]，斜邊長為[c]，則有[a2+b2=c2]。

（教師板書，如圖8所示）

設計意圖：讓學生體驗數學并不能憑感覺得出結論，而是需要經過邏輯推理和嚴謹證明。在“猜想—驗證—形成數學定理”的過程中，將煩瑣的文字語言轉化為符號語言，體現數學的邏輯美、嚴謹美和抽象美，促進學生簡單化、符號化、嚴謹化地解決問題。教師通過板書，規范書寫過程，塑造美的教學形象。

（三）深入探究知識，創造數學美

練習1：現有一個寬為1米、高為2米的門框，如果一塊長為2.5米、寬為2.2米的長方形薄木板想從此門框通過，請問它能否順利通過？為什么？

練習2：如圖9，一架3米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2米。如果梯子的頂端沿墻下滑0.2米（如圖中CD），那么梯子的底端也外移0.2米嗎？

師：通過以上練習，你能總結出什么解題方法？

生11：先分析題目是否設計有直角三角形，找到直角三角形的兩條邊長條件，利用勾股定理求出第三邊的長度，進而求得目標值。

師：沒錯！在解決問題時，我們通常先將題目所給的重要信息提煉出來，再把相似的問題放入一個數學模型中，利用熟悉的模型解決問題。

練習3：觀察勾股定理公式，它的外顯形式很美觀（簡潔、對稱、統一），你能領會它的內在美嗎？你還能列舉比勾股定理公式更美的公式嗎？你學過的最不美的公式有哪些？請說出你的理由。

設計意圖：設置三個練習題，讓學生運用勾股定理解決具體問題，并運用數學的統一性總結解題方法，構建知識體系。在書寫時注意體現數學的簡潔美及過程的嚴謹美、邏輯美，在現實問題與數學問題的轉化過程中體現數學的內在理性美。引導學生觀察勾股定理公式，體會它不僅形式上簡潔、對稱，而且能嚴謹地表示三角形三邊的特殊關系，具有數學的簡潔美和對稱美。設置練習3，讓學生聯想所學公式，對比各個公式存在的數學美，指出其中的內在理性美和外在顯性美，有效提高學生的審美能力。

（四）深化數學思維，欣賞數學美

師：這節課你們學到了什么，感悟到了什么？

生12：我學到了勾股定理，感受到它研究的是直角三角形的三邊關系，知道線段在組成特殊結構時會產生漂亮的圖案或公式。

生13：我學會從現實生活場景中抽象出數學問題，并形成猜想，感受到數學是無處不在的。

生14：我知道了我們所提出的猜想必須進行嚴謹的、合乎邏輯的、符合事實的證明，才能驗證其正確性，并把正確的命題稱作定理。在解決問題時，我發現要閱讀并提取所給的重要信息，把相似的問題放入一個數學模型中，這讓我感受到了數學具有統一性，以及利用定理、公式計算的奇異美。

師：勾股定理在今后學習的三角學中具有重要的作用，我們還可以利用口訣來記憶一組常見的勾股數“3，4，5”，即“勾三股四弦五”。所以說，數學是一門奇妙的學科，數學知識可以借助符號、圖形甚至是口訣來記憶。

師：數學無處不在。會徽中，簡單幾何圖形的構造蘊含著勾股定理；生活中，利用幾何圖形構造的服飾圖案、建筑比比皆是。請大家欣賞這張圖片（如圖10），它是不是也蘊含幾何圖形的變化關系呢？

師：這張圖片展示的是瑤族服飾上的圖案，展現了瑤族人民精湛的技藝和對美的追求。不同的圖案寄托著瑤族人民不同的情懷。我們可以觀察到最里面的圖案是由直角三角形圍成的正方形，這些漂亮的圖案中蘊含線段之間、三角形邊與邊之間以及正方形對角線之間的關系。

師：那么由直角三角形或者其他簡單幾何圖形還構成了哪些漂亮的圖案、物品呢？請大家課后尋找，并思考其是否蘊含勾股定理或者其他數學知識，提取有關信息、設計數學問題并解答。

設計意圖：通過課堂總結，促使學生對勾股定理進行深入思考和理解，感悟數學的內在理性美。教師提出口訣記憶法，促使學生明白知識的形成是追求美的過程，公式的美有利于對數學知識的記憶。以少數民族文化感染學生，滲透審美教育，培養學生的審美能力。

二、教學反思

學生數學審美能力的培養可從學生和教師方面著手。

學生作為學習的主體，應充分發揮自身的主觀能動性，有意識地培養自身的數學審美能力。學生應積極參與教學活動，用尋找的眼光去探究數學規律、總結數學知識，結合數學美的特征和規律學習數學［4］，更好地理解數學美的內涵，提高數學審美能力。數學來源于生活，學生應細致觀察身邊的事物和自然現象，不斷從數學美的角度探索事物，提高數學審美能力。學生還應主動挖掘數學課本、故事中的美學思想，加深對數學美的理解，促進數學審美能力的提升。

教師要做好“引路人”，引導學生領悟數學的美。教師應增強自身的審美意識，不斷挖掘數學美，在傳授學生數學知識的基礎上有意識地滲透數學審美教育。對于數學美，學生的理解往往停留在表層，要想讓學生更好地理解數學美，提高數學審美能力，教師要引發學生對數學的審美思考，使學生深刻體會數學美，同時為學生搭建創造美的舞臺，實施數學審美教育，讓學生成為數學學習的主人，使學生的數學審美能力得到全面提升。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 鄧清，盤夢.啟于數學審美" 探得問題本質：基于2019年全國Ⅲ卷圓錐曲線試題的研究［J］.中國數學教育，2020（合刊2）：99-102，106.

［2］" 周慶元，胡緒陽.走向美育的完整［J］.教育研究，2006（3）：39-43，49.

［3］" 林華.彰顯數學審美功能" 優化課堂教學效果［J］.初中數學教與學，2019（22）：1-2.

［4］" 李彥.例談課堂教學中“數學美”的挖掘［J］.文理導航（下旬），2017（2）：39.

（責任編輯 黃春香）